Форум умных людей

Очень искусный вычислитель и знаток всевозможных соотношений между числами Леонардо Фибоначчи жил в XIII веке в Пизе (Италия).
По обычаям того времени Фибоначчи участвовал в математических турнирах (публичное состязание в наилучшем и более быстром решении трудных задач; нечто вроде наших математических олимпиад).
Прослышав о необыкновенных способностях Леонардо, в 1225 году в Пизу прибыл государь Римской империи Фридрих II в сопровождении группы математиков, желавших публично испытать Фибоначчи. Одна из задач, предложенных на этом турнире, была такая:

Найти полный квадрат, остающийся полным квадратом как после увеличения, так и после уменьшения его на 5 (полным квадратом называется число, из которого точно извлекается квадратный корень).

Фибоначчи решил задачу "в уме", только немного подумал.

А вы сможете решить эту задачу?  :)

Фибоначчи создал ряд натуральных чисел, которые названы его именем - числа Фибоначчи.

Николай тут мастер  :read:

 :good2:

:)

тоесть число Х - квадрат, Х-5- тоже квадрат и Х+5 -тоже квадрат?

Совершенно верно  :)

Числа НЕ целые  ;)

Молодец! :)

см.Кордемский -хороший был человек :beer:

А я думала, здесь задачи сами решают  :)

скажите честно - вы ее сами решили? :)

Мне эту задачу не задавали  :)
А если бы задали, то я бы постаралась решить. Тем более сейчас, когда у меня есть компьютер.
А в ответ в книжке каждый может заглянуть. Но разве это интересно?

как раз книжки то не у всех есть - так что пусть решают

с ручкой и листиком ??? :roll: :o

Голову забыли добавить  :)

и лучше  не одну  :D

вы у себя на форуме ее решали - есть ли еще решения? так мы поищем :)
и про шестерку - есть решение?

 нашел, давать ответ& :)
  или пускай другие подумают :think:

если есть много решений - то давай - если единственное - то подожди :beer:

Я тоже хочу попробывать, не давайте ответ  :read:

можно тоже самое проделать с шестеркой



  есть квадрат  если к нему прибавить или отнять шесть он останется квадратом

это полегче :beer:

Sasa думает ;)

в роли подсказки и только :beer:



    441/64   - 5  =  121/64

жаль не дает квадрата при +5

для желающих :beer:



   нашел сам 8) - найдете и вы :)


     есть число - квадрат

если прибавим  210 или убавим 210 - число останется квадратом

и последняя - нашел за 5 минут


  есть квадрат если прибавить 15 или отнять 15 остается квадрат

легкий :beer:

841\4 8)

а для  тупых- расшифруйте

289\16 :beer:

не трудные :)

хотя вначале и озадачивают

вот кто впереди планеты всей  :D :good2:

а вот тут  расшифруйте- у меня ответ другой :P :P :P

(29\2)²=841/4
841\4-840\4=1\4=(1\2)²
841\4+840\4=1681\4=(41\2)²
Примерно так :)

учись студент :) :beer:


     1369/4

 :beer:
наверное есть и еще решения :)

про 5 я спросил - молчание
думаю единственное


а ты с шестеркой решил?

Так чего может уже и ответ выложить про первоначальную задачку про Фибоначи?

конечно давай- пусть народ просвещается :)

неа, пока не решил

ну она мне показалась - легкой :)

1681\144

наверное, пока не пробовал :)

и вправду легкая:
25\4

как он ее в уме то решил? :roll: :o :roll:

На то он он и Фибоначчи :)

Илья, а вы как решали задачу? С ручкой и листиком?  :)

Это числовой ряд Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...


В этом ряду каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов:

2 = 1 + 1
3 = 1 + 2
5 = 2 + 3
8 = 3 + 5
13 = 5 + 8
...............


Одна задачка про ряд Фибоначчи:

Среди трёх-, четырёх-, пяти- и шестизначных чисел Фибоначчи найдите такие, две последние цифры в которых одинаковые.

А здесь кто-нибудь увлекается программированием?

Сейчас составила программку для задачи, которую решил Фибоначчи.
И для 5, и для 6 и для 210 решений много.
Например, для числа 5 кроме того решения, которое нашёл Фибоначчи, есть ещё такие решения:

6724/576, 15129/1296.

