Форум умных людей

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, понятно, нельзя). Вы знаете только, что в одном из них содержится сумма ровно вдвое большая, чем во втором, но в каком и какие именно суммы — совершенно неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и взглянуть на деньги в нём. После чего вы должны выбрать — взять себе этот конверт или обменять его на второй (но уже не глядя на содержимое второго конверта).

Вопрос — как вам поступить, чтобы выиграть (то есть получить большую сумму денег)? Кажется, что шанс на выигрыш и проигрыш всегда одинаков (50%) вне зависимости от того, оставите ли вы себе открытый конверт или возьмёте вместо него второй. Ведь вероятность нахождения большей суммы в конверте A изначально такая же, как вероятность, что более внушительные деньги лежат в конверте B. И открытие одного из конвертов (A) ничего не говорит вам о том — видите вы наибольшую или наименьшую сумму из двух предложенных. Однако математическое ожидание средней "стоимости" второго конверта говорит об ином.

Допустим, вы увидели $10. Стало быть, в другом конверте лежат либо $5, либо $20 с вероятностью 50 х 50. По теории вероятности средневзвешенная сумма в конверте B равна: 0,5 х $5 + 0,5 х $20 = $12,5. Разумеется, открыв альтернативный конверт, вы увидите не эту сумму, а либо 20, либо 5 долларов, просто по условиям игры. Но 12,5 — такова (по вычислениям), как кажется, будет средняя сумма выигрыша на кон при проведении достаточно большого числа раундов, если вы всегда будете менять конверты.

И этот результат не зависит от первоначальной суммы денег. Ведь в разных раундах могут использоваться разные пары (10 и 20, 120 и 60, 20 и 40, 120 и 240 и так далее). То есть в общем виде, если в конверте А лежит сумма С, то статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 0,5 х С/2 + 0,5 х 2С = 5/4 С.

Таким образом, теория говорит, всегда выгодно менять первоначальный свой выбор (12,5 больше 10), хотя в отдельных раундах вы будете проигрывать. Но против такого вывода восстаёт интуиция, которая просто кричит о принципиальном равенстве конвертов. Ведь поменяв их вы можете начать все рассуждения сначала (не открывая второй) и поменять снова.

В этом, собственно, и заключается "парадокс". Интересно было бы услышать мнение форумчан по этому поводу.

Смит
 А один раз играем?

предложите мне эти конверты :girlcry: :girlcry: :girlcry: плевать какой выберу :aaa: я не обижусь если соседу достанется больше :rest:

нет. столько, сколько хотите

верю Вам, Маша, отчего-то :-[
вообще, подобного рода игры предлагают Игорные Дома, например, когда содержиммое второго конверта можно преобрести за сумму, увиденную в первом выбранном конверте ;)

тогда я не играю  :no2: :no2:

почему? ???

не верю Игорным Домам :no: :no: :no:

Игорные Дома представляют конкретные, совершенно земные люди.  и потом: вопрос ведь не в деньгах, а, как вы уже догадались, в их количестве :)

ага, :yes:как и счастье

Понимаю, :sun:но чето мне не хочется делиться с ними своими убитыми енотиками :no: :no: :no:

а вот это верно. нужно сделать так, чтобы они делились с вами, причем добровольно. об этом, собственно, данный пост :think:

Если играть один раз то тогда меняться нет смісла. А вот если раз 100 то вполне логично рискнуть (терять то нечего)

предполагается, что игра повторяется многократно

тут вопрос глубже: к примеру, если нам известна максимальная ставка, которая может быть поставлена на кон (т.е. максимальная возможная сумма в конверте). что это нам дает?

Убирает половину возможных комбинаций. Если 1000 макс. а в открытом 500 то во втором или 1000 или 250. А вот если в открытом 501, 502 итд. до 1000 то конверт оставляем.

если нам известна максимальная ставка на кон (т.е. максимальная возможная сумма в конверте), а это не противоречит условию, мы вроде как не знаем скок в конверте или я чего-то не даганяю ...  :tormoz:

Томас Ковер предложил свою стратегию выигрыша, которая говорит, что игрок должен менять конверт с вероятностью зависящей от суммы в первом конверте. Вероятность смены конверта убывает с увеличением суммы в первом конверте.

