Форум умных людей

За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: "Кто Ваш сосед справа—умный или дурак?" В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит F. При каком наибольшем значении F всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?

Как несправедливо быстро летит время…  Эту олимпиадную задачу мы когда-то разбирали в школе.

Показать скрытый текст

Молодец, Tim0512!!!
Между тем, эта задача очень интересна своим решением.
Итак, то, что дураков должно быть меньше 1/2 всей компании это сразу же ясно, т.к. очевидна ситуация, когда скучковались 15 дураков, называющих себя умными, а 15-й в отместку умникам, назвавших 1-го дурака дураком, назвал дураком ближайшего к нему справа умника.  То есть при таком раскладе представляется две кучки по 15 чел. с неопределенным контингентом (неопределенным, потому что дураки назвали себя умными).
Однако кучковаться и лгать дураки смогут и при меньшем количестве (это просто разобьет всех участников застолья на большее число кучек, однако они также будут неопределенные).

Что такое неопределенные кучки?!

Так как по условию задачи застолье «круглое», то кучки можно представить себе в виде равных отрезков на окружности.
Допустим, это три кучки, образуемые отрезками Д1-Д11, Д11-Д21 и Д21-Д1. Почему «Д-Д»?! - да потому что это те члены застолья, которых сосед слева обозвал дураком, а  в промежутках между ними каждые 9 членов застолья были названы умными. Причем в какой-то из этих 3-х кучек 9 реальных дураков могут быть названы умными (например, это Д2-Д10), а 2 реальных дурака – дураками (тогда это будет Д1 и Д21). Таким образом, в этой афере с 3-мя кучками задействовано 11 дураков (Д1-Д11 и Д21).

Представив неопределенные кучки в виде отрезков на круге, легко составить следующее выражение:
30/х=((30-х)/х)+1, при котором кол-во задействованных дураков = 30/х+(х-2), где  х будет число возможных кучек (оно же равно и числу дураков по краям), а 30>х>1.
Поскольку х и дураки – число натуральное, то корнями могут быть 2, 3, 5, 6, 10, 15.
Корни 2 и 15, а также 3 и 10 уже были выше рассмотрены. Остаются только корни 5 и 6, при которых кол-во задействованных дураков = 9 (30/5+5-2 и 30/6+5-2).
Следовательно, дураков должно быть меньше 9, т.е. мах=8.

да прикольное решение, я то просто картинку нарисовал ))

Tim0512, Питер Пен -  :good2:

а авторское можно?

Ага, вот.
Показать скрытый текст