Форум умных людей

под спойлером задачи по матану (70кБ)
Показать скрытый текст

человек просит помочь с контрольной

срок - до конца недели

1. e^-s(1+ds/dt)=1
e^-s+e^-sds/dt=1; (1-e^-s)dt=e^-sds; dt=e^-sds/(1-e^-s);
t=∫e^-sds/(1-e^-s)=∫d(e^-s)/(e^-s-1); t=ln(e^-s-1)+C

2. x²dy=(y²-xy+x²)dx
dy/dx=y²/x²-y/x+1; z=y/x => y=xz => y'=z+xz'
z+xz'=z²-z+1; xdz/dx=z²-2z+1=(z-1)²
dz/(z-1)²=dx/x; ∫dz/(z-1)²=∫dx/x; -1/(z-1)=ln|x|+C
1/(1-y/x)=ln|x|+C

3. 2xydy/dx-y²+x=0
y'-y/(2x)=-1/(2y); z=y² -> y=z^1/2 -> y'=1/2·z^-1/2z'
1/2·z^-1/2z'-1/(2x)·z^1/2=-1/2·z^-1/2
z'-z/x=-1; t=z/x -> z=xt -> z'=t+xt'
t+xt '-t =-1 -> xdt/dx=-1 -> dt=-dx/x -> t=-ln|Cx|
z=xt=-xln|Cx|; y=z^1/2=(-xln|Cx|)^1/2

4. (3x²tgy-2y³/x³)dx+(x³/cos²y+4y³+3y²/x²)dy=0
P(x,y)=3x²tgy-2y³/x³, Q(x,y)=x³/cos²y+4y³+3y²/x²
∂P/∂y=3x²/cos²y-6y²/x³
∂Q/∂x=3x²/cos²y-6y²/x³
∂P/∂y≡∂Q/∂x
∂U/∂x=3x²tgy-2y³/x³
∂U/∂y=x³/cos²y+4y³+3y²/x²
U(x,y)=∫(3x²tgy-2y³/x³)dx+φ(y)=x³tgy+y³/x²+φ(y)
∂U/∂y=x³/cos²y+3y²/x²+φ'_y(y)
x³/cos²y+3y²/x²+φ'_y(y)=x³/cos²y+4y³+3y²/x² -> φ'_y(y)=4y³
φ(y)=∫4y³dy=y⁴+C
U(x,y)=x³tgy+y³/x²+y⁴+C -> x³tgy+y³/x²+y⁴+C=0

5. xdt-(t-√(t²-x²))dx=0, t(1)=1
dt/dx-(t/x-√(t²/x²-1))=0
z=t/x, t=xz, t'=z+xz'
z+xz'=z-√(z²-1), xdz/dx=-√(z²-1)
dz/√(z²-1)=-dx/x, ∫dz/√(z²-1)=-∫dx/x
ln(z+√(z²-1))=ln|C/x|
z+√(z²-1)=C/x, t/x+√(t²/x²-1)=C/x
t+√(t²-x²)=C
t(1)=1 -> 1+√(1²-1²)=C -> C=1
t+√(t²-x²)=1

1.

а) lim (12-3x²)/(x²+x-2)=(12-0)/(0+0-2)=12/-2=-6
    x→0

б) lim (12-3x²)/(x²+x-2)=0/0 → lim 3(2-x)(2+x)/(x+2)(x-1)=
    x→-2                                        x→-2
    lim (6-3x)/(x-1)=(6-3(-2))/(-2-1)=-4
    x→-2

в) lim (12-3x²)/(x²+x-2)=∞/∞ →  lim (12/x²-3)/(1+1/x-2/x²)=-3
    x→∞                                           x→∞

1.