Для числа 210, кроме двух приведённых здесь решений 841/4 и 1369/4 есть ещё такие решения:

3364/16, 5476/16, 7569/36.

22     -    17711
28     -   317811

Верно!
А трёхзначные?  :)

троица

144
233
377


наверное больше нет такого повтора?

в ряду чисел Фибоначчи 12 число =144  делится на 12


какое следующеечисло делится на свой порядковый номер?

например

24 - 46368 :24

а еще?

1-1
5-5
не предлагать :)

25-ое тоже делится

75025:25  :)

да :)

а если среди чисел Фибоначчи  кроме 144еще квадраты?
а кубы?

Квадратов, кажется, больше нет.

а как же мы забыли про  13

надо найти

мне пока попадаются вот такие интересные

1296/36    +13  = 1764/36
                             1764/49  + 13 = 2401/49


324/64 +13 = 1156/64
                       1156/81 +13  = 2209/81

как дела с 13?

нашел пока только такую

9025/144+13+13 =12769/144 +13 = 14641/144


туго дело идет :roll:

или пропустил где? ???

ну например 36 - 14930352 :36
  или               48 - 4807526976:48 итак можно до бесконечности...

а я просто ниже 30 и не забирался.
бум знать :beer:

там кубов и квадратов не встречал?

я правильно понимаю условие, что, к примеру, полный квадрат - это, например, число 25? и по условию требуется вычесть (прибавить) из этого (из какого-то, из которого извлекается корень) числа цифру 5, и из разницы (суммы) должен также извлекаться корень (какой-то!?)

в целых числах решения нет - решения с дробями.
ответы уже приведены
если хочешь заморочиться по настоящему - найди с 13

я прочитал с дробями, и ниасилил ответ Ильи... проясни, плз?
из чего вычетается 5 и что получается в результате?

вот этот ответ 1681\144 ?
из чего вычитаем (прибавляем) 5?

1681/144+5      складываем дробьи целое число

приводим и целое число в дробь

1681/144 + 720/144 = 2401/144



144*5 =720              5=720/144

вот, что получилось:
1681/144 = 11.67361111.....
2401/144 = 16.67361111.....

я не понял.. :tormoz: а почему не подходит, к примеру
1618/2205 = 0.733786848.....
3823/2205 = 1.733786848.....
или любые другие числа.. в чем фишка ???

см. условие

нужны только квадраты

интересно с 5 нашли и с 6 нашли

а про 7 - есть решение?

(337/120)²-7=(113/120)²
(337/120)²+7=(463/120)²

 :beer:
спасибо
довольно большие
поэтому и не нашел сам

(106921/19380)²-13=(80929/19380)²
(106921/19380)²+13=(127729/19380)²

спасибо большое:beer:

тото я не смог найти :)

и фибоначчи не нашел бы??

он нашёл.
только никому об этом не сказал. ;)

легко нашлась для 15

(17/4)+- 15

занятная задачка :)

для того чтобы три числа x,y,z (x<y<z) удовлетворяли условию x²+z²=2y² достаточно равенств:
x=p²-2pq-q²
y=p²+q²
z=p²+2pq-q².
p и q-любые взаимно простые p>q.
разности квадратов y²-x², z²-y² равны 4pq(p²-q²).
если p и q квадраты, например 3²=9 и 1²=1 получим p²-q²=80=5*4² - решение для 5.
x=9²-2*9*1-1²=62
y=9²+1²=82
z=9²+2*9*1-1²=98.
на 2 можно сократить, получим 31,41,49.
41²-5*12²=31²
41²+5*12²=49².

для 15 решение получается если взять p=2² и q=1²: 15=(2²)²-(1²)².

квадратом может быть не q а p²-q².
в этом случае p должно быть равным m²+n² а q m²-n² или 2mn.
в самом простом случае p будет квадратом(25) если m=4, n=3.
если взять q=4²-3²=7 получим решение для 7.
x=25²-2*25*7-7²=226
y=25²+7²=674
z=25²+2*25*7-7²=926.
после сокращения на 2 получим 113,337,463.
337²-7*120²=113²
337²+7*120²=463².

