|
Название: Бревно и канал Отправлено: Redirect от Январь 12, 2010, 14:13:18 http://nazva.net/forum/index.php/topic,2433.0.html похожая задача была, но ответа не дали
Смысл этой задачи в том, чтобы доказать, какой наибольшей длины должно быть бревно, чтобы проплыть через канал, и даны длины a и b Может кто ? Название: Re: Бревно и канал Отправлено: possward от Январь 12, 2010, 16:11:54 Пользуемся рисунком по ссылке.
По сути нужно найти минимальную гипотенузу (длину бревна). Значит задача на экстремум. Ход решения такой. Длина бревна будет равна L = a/sin(x) + b/cos(x), где x - угол, который на рисунке обозначен как тетта. Далее находим производную и приравниваем ее к нулю. Находим x. У меня получилось x = arctg(корень третей степени из a/b). Подставляем результат в формулу для L. Для проверки: Для a=b=1, получаем угол = 45 град, откуда L=2sqrt(2). Вроде правильно. Название: Re: Бревно и канал Отправлено: Redirect от Январь 12, 2010, 17:23:03 Пользуемся рисунком по ссылке. По сути нужно найти минимальную гипотенузу (длину бревна). Значит задача на экстремум. Ход решения такой. Длина бревна будет равна L = a/sin(x) + b/cos(x), где x - угол, который на рисунке обозначен как тетта. Далее находим производную и приравниваем ее к нулю. Находим x. У меня получилось x = arctg(корень третей степени из a/b). Подставляем результат в формулу для L. Для проверки: Для a=b=1, получаем угол = 45 град, откуда L=2sqrt(2). Вроде правильно. Ответ 2 корня из 2 ? Название: Re: Бревно и канал Отправлено: Rostislav от Январь 12, 2010, 17:33:16 Redirect
Цитировать 2sqrt(2) Это и есть 2 корня из двух! ;) sqrt - так в программках обозначают квадратный корень ;) Название: Re: Бревно и канал Отправлено: Redirect от Январь 12, 2010, 17:37:20 Redirect Цитировать 2sqrt(2) Это и есть 2 корня из двух! ;) sqrt - так в программках обозначают квадратный корень ;) Я знаю, как никак 3 года опыта в программировании ))) Длину бревна надо выразить через a и b... Название: Re: Бревно и канал Отправлено: Rostislav от Январь 12, 2010, 17:44:34 Цитировать L = a/sin(x) + b/cos(x) x = arctg(корень третей степени из a/b). Подставляем результат в формулу для L. Вроде вот ответ! :) Хотя possward придет и сам все напишет, хотя вроде решение верно! :-\ Название: Re: Бревно и канал Отправлено: possward от Январь 12, 2010, 19:27:39 Ответ такой:
L = a/sin(x) + b/cos(x), где x = arctg(корень третей степени из a/b). А 2 корня из 2 - это просто проверка для примера, когда a=b=1, которая вроде как показывает, что решение правильное. Название: Re: Бревно и канал Отправлено: Redirect от Январь 12, 2010, 21:13:06 По сути нужно найти минимальную гипотенузу (длину бревна). Значит задача на экстремум. Ход решения такой. Длина бревна будет равна L = a/sin(x) + b/cos(x), где x - угол, который на рисунке обозначен как тетта. Откуда это можно расписать ? Название: Re: Бревно и канал Отправлено: possward от Январь 12, 2010, 22:08:48 (http://img442.imageshack.us/img442/9614/55993854.jpg)
L = AE + EB, где AE = DE/sin(x) = a/sin(x) EB = EF/cos(x) = b/cos(x) Следовательно, L = a/sin(x) + b/cos(x) Название: Re: Бревно и канал Отправлено: sek140675 от Январь 12, 2010, 22:36:23 (http://i063.radikal.ru/1001/4f/ad51e017cb40.gif) (http://www.radikal.ru)
Название: Re: Бревно и канал Отправлено: Smith от Январь 13, 2010, 11:44:34 не сочтите за оффтоп, есть похожая интересная задача, когдa тот же рисунок, только a=b=1м. вопрос: какой максимально возможной площади стол можно пронести через этот поворот при условии его горизонтального расположения.
Название: Re: Бревно и канал Отправлено: General от Январь 13, 2010, 17:38:24 И ещё одна: какой наибольшей длины кривую можно протащить по этому каналу. Решений не помню.
Название: Re: Бревно и канал Отправлено: Redirect от Январь 21, 2010, 19:39:20 Пользуемся рисунком по ссылке. По сути нужно найти минимальную гипотенузу (длину бревна). Значит задача на экстремум. Ход решения такой. Длина бревна будет равна L = a/sin(x) + b/cos(x), где x - угол, который на рисунке обозначен как тетта. Далее находим производную и приравниваем ее к нулю. Находим x. У меня получилось x = arctg(корень третей степени из a/b). Подставляем результат в формулу для L. Для проверки: Для a=b=1, получаем угол = 45 град, откуда L=2sqrt(2). Вроде правильно. Можно решение этого уравнения, откуда получается арктангенс Название: Re: Бревно и канал Отправлено: possward от Январь 21, 2010, 21:46:16 (a/sin(x) + b/cos(x))' = 0
-a*cos(x)/(sin(x)^2) + b*sin(x)/(cos(x)^2) = 0 (b*(sin(x)^3) - a*(cos(x)^3))/((sin(x)^2)*(cos(x)^2)) = 0 b*(sin(x)^3) - a*(cos(x)^3) = 0 (sin(x)^3)/(cos(x)^3) = a/b tg(x)^3 = a/b x = arctg(корень третьей степени из a/b) Название: Re: Бревно и канал Отправлено: Redirect от Январь 21, 2010, 22:20:13 (a/sin(x) + b/cos(x))' = 0 -a*cos(x)/(sin(x)^2) + b*sin(x)/(cos(x)^2) = 0 (b*(sin(x)^3) - a*(cos(x)^3))/((sin(x)^2)*(cos(x)^2)) = 0 b*(sin(x)^3) - a*(cos(x)^3) = 0 (sin(x)^3)/(cos(x)^3) = a/b tg(x)^3 = a/b x = arctg(корень третьей степени из a/b) Забывал что a и b - константы |