Исследователи Макдоннел и Эббот провели свыше 20 тысяч компьютерных симуляций, которые показали, что стратегия Ковера позволяет получить больше денег в игре с конвертами, чем случайный выбор конверта. Также они открыли, что предопределённый обмен, когда выбирается альтернативный конверт только в том случае, если сумма в первом меньше заранее и наугад выбранного игроком значения, тоже работает, хотя этот вывод кажется абсолютно противоестественным, поскольку о минимальной планке перевыбора конвертов знает лишь игрок, но не те, кто предположительно эти деньги туда кладёт.

(Источник  http://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_о_двух_конвертах)

уже исправил. имелось ввиду, максимальная ставка, которая может быть поставлена на кон в течение любого розыгрыша на протяжении всей серии.

Тиана
 Ну это условно. Как акция под крышечками. Максимум - авто, но обычно кружка)

если я играю "в акцию под крышечками", то я выигрываю с вероятностью 1 :D

1 к 0 ??? )))

Не знаю насколько правда, :no2:но мне говорили, что в таких играх, по любому остается в выиграше заведение. :)

я под крышечки смотрела :D, и покупала только выигрышные бутылки  :peace:   

Да ты хитрюга :laugh:только я имела ввиду игру с конвертами :peace:

ну есть чуток  :laugh:
все началось с крышечек :)  а вот с конвертами .... сложнее ...  :think:

ок. начнем сначала и вкратце. самый простой вариант. игра идет на деньги (целые числа, без дробей). максимальная планка 100$. теперь вопросы для самоподготовки.
че будем делать, если в первом конверте выпало:
1) 25
2) 50
3) 78

и с какой вероятностью это произойдет в каждом случае?

1) если 25, то точно нужно брать другой конверт, там будет 50
2) если 50, лучше не менять  :laugh:
3) если 75, то конверт не меняем (тут целое число не получается, либо планка будет 150, либо вер-ть = 0)

 

может я чего не понимаю, :tormoz:как это не менять :roll: ведь в другом ,по идее ,может быть сто,ну или 25 это уже как повезет

лучше синица в руке  :laugh:

Я думаю Смиту не понравится  :no2:

а мат. ожидание? (100+25)/2=75 против 50? на протяжение серии игр, разумеется
правильно думаете :angry:

не злитесь Смит, я исправлюсь  :angel: Показать скрытый текст
меняем во 2м варианте  :peace:

ок. теперь разберемся - что мы имеем?
1) все нечетные числа - всегда меньшие в паре конвертов;
2) числа от 51 до 100 - всегда большие в паре конвертов;
3) числа от 1 до 50 - здесь так: каждое второе (нечетное в данном случае) число - меньшее в своей паре; каждое второе (четное в данном случае) - либо меньшее, либо большее с вероятностью 1/2;
4) если разделить весь интервал на две части 1-50 и 51-100, то мы увидим, что во втором интервале 25 чисел и все они могут быть только большими в паре; в первом интервале - 50 чисел, причем все 50 могут быть меньшими в паре, и  лишь 25 могут быть также и большими. другими словами, в интервале 1-50 меньшие и большие числа в возможных парах (потенциально) встречаются в соотношении 2:1.

и это только начало. легкое и почти не правдоподобное. только чтоб  в тему въехать :peace:

начало  :) кто бы сомневался  :laugh:
 :good2:

окончание будет через пару-тройку месяцев, если вообще будет :laugh:

сплюнь   :D

если второй конверт будет "создаватся" после открытия первого-тогда согласен (изменение условий после действия), а если до, сомнительная теория
зы: а про 3 кейса ,вроде тоже Смита парадокс, так там тоже условие ИЗМЕНЯЕТСЯ после взятия одного кейса(2 пустые, один с деньгами, берешь 1 кейс, из двух один пустой убирается, и предлагается поменять кейс)

а если знать интервал, в котором будут выиграши, или, более того, вероятности, тогда можно подумать о замене:)

предложенная Вами задача - это вариант задачи (или парадокса) Монти Хиила Холла, рассмотренный здесь же в Логических задачах нескольким темами раньше, так что можете ознакомиться, если интересно ;)

та да, может быть и такое.  :D
однако, если Вы заметили, я не формулировал вопроса к парадоксу ???. напротив, написал, что хотел бы услышать мнения форумчан :peace:. также с удовольствием учавствую в дискуссии по теме :tianchik:

Не понял рассуждения в шапке. Изначально матожидание выигрыша 1.5С . После вскрытия конверта становится 1.25С - так и в чем парадокс ?