г) lim (1-cos²3x)/5x²=0/0 → lim sin²3x/5x²=
    x→0                                    x→0
lim sin²3x/(5/9)9x²=lim (sin3x/3x)²/(5/9)=1/(5/9)=9/5
x→0                          x→0

д) lim ((x-2)/x)^3x=lim (1-2/x)^3x=1^∞ → lim [(1+1/x/(-2))^x/(-2)]^3(-2)=e^-6
    x→∞                  x→∞                         x→∞

е) lim (x²-5x-6)/(2-√(x+5))=0/0 → lim (x²-5x-6)(2+√(x+5))/((2-√(x+5))(2+√(x+5))=
    x→-1
lim (x²-5x-6)(2+√(x+5))/-(x+1)=lim (x+1)(x-6)(2+√(x+5))/-(x+1)=-(-1-6)(2+√(-1+5))=28
x→-1                                              x→-1

6. y+xy'=3y²y', y(1)=1

y+xdy/dx=3y²dy/dx, ydx/dy+x=3y², yx'+x=3y²
x'+x/y=3y, x=Ce^-∫dy/y=Ce^-lny=C/y
x=C(y)/y, (C(y)/y)'+C(y)/y²=3y, (C'(y)y-C(y))/y²+C(y)/y²=3y
C'(y)/y=3y, C'(y)=3y², C(y)=∫3y²dy=y³+C₁
x=(y³+C₁)/y
y(1)=1, 1=(1+C₁)/1, C₁=0
x=y²

 ненавижу пределы, но ИИ проверил первую половину
Показать скрытый текст
и вторую  :-[
Показать скрытый текст

7. (2xy+3y⁴)dx+(x²+12xy³)dy=0, y(1)=1

P(x,y)=2xy+3y⁴
Q(x,y)=x²+12xy³
∂P/∂y=2x+12y³
∂Q/∂x=2x+12y³
∂P/∂y≡∂Q/∂x
∂U/∂x=2xy+3y⁴
∂U/∂y=x²+12xy³
U(x,y)=∫(2xy+3y⁴)dx+φ(y)=x²y+3xy⁴+φ(y)
∂U/∂y=x²+12xy³+φ'_y(y)
x²+12xy³+φ'_y(y)=x²+12xy³
φ'_y(y)=0, φ(y)=∫0dy=C
U(x,y)=x²y+3xy⁴+C
x²y+3xy⁴+C=0, y(1)=1
1·1+3·1·1+C=0 → C=-4
x²y+3xy⁴-4=0

Всем привет!

Есть еще 2 дня для решения данных задачек.
Очень прошу помочь кто чем сможет!
Осталось:
Вариант 24: Задания 8-19
Вариант2: Задание 4
 :show_heart:

 :beer: :beer: :beer: :beer: :beer: :beer: :beer: :beer:

с новым
  старым
новым
 годом

 :beer: :beer: :beer: :beer:

8. y''+y'tgx-sin2x=0

y'=p(x)
y''=p'(x)

p'+ptgx-sin2x=0
p'+ptgx=sin2x

p'+ptgx=0
p=Ce^-∫tgxdx=Ce^ln|cosx|=Ccosx

p=C(x)cosx
(C(x)cosx)'+C(x)cosxtgx=sin2x
C'(x)cosx-C(x)sinx+C(x)sinx=sin2x
C'(x)cosx=2sinxcosx
C'(x)=2sinx
C(x)=∫2sinxdx=-2cosx+C₁
p=(-2cosx+C₁)cosx=C₁cosx-2cos²x

y=∫pdx=∫(C₁cosx-2cos²x)dx=∫C₁cosxdx-∫2cos²xdx=C₁sinx-∫2cos²xdx=
C₁sinx-∫(1+cos2x)dx=C₁sinx-x-(1/2)sin2x+C₂

