Форум умных людей

375

Первое решение. Пусть стоящие по кругу числа суть a₁, a₂, ..., a₁₀₀₀, причем черные числа имеют нечетные номера, а белые – четные. Тогда a₄=a₃−a₂=a₃−a₁a₃=a₃(1−a₁). В то же время a₄=a₃a₅. Поскольку числа ненулевые, отсюда следует, что a₅ =1−a₁, т. е. a₁+a₅=1. Аналогично, сумма любых двух черных чисел, номера которых отличаются на 4, равна 1. Все черные числа разбиваются на такие пары, количество этих пар равно 250, поэтому сумма всех черных чисел равна 250.
Теперь подсчитаем сумму черных чисел по-другому:
a₁+a₃+...+a₉₉₉=(a₁₀₀₀+a₂)+(a₂ +a₄)+... =2(a₂+a₄+...), т. е. сумма черных чисел равна удвоенной сумме белых. Значит, сумма белых чисел равна 125, а общая сумма равна 250+125=375.

Второе решение. Обозначим два соседних черных числа через a и b и начнем выписывать стоящие по кругу числа, начиная с a:
a, ab, b, (1−a)b, 1−a, (1−a)(1−b), 1−b, a(1−b), a, ab, ...
Получаем, что последовательность периодична с периодом 8. Остается заметить, что сумма чисел на каждом из периодов равна 3. А всего периодов 125. Значит, сумма равна 125 · 3=375.

Комментарий. Из второго решения видно, что такие расстановки чисел действительно существуют: можно взять произвольные a и b (не равные 0 и 1) и продолжить последовательность, как в решении. В частности, можно взять a=b=1/2, тогда получится пример, в котором все черные числа равны 1/2, а все белые равны 1/4.