6,25

6,25

а проще всего оказалось с 6


(45/18)²-6 =(9/18)²       (45/18)²+6 =(63/18)²
(50/20)²-6 =(10/20)²     (50/20)²+6 =(70/20)²
(55/22)²-6 =(11/22)²     (55/22)²+6 =(77/22)²
(60/24)²-6 =(12/24)²     (60/24)²+6 =(84/24)²
(65/26)²-6 =(13/26)²     (65/26)²+6 =(91/26)²
(70/28)²-6 =(14/28)²     (70/28)²+6 =(98/28)²

А почему нет решений?

Здесь есть ссылка на книгу «Математическая смекалка». Честно сказать, в там приведённом решении я так и не смог себя заставить разобраться. Там есть также ссылка на "искусственный способ, приведённый в первом издании", но в чём он состоит мне неведомо.

Я решил эту задачу двумя способами. Одним – достаточно давно, именно после почтения «Математической смекалки». А также я видел где-то (теперь не найду где) эту же задачу (без решения), но не только для 5, а для 5 и 6. Кажется, это олимпиадная задача.

До второго способа решения додумался вчера, и стал искать эту задачу в интернете, наткнулся на этот форум, больше нигде не нашёл.

¹²³⁴⁵⁷⁸+<=>±×÷∂∆∏∑−∕∙√∞∫≈≠≡≤≥

Итак, найти число, которое является полным квадратом, и как при увеличении, так и при уменьшении на k остаётся полным квадратом для k = 5, k = 6.

Начало решения общее для обоих способов.

Пусть искомое число – c². Числа, получающиеся при уменьшении и увеличении на k, обозначим u² и v². Т. е.:

u² = c² − k;

v² = c² + k;

k = c² − u² = v² − c²;

c² = (u² + v²)∕2.

Очевидно, без потери общности можем считать, что c > 0, u ≥ 0 и v > 0. Введём новые переменные:

a = (u + v)∕2;

b = (v − u)∕2.

Тогда:

u = a − b;

v = a + b;

u² = a² − 2ab + b²;

v² = a² + 2ab + b²;

c² = a² + b²;

k = 2ab.

Заметим, что выражения v, u², v², c², k через a и b – симметричны относительно a и b. И лишь для u это не так. Однако если поменять местами a и b, то u = a – b превратится в u = b – a. С учётом u ≥ 0 это может быть записано u = |a – b|. В дальнейшем так и будем считать, т. е. наше решение – симметрично относительно a и b.

Далее решение двумя способами отличается.

******************************

I способ

Итак, после того как мы додумались до замены, задача оказалась не очень сложной. Она сводится к пифагоровым тройкам.

Имеем:

c² = a² + b²;

a² = c² − b²;

a² = (c − b)(c + b);

a∕(c − b) = (c + b)∕a;

a∕(c − b) = (c + b)∕a = m∕n;

m и n – целые взаимно простые, n > 0, в нашем случае также очевидно, что m > n.

a∕(c − b) = m∕n;

(c + b)∕a = m∕n.

Значит:

(c − b)∕a = n∕m;

(c + b)∕a = m∕n.

Складывая и вычитая эти равенства получаем:

b∕a = (m² − n²)∕2mn;

c∕a = (m² + n²)∕2mn.

Но тогда:

a = 2mnp;

b = (m² − n²)p;

c = (m² + n²)p;

где p – некое число, в нашем случае рациональное.

Заметим, что, так как m и n – взаимно простые, они либо нечётные, либо чётным является только одно из них. Однако, если они нечётные, то мы можем принять m′ = (m + n)∕2, n′ = (m − n)∕2, p′ = 2p. Далее, приняв m′, n′, p′ за новые m, n, p, мы получим ту же самую тройку a, b, c с переменой мест a и b, при чём новые m и n будут соответствовать требованиям взаимной простоты, но одно из них будет чётным. Таким образом, нечётные m и n можно вообще исключить из рассмотрения.

Теперь имеем:

k = 2ab = 4mn(m + n)(m − n)p²;

откуда:

(1/2p)² = mn(m + n)(m − n)∕k;

т. е. мы должны отбирать только такие m и n, что mn(m + n)(m − n)∕k – полный квадрат.

Таким образом, мы должны найти целые m и n такие, что:

1) m > n > 0;

2) m и n – взаимно простые;

3) одно из m и n – чётное;

4) mn(m + n)(m − n)∕k – полный квадрат.

Поиск m и n, удовлетворяющих первым трём условиям не представляет сложности. Что касается четвёртого условия, можно просто проверять найденные пары чисел на соответствие ему.