9. xy'''+y''=x^-1/2

y''=p(x)
y'''=p'(x)

xp'+p=x^-1/2
p'+p/x=x^-3/2

p'+p/x=0
p=Ce^-∫dx/x=Ce^-ln|x|=C/x

p=C(x)/x
(C(x)/x)'+C(x)/x²=x^-3/2
C'(x)/x-C(x)/x²+C(x)/x²=x^-3/2
C'(x)=x^-1/2
C(x)=∫x^-1/2dx=2x^1/2+C₁

p=(2x^1/2+C₁)/x=2x^-1/2+C₁/x

y'=∫pdx=∫(2x^-1/2+C₁/x)dx=4x^1/2+C₁ln|x|+C₂
y=∫y'dx=∫(4x^1/2+C₁ln|x|+C₂)dx=(8/3)x^3/2+C₁(xln|x|-x)+C₂x+C₃

10. 1+(y')²=2yy''

y'=p(y)
y''=pdp/dy

1+p²=2ypdp/dy
dy/y=2pdp/(1+p²)
∫dy/y=∫2pdp/(1+p²)
ln|y|=ln(1+p²)+lnC₁
ln|y|=ln|C₁(1+p²)|
y=C₁(1+p²)
y/C₁-1=p

y'=√(y/C₁-1)
dy/√(y/C₁-1)=dx
x=∫dy/√(y/C₁-1)=2C₁√(y/C₁-1)+C₂

11. (y')²-yy''=xyy'/(x²+1)

y'/y-y''/y'=x/(x²+1)
ln|y|-ln|y'|=(1/2)ln(x²+1)+(1/2)lnC
(y/y')²=C(x²+1)
y/y'=C₁√(x²+1)
dy/y=dx/(C₁√(x²+1))
ln|y|=(1/C₁)ln(x+√(x²+1))+lnC₂
y=C₂(x+√(x²+1))^C₁₁

12. y'''=x+sinx, y(0)=y'(0)=y''(0)=1

y''=∫(x+sinx)dx=x²/2-cosx+C₁
y'=∫(x²/2-cosx+C₁)dx=x³/6-sinx+C₁x+C₂
y=∫(x³/6-sinx+C₁x+C₂)dx=x⁴/24+cosx+C₁x²/2+C₂x+C₃

y''(0)=0-1+C₁=1 -> C₁=2
y'(0)=0-0+0+C₂=1 -> C₂=1
y(0)=0+1+0+0+C₃=1 -> C₃=0

y=x⁴/24+cosx+2x²/2+x=x⁴/24+cosx+x²+x

13. y'y'''-3y''²=0, y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=1

y'=q(x)
qq''-3q'²=0

q'=p(q)
q''=pdp/dq

qpdp/dq-3p²=0
qdp/dq-3p=0
dp/p=3dq/q
ln|p|=3ln|q|+lnC₁
p=C₁q³
q'=C₁q³
dq/dx=C₁q³
dq/q³=C₁dx
C₁x=-1/(2q²)+C₂
q=1/√(2(C₂-C₁x))=1/√(C₂₁-C₁₁x)

y=∫dx/√(C₂₁-C₁₁x)=-(2/C₁₁)√(C₂₁-C₁₁x)+C₃

y'(0)=1/√C₂₁=1 -> C₂₁=1
y''(0)=(C₁₁/2)/√(C₂₁)³=C₁₁/2=1 -> C₁₁=2
y(0)=-(2/C₁₁)√(C₂₁)+C₃=(-1)1+C₃=0 -> C₃=1

y=-√(1-2x)+1

14. y''+2y'+y=-e^-x+2xe^x

k²+2k+1=0
k_1,2=-1±√(1-1)=-1

y₀=C₁e^-x+C₂xe^-x
y=C₁(x)e^-x+C₂(x)xe^-x

C'₁(x)e^-x+C'₂(x)xe^-x=0
-C'₁(x)e^-x+C'₂(x)(e^-x-xe^-x)=-e^-x+2xe^x

C'₁(x)=x-2x²e^2x
C'₂(x)=-1+2xe^2x

C₁(x)=∫(x-2x²e^2x)dx=x²/2-x²e^2x+xe^2x-1/2e^2x+C₁₁
C₂(x)=∫(-1+2xe^2x)dx=xe^2x-1/2e^2x-x+C₂₁