там всё расписано на примере 10$. мат. ожидание если не менять =1, если менять =1,25. а парадокс в том, что это не так просто опровергнуть, хотя ответ представляется совершенно противоположным.

нужно заметить, что во вчерашнем посте « Ответ #31 : Февраль 24, 2010, 20:40:06 » все верно при соблюдении двух условий:
1)известно распределение сумм по конвертам, и оно является равномерным на всем интервале возможных значений, т.е. при достаточно большом количестве раундов в одной сессии, вероятность участия всех возможных пар равно;
2)известен верхний предел суммы, учавствующей в розыгрыше.
тогда, если увиденная нами сумма в первом конверте попадает в интервал 1-50, то вероятность того, что это меньшая сумма в своей паре составляет 2/3. более того, для данного конкретного случая вероятность вытащить первым конверт из диапазона 1-50 также составляет 2/3, поскольку на указанном интервале плотность распределения возможных сумм в два раза выше, чем в интервале 51-100 в соотношении 2:1.
теперь вопрос: изменится ли вероятность вытащить меньший конверт при попадании в первый интервал, при условии, что в розыгыше могут учавствовать любые суммы из интервала 1-100, т.е. с любым дробной частью после запятой непрерывно распределенные на всём интервале 1-100?

вспомнишь поневоле Райкина

:tianchik:

думаю что изменится на 1/2

а мне кажется, что для данного примера не изменится :tianchik:
к примеру, если включить в интервал 51-100 нечетные числа, тогда логично предположить, что в интервале 1-50 появятся дробные числа в парах к этим нечетным из второго интервала. но тогда для нечетных цифр из первого интервала также добавятся дробные в меньшие пары к ним. таким образом, при добавлении одного числа во втором интервале, добавляется два числа в первый интервал, и так далее... :roll:

Я, конечно, позабыл формулы теории вероятности, но по аналогии с тем что в шапке:
  изначально в конвертах суммы С  и  2С;
  средневзвешенная сумма в КАЖДОМ из конвертов 0.5С+0.5х2С=1.5С;
  после открытия конверта вероятности что мы обнаружили С или 2С равны, соответственно вероятность того что во втором конверте С или 2С равны то же;
  средневзвешенная сумма во втором конверте 0.5С+0.5х2С=1.5С, то есть не изменилась.
Вопрос: что не так?

Да, все правильно, нужно менять. Хотя вероятность угадать/не угадать составляет 50/50, но при большом количестве игр вы будете в плюсе.
Это напоминает парадокс Бернулли, в котором он предлагал игру с бросанием монетки и если выпадал скажем орел, то он платил вам 1 один доллар. Если же выпадала решка, монетка бросалась еще раз, если же при втором бросании выпадал орел, то вы получали 2 доллара. Если снова выпадала решка, то монетка бросалась в третий раз, в этом случае, если выпадал орел, то вы получали 4 доллара. Т.е. монеты бросались до тех пор пока не выпадал орел и сумма с каждым бросанием увеличивалась в два раза.
Вся фишка в том, что за каждую игру вы должны заплатить некоторую сумму. Утверждается, что даже если вы будете платить по миллиону долларов за каждую игру, то при длительной игре все равно будете в выигрыше. С условием, конечно, что ваш капитал неограничен и может проводиться достаточно большое кол-во партий.

в постановке задачи в общем виде предполагается следующее:
предположим, мы 6 раз тянем конверт и вытягиваем : два раза 4, два раза 6, и два раза 8. если не меняем конверты, то имеем в результате: (4*2+6*2+8*2)=36. если же меняем конверт всякий раз, то имеем мат. ожидание получить: (2+8)/2+(3+12)/2+(4+16)/2=45.
45/36=1,25.
однако в действительности не всегда и не всё так просто на самом деле, о чем и речь

эта задача известна под названием "Санкт-Петербургский парадокс", и хотя внешнее сходство с задачей о конвертах имеет место, по сути это две разные задачи, хотя некоторые подходы в попытках разобраться в обеих задачах перекликаются.