Путём подбора находим:

для k = 5: m = 5, n = 4, 5∙4∙(5 + 4)∙(5 − 4)∕5 = 6²;

для k = 6: m = 2, n = 1, 2∙1∙(2 + 1)∙(2 − 1)∕6 = 1².

Итак, получаем:

для k = 5:

m = 5; n = 4; a = 40p; b = 9p;

k = 5 = 2ab = 720p²;

p² = 1∕144; p = 1∕12; a = 40∕12; b = 9∕12; c = 41∕12; u = 31∕12; v = 49∕12;

c² = 1681∕144; – решение!!!

u² = 961∕144; v² = 2401∕144;

1681∕144 − 961∕144 = 2401∕144 − 1681∕144 = 5; – всё правильно!

для k = 6:

m = 2; n = 1; a = 4p; b = 3p;

k = 6 = 2ab = 24p²;

p² = 1∕4; p = 1∕2; a = 4∕2; b = 3∕2; c = 5∕2; u = 1∕2; v = 7∕2;

c² = 25∕4; – решение!!!

u² = 1∕4; v² = 49∕4;

25∕4 − 1∕4 = 49∕4 − 25∕4 = 6; – всё правильно!

******************************

II способ

Этот способ менее универсальный, но кажется легче. И ещё, думается, человек, привычный к устному счёту, мог бы сделать предлагаемые вычисления в уме (как, судя по всему, это делал Фибоначчи).

Итак, необходимо отыскать c, такое, что:

c² = a² + b²;

k = 2ab.

Для k = 5:

2ab = 5;

2a = 5∕b;

введём новую переменную:

2a = 5∕b = r;

a = r∕2;

b = 5∕r;

c² = a² + b² = r²∕4 + 25∕r² = (r⁴ + 100)∕4r².

Так как эта дробь является полным квадратом, и её знаменатель также является полным квадратом, полным квадратом должен быть и её числитель:

r⁴ + 100 = s²;

c² = s²∕4r²;

c = s∕2r;

s² − r⁴ = 100;

(s − r²)(s + r²) = 100.

Введём новые переменные:

p = (s + r²)∕2;

q = (s − r²)∕2.

Тогда:

s = p + q;

r² = p − q;

pq = 25.

Заметим, что нам подойдут только такие p и q, что p − q – полный квадрат.

Умножим первые два равенства на 4:

4s = 4p + 4q;

(2r)² = 4p − 4q;

(4p)(4q) = 400.

Тогда очевидно, что мы можем положить:

4p = 25;

4q = 16;

откуда:

p = 25∕4; q = 16∕4; s = 41∕4; r² = 9∕4; r = 3∕2; a = 3∕4; b = 10∕3; c = 41∕12;

c² = 1681∕144 – решение!!!

u = 31∕12; v = 49∕12; u² = 961∕144; v² = 2401∕144;

1681∕144 − 961∕144 = 2401∕144 − 1681∕144 = 5; – всё правильно!

Для k = 6:

2ab = 6;

ab = 3;

b = 3∕a;

c² = a² + 9∕a² = (a⁴ + 9)∕a².

Так как эта дробь является полным квадратом, и её знаменатель также является полным квадратом, полным квадратом должен быть и её числитель:

a⁴ + 9 = s²;

c² = s²∕a²;

c = s∕a;

s² − a⁴ = 9;

(s − a²)(s + a²) = 9.

Введём новые переменные:

p = (s + a²)∕2;

q = (s − a²)∕2.

Тогда:

s = p + q;

a² = p − q;

pq = 2,25.

Заметим, что нам подойдут только такие p и q, что p − q – полный квадрат.

Умножим первые два равенства на 4:

4s = 4p + 4q;

(2a)² = 4p − 4q;

(4p)(4q) = 36.

Тогда очевидно, что мы можем положить:

4p = 18;

4q = 2;

откуда:

p = 9∕2; q = 1∕2; s = 5; a² = 4; a = 2; b = 3∕2; c = 5∕2;

c² = 25∕4 – решение!!!

u = 1∕2; v = 7∕2; u² = 1∕4; v² = 49∕4;

25∕4 − 1∕4 = 49∕4 − 25∕4 = 6; – всё правильно!

Совершенно верно  Smiley

(337/120)2+7=(463/120)2