y=(x²/2-x²e^2x+xe^2x-1/2e^2x+C₁₁)e^-x+(xe^2x-1/2e^2x-x+C₂₁)xe^-x

15. y''+y=cosx+cos2x, y(0)=1, y'(0)=0

k²+1=0 -> k₁=i, k₂=-i

y₀=C₁cosx+C₂sinx
y=C₁(x)cosx+C₂(x)sinx

C'₁(x)cosx+C'₂(x)sinx=0
-C'₁(x)sinx+C'₂(x)cosx=cosx+cos2x
C'₁(x)=-sinxcosx-sinxcos2x
C'₂(x)=cos²x+cosxcos2x
C₁=∫(-sinxcosx-sinxcos2x)dx=1/2cos²x+1/6cos3x-1/2cosx+C₁₁
C₂=∫(cos²x+cosxcos2x)dx=x/2+1/4sin2x+1/2sinx+1/6sin3x+C₁₂

y=(1/2cos²x+1/6cos3x-1/2cosx+C₁₁)cosx+(x/2+1/4sin2x+1/2sinx+1/6sin3x+C₁₂)sinx
y'=-1/2sinxcos²x-1/3sin3xcosx+1/3sinxcos3x+sinxcosx-C₁₁sinx+1/2sinx+1/2xcosx-1/2sin³x+C₁₂cosx

y(0)=1/2+1/6-1/2+C₁₁=1 -> C₁₁=5/6
y'(0)=C₁₂=0 -> C₁₂=0

y=(1/2cos²x+1/6cos3x-1/2cosx+5/6)cosx+(x/2+1/4sin2x+1/2sinx+1/6sin3x)sinx

16. y'''-3y''-y'+3y=2cosx+2

k³-3k²-k+3=0
k²(k-3)-(k-3)=0
(k²-1)(k-1)=0
k₁=-1, k₂=1, k₃=3

y₀=C₁e^-x+C₂e^x+C₃e^3x
y=C₁(x)e^-x+C₂(x)e^x+C₃(x)e^3x

C'₁(x)e^-x+C'₂(x)e^x+C'₃(x)e^3x=0
-C'₁(x)e^-x+C'₂(x)e^x+3C'₃(x)e^3x=0
C'₁(x)e^-x+C'₂(x)e^x+9C'₃(x)e^3x=2cosx+2

C'₁=1/4(cosx+1)e^x
C'₂=-1/2(cosx+1)e^-x
C'₃=1/4(cosx+1)e^-3x

C₁=∫1/4(cosx+1)e^xdx=1/4(1/2e^xcosx+1/2e^xsinx+e^x+C₁₁)
C₂=∫-1/2(cosx+1)e^-xdx=-1/2(-1/2e^-xcosx+1/2e^-xsinx-e^-x+C₂₁)
C₃=∫1/4(cosx+1)e^-3xdx=1/4(-3/10e^-3xcosx+1/10e^-3xsinx-1/3e^-3x+C₃₁)

y=3/10cosx-1/10sinx+2/3+1/4C₁₁e^-x-1/2C₂₁e^x+1/4C₃₁e^3x

4.

a) y=x²sin((1+2x)/(1-2x))

dy=(x²sin((1+2x)/(1-2x)))'dx=(2x·sin((1+2x)/(1-2x))+x²·cos((1+2x)/(1-2x))·4/(1-2x)²)dx


б) y=√x·e^-tgx/arcsin²3x

dy=(√x·e^-tgx/arcsin²3x)'dx=((√x·e^-tgx)'·arcsin²3x-√x·e^-tgx·(arcsin²3x)')/arcsin⁴3x·dx=
((1/(2√x)·e^-tgx-√x·e^-tgx/cos²x)·arcsin²3x-√x·e^-tgx·6arcsin3x/√(1-9x²))/arcsin⁴3x·dx