Форум умных людей

Бесконечные „числа"

Существуют и более длинные группы цифр, кото-
рые, находясь на конце чисел, сохраняются и в их
произведении. Число таких групп цифр, как мы по-
кажем, бесконечно велико.
Мы знаем двузначные группы цифр, обладающие
этим свойством: это 25 и 76. Для того чтобы найти
трехзначные группы, нужно приписать к числу 25
или 76 спереди такую цифру, чтобы полученная трех-
значная группа цифр тоже обладала требуемым свой-
ством.
Какую же цифру следует приписать к числу 76?
Обозначим ее через k. Тогда искомое трехзначное
число изобразится:
100k + 76.
Общее выражение для чисел, оканчивающихся этой
группой цифр, таково:
1000а +100k+76, 1000b + 1006+76 и т. д.
Перемножим два числа этого вида; получим:
1 000 000аЬ +100 000ak +100 000bk+76 000а +
+ 76 000b +10 000k² +15 200k+5776.
Все слагаемые, кроме двух последних, имеют на
конце не менее трех нулей. Поэтому произведение
оканчивается на 100k + 76, если разность
15200k + 5776— (100k + 76) = 15 1006 + 5700 =
= 15000k + 5000+100(k + 7)
делится на 1000. Это, очевидно, будет только при
k=3.
Итак, искомая группа цифр имеет вид 376. Поэто-.
му и всякая степень числа 376 оканчивается на 376.
Например:
376²=141376.
Если мы теперь захотим найти четырехзначную
группу цифр, обладающую тем же свойством, то
должны будем приписать к 376 еще одну цифру спе-
реди. Если эту цифру обозначим через l, то придем
к задаче: при каком l произведение
(10 000а +1000l+376) (10 000b + 1000l+376)
оканчивается на 1000l+376? Если в этом произведе-
нии раскрыть скобки и отбросить все слагаемые, ко-
торые оканчиваются на 4 нуля и более, то останутся
члены
752000l+141376.
 Произведение оканчивается на 1000l+376, если раз-
ность 752 000l +141 376— (1000l+376) =
= 751000l+141 000 =
= (750 000l+140 000) +1000(l+1)
делится на 10 000. Это, очевидно, будет только при
l=9.
Искомая четырехзначная группа цифр 9376.
Полученную четырехзначную группу цифр можно
дополнить еще одной цифрой, для чего нужно рассу-
ждать точно так же, как и выше. Мы получим 09376.
Проделав еще один шаг, найдем группу цифр 109376,
затем 7109 376 и т. д.
Такое приписывание цифр слева можно произво-
дить неограниченное число раз. В результате мы по-
лучим «число», у которого бесконечно много
цифр:
...7 109 376.
Подобные «числа» можно складывать и умножать
по обычным правилам: ведь они записываются спра-
ва налево, а сложение и умножение («столби-
ком») также производятся справа налево, так что в
сумме и произведении двух таких чисел можно вы-
числять одну цифру за другой — сколько угодно цифр.
Интересно, что написанное выше бесконечное
«число» удовлетворяет, как это ни кажется невероят-
ным, уравнению
x²=x
В самом деле, квадрат этого «числа» (т. е. произве-
дение его на себя) оканчивается на 76, так как ка-
ждый из сомножителей имеет на конце 76; по той же
причине квадрат написанного «числа» оканчи-
вается на 376; оканчивается на 9376 и т. д.
Иначе говоря, вычисляя одну за другой цифры
«числа» х², где х=... 7 109 376, мы будем получать
те же цифры, которые имеются в числе х, так
что х²=х.
Мы рассмотрели группы цифр, оканчивающиеся
на 76. Если аналогичные рассуждения провести для
групп цифр, оканчивающихся на 5, то мы получим
такие группы цифр:
5, 25, 625, 0625, 90 625, 890 625, 2 890 625 и т. д.
В результате мы сможем написать еще одно беско-
нечное «число»
... 2 890 625,
также удовлетворяющее уравнению х²=х. Можно бы-
ло бы показать, что это бесконечное «число» «равно»
(((5²)²)²)^2...
Полученный интересный результат на языке бес-
конечных «чисел» формулируется так: уравнение
х²=х имеет (кроме обычных х=0 и х=1) два «беско-
нечных» решения:
х=. . . 7109 376 и х=... 2 890 625,
а других решений (в десятичной системе счисления)
не имеет.

                    Я.И. Перельман "Занимательная алгебра"