Название: Хто поможет Lala777? Отправлено: fortpost от Март 14, 2016, 22:29:13 1)Исследовать на экстремумы: z=y*sqrt(x)-y^2-x+6y
2)Найти наибольшее и наименьшее значение функции: z=x^3+y^3-3xy D:x=0,x=2,y=-1,y=2 3)Вычислить площадь плоской области D,ограниченной заданными линиями D: x^2=3y,y^2=3x 4)Вычислить двойной интеграл по области D,ограниченной линиями Двойной интеграл(xy^2)dxdy D:y=x,y=0,x=1 5) Вычислить Тройной интеграл: Тройной интеграл (xy-z^3)dxdydz V: 0<=x<=1, -1<=y<=2,0<=z<=3 6) Вычислить массу неоднородной пластины D,ограниченной заданными линиями,если поверхностная плотность в каждой ее точке М=М(x,y) D: x=0,y=0,x+y=1,V=x^2+y^2 7) Вычислить криволинейный интеграл Интеграл( по дуге LAB) (xy-1)dx+x^2ydy LAB-отрезок прямой А(1,0,0) В(1,0,4П) Название: Re: Хто поможет Lala777? Отправлено: vlad-31315 от Март 15, 2016, 13:19:33 как пчёлы на мёд
Название: Re: Хто поможет Lala777? Отправлено: і от Март 15, 2016, 13:57:38 А Лала чем поможет Фортпосту?
Название: Re: Хто поможет Lala777? Отправлено: fortpost от Март 15, 2016, 23:21:00 1) Исследовать на экстремумы: z=y*sqrt(x)-y^2-x+6y
1. Найдем частные производные. ∂z y --- = -1 + ----- ∂x 2√x ∂z --- = √x - 2y + 6 ∂y 2. Решим систему уравнений. y -1 + ----- = 0 2√x √x - 2y + 6 = 0 Получим: а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение: x = y2/4 -2y + √y2/2 + 6 =0 Откуда y1 = 12/5; y2 = 4 Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x1 = 36/25; x2 = 4 Количество критических точек равно 1. M1(4;4) 3. Найдем частные производные второго порядка. ∂2z 1 ------ = ----- ∂x∂y 2√x ∂2z y ------ = - ------ ∂x2 4x3/2 ∂2z ------ = -2 ∂y2 4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0). Вычисляем значения для точки M1(4;4) ∂2z A = ------ = -1/8 ∂x2 (4;4) ∂2z C = ------ = -2 ∂y2 (4;4) ∂2z B = ------ = 1/4 ∂x∂y(4;4) AC - B2 = 3/16 > 0 и A < 0 , то в точке M1(4;4) имеется максимум z(4;4) = 12 Вывод: В точке M1(4;4) имеется максимум z(4;4) = 12; Название: Re: Хто поможет Lala777? Отправлено: fortpost от Март 17, 2016, 23:11:29 2)Найти наибольшее и наименьшее значение функции: z=x^3+y^3-3xy
D:x=0,x=2,y=-1,y=2 1. Найдем частные производные. ∂z --- = 3x2 - 3y ∂x ∂z --- = -3x + 3y2 ∂y 2. Решим систему уравнений. 3x2 - 3y = 0 -3x + 3y2 = 0 Получим: а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение: x1 = -√y 3√y + 3y2 = 0 x2 = √y -3√y + 3y2 = 0 Откуда y1 = 0; y2 = 1; y3 = 0; y4 = 1 Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x1 = 0; x2 = -1; x3 = 0; x4 = 1 б) Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение: y1 = -√x 3√x + 3x2 = 0 y2 = √x -3√x + 3x2 = 0 Откуда x1 = 0; x2 = 1; x3 = 0; x4 = 1 Данные значения x подставляем в выражение для y. Получаем: y1 = 0; y2 = -1; y3 = 0; y4 = 1 Количество критических точек равно 2. M1(0;0), M2(1;1) 3. Найдем частные производные второго порядка. ∂2z ------ = -3 ∂x∂y ∂2z ------ = 6x ∂x2 ∂2z ------ = 6y ∂y2 4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0). Вычисляем значения для точки M1(0;0) ∂2z A = ------ = 0 ∂x2(0;0) ∂2z C = ------ = 0 ∂y2(0;0) ∂2z B = ------ = -3 ∂x∂y(0;0) AC - B2 = -9 < 0, то глобального экстремума нет. Вычисляем значения для точки M2(1;1) ∂2z A = ------ = 6 ∂x2(1;1) ∂2z C = ------ = 6 ∂y2(1;1) ∂2z B = ------ = -3 ∂x∂y(1;1) AC - B2 = 27 > 0 и A > 0 , то в точке M2(1;1) имеется минимум z(1;1) = -1 5. Исследуем функцию на границе области D. x=0 и заданная функция становится функцией одного аргумента y: z(0,y) = y3 Найдём стационарные точки функции: z'y(0,y) = 3y2; z'y(0,y) = 0 при y = 0. Точка M1(0;0) принадлежит D. x=2 и заданная функция становится функцией одного аргумента y: z(2,y) = y3 - 6y + 8 Найдём стационарные точки функции: z'y(2,y) = 3y2 - 6; z'y(2,y) = 0 при y = ±√2. Точка M3(2;√2) принадлежит D. Точка M4(2;-√2) не принадлежит D. y=-1 и заданная функция становится функцией одного аргумента x: z(x,-1) = x3 + 3x - 1 Найдём стационарные точки функции: z'x(x,-1) = 3x2 + 3; z'x(x,-1) > 0 при любых x. y=2 и заданная функция становится функцией одного аргумента x: z(x,2) = x3 - 6x + 8 Найдём стационарные точки функции: z'x(x,2) = 3x2 - 6; z'x(x,2) = 0 при x = ±√2. Точка M5(√2;2) принадлежит D. Точка M6(-√2;2) не принадлежит D. 6. Вычислим значения функции в точках M1, M2, M3, M5. z(M1) = z(0;0) = 0 z(M2) = z(1;1) = -1 z(M3) = z(2;√2) = 8 - 4√2 z(M5) = z(√2;2) = 8 - 4√2 Сравнивая найденные значения функции, делаем вывод, что в заданной области наименьшее значение функции z(x,y) = -1, наибольшее значение z(x,y) = 8 - 4√2. |