Это называеться "Ялтинский лохотрон" для туристов. Латерея. Цена - 5 грн. Корзина с бумажками. На одних - Х, на других - +, третьи пустые. Платишь, если пустая то проиграл, если + то в пять раз больше получаешь. Если попался Х то выигрыш увеличиться в 2 раза, если опять попадаеться Х - то еще в 2 раза и т.д. Прикол в том что плюсиков и пустых то почти и нет!!! Т.е. человек в ожидании КУША будет покупать и покупать пока не кончаться деньги)

что до задачи о конвертах, то в действительности распределение сумм по конвертам нам неизвестно. к примеру, если выпала пара 8-16, то вовсе не обязательно, что вообще выпадут пары 4-8 или 16-32. более того, нам неизвестна и "верхняя планка" интервала возможных сумм. однако некоторое понимание для построения стратегии после того, как мы увидели сумму в первом конверте (при продолжительной сессии игр), рассмотрение первого примера с частным случаем, мы все-таки получаем. другой вопрос - как правильно ею воспользоваться при неизвестных распределении и "верхней планке"

если так, то действительно - обычный лохотрон)

Да, вроде он назывался "петербургский парадокс". Просто, на сколько я помню, первым его озвучил Бернулли, поэтому мне его так проще называть. :)
В глобальном смысле да - это две разные задачи, но во всех таких задачах с удвоенными ставками возникает такой парадокс при расчете мат. ожидания.

ситуация: "играют" ( т.е. смотрят конверт и меняют его, мы не знаем пределов суммы и пользуемся логикой ВСЕГДА МЕНЯТЬ)2 человека, посмотрели сумму и поменялись.... и так далее, и что? по данной логике они оба должны будут когда то выиграть вместе
а логики нету в том, что когда то да начнет везти и буду в выиграеше

аааа, так можно заработать очень много денег, есть 2 конверта, А и В , мат ожидание В=А(0.5+2)/2, потом думаем (только ещё думаем ) выбрать А , а оно: А=В(0.5+2)/2 и т.д. в итоге получаем А=много*А, т.е. если мы будем смотреть то на один конверт то на другой(и будем знать что в одном из них в 2 раза больше денег) то денег у вас будет становиться больше, осталось купить 2 конверта, положить в них денег а начать смотреть на них:)
зы: алхимики отдыхают

Kot, Вы комментируете конкретный пример или так.. вцелом?

а если знаем предел суммы? ну, или хотя бы догадываемся? предположим, играют 2 студента в общаге. какая может быть максимальная ставка? 100руб? 100грн? 100$? или 1000.. может 10.000? вряд-ли.. тем более, что теория кроме всего прочего предлагает такой вариант: чем меньше сумма в первом конверте, тем с большей вероятностью следует менять конверт, и наоборот. для Игорного Дома есть свои пределы, и т.д.
о везении здесь речь не идет вообще, собственно, о вероятности и стратегии игры. можем обсудить на досуге, если Вам будет интересно ;)

я коментирую сам парадокс, на сколько я понял, он советует всегда менять  конверт

скажем так: в парадоксе говорится, что вот есть, мол, "такое" явление.. и как хотите так и воспринимайте: можете соглашаться, можете опровергать, если можете. я писАл пример в посте выше « Ответ #49 : Сегодня в 14:19:48 », вот примерно такое имеется ввиду. вот, мы здесь и рассуждаем "на тему". и выяснили уже, что в определнных обстоятельствах система "меняй" работает

я видел что вы выяснили:) я обсуждал саму теорию:) которая гласила нужно всегда менять (кроме тех моментов когда интуиция просто разрывается) , кстати, по поводу ваших вариантов я вскользь оставил свое фе

мы можем догадываться о максимальной ставке, а о минимальной ?? все зависит от величины и сколько для вас половина значит, если доходы за день, то можно и менять,а если за 10 лет ?помню в школе была экономика, так там были потребности, можно поступить так : (месячный доход+А)/(месячный доход +0.5А) ? (месячный доход+2А)/(месячный доход +А)
где ? -неравенство, А сумма в вашем конверте, месячный доход можно менять на другой промежуток, т.е. что хуже для вас будет потерять половину или не получить в 2 раза больше, можно коофециентов накидать, что бы увидеть какие потребности вы потеряете , а какие сможете получить, т.е. определить что для вас важнее

в каждой сказке есть доля сказки. однако в ней и намёк на урОк. Ваша мысль по-поводу сказки понятна. возможные извлекаемые уроки из сказки обсуждаются в настоящем топике.
если же представляемые здесь доводы кажутся малоубедительными, но интерес к пониманию вопроса тем не менее есть, тогда могу рекомендовать ознакомиться с результатами исследований данного вопроса австралийскими учеными в статье "Рандомизированное переключение в проблеме с двумя конвертами", которая доступна по адресу: http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/465/2111/3309 правда пока только на английском языке.
и конечно же, по-прежнему, приветствуется высказывание своего мнения в настоящем топике

если вернуться к первом у примеру с равномерным непрерывным распределением и известной "верхней планкой", то можно утверждать, что при изменении верхней планки на, например, 200, все свойства, описанные в первом примере для интервала 1-50, сохранятся для нового интервала 1-100. т.е., в общем случае, при верхней планке в n, свойства указанного в первом примере интервала будут сохраняться для интервала n/2. ;)

Парадоксы представляют собой наиболее интересный случай неявных, безвопросных способов постановки проблем. Парадоксы обычны на ранних стадиях развития научных теорий, когда делаются первые шаги в еще неизученной области и нащупываются самые общие принципы подхода к ней.
(с) А.А.Ивин. ЛОГИКА. Учебное пособие

По идее, Lkob уже все расписал. Но если брать вариант с игорным домом, то, ИМХО, надо менять конверт, если сумма в нем меньше ставки за игру, и оставлять, если больше.

Lkob процитировал часть статьи о статье, ссылку на которую я привел несколькими постами выше http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/465/2111/3309, но это все на уровне постановки задачи. вопрос - какой стратегии придерживаться да и есть ли она по Вашему мнению

Я тоже читал какую-то статью на эту тему. Там говорится, что нужно подчиняться простой житейской логике: если сумма маленькая - менять, если большая - оставлять. Одно только непонятно: какая сумма маленькая, а какая - большая, ведь множество положительных чисел бесконечно! Но в статье говорится, что провели какой-то эксперимент, где использовали эту, не побоюсь этого слова, стратегию. И она принесла лучшие результаты, чем стратегия "всегда менять конверты".

Однако лично я именно за "всегда менять конверты".

если известна верхняя планка - это кактегорически неверная стратегия, т.к. работает только в части случаев

А верхняя планка известна? :o

Стоимость всех материальных благ на Земле, чем тебе не верхняя планка?

Не катит. Доллары можно печатать любыми достоинствами и в почти любых количествах. Ну да, они обесценятся, но к этой задаче это не имеет никакого отношения.

Я и сам прекрасно представляю себе, как удобно решать все числовые задачи чисто математически, но в реальной жизни нужно подключать и толику рациональности. однако.

Это не парадокс, это неверно решенная задача. Формула средневзвешенной вероятности оказалась здесь мимо денег.
 
0,5 х $5 + 0,5 х $20 = $12,5 - это что вообще такое? вероятность того что там 20 баксов - 12,5 баксов? :)

Если мы подбрасываем монету, то все понимают, что вероятность между орлом и решкой - 1/2. А если с одной стороны монеты нарисовать не одну решку, а три ;) Вероятность выпадения решки утраивается? ))) Здесь приплели в одну формулу неприплетаемое ))

Тоже самое, если б ПМХ решали вероятность смены дверей умножением стоимости машины на 1/2 и плюс стоимость козы на 1/2 и тогда у нас шанс выиграть машину был бы всегда с вероятностью под 100%.

Если мы наперед говорим, что нужно всегда менять конверт, то чего бы сразу и не выбирать второй. Это неопровержимое следствие. "Типа, не показывайте мне первый конверт, даже не пытайтесь!"

Фокус в том, что мы рассуждаем о вероятности несуществующих 20 баксов, если изначально положили только 5 и 10 - поэтому получается ерунда. Один в один анекдот про динозавра на улице! Только там почему то понятно, что вероятность встретить динозавра умножается на вероятность существования его, вероятность обитания его в этой местности и т.д.

А здесь видимо, не видно, что игра начинается в момент вложения денег в конверт, а не только угадывания конвертов. Где вероятность выбора пары 5-10 относительно пары 10-20 при наполнении конвертов?? Она должна быть в формуле, точно так же как в задаче при выборе шаров (1-4 и 1-4) результат в начале игры 1/10 отличается от момента выбора шаров из мешка либо 1/28, либо 4/28.

Можете считать, что 0,5 - не вероятность того, что в этом конверте половина (целое), а вероятность того, что взяли пару 10-20 (и 5-10, соответственно)

Тогда может быть предложите свою стратегию?

А где тогда вероятность процесса выбора?? Должно быть перемножена тогда вероятность, что положили на вероятность того, что выбрали (например угадали меньшее или большее).

Все сводится к тому, что если вы вытащили, например, 10 долларов (считаем, что они ваши), то у вас риск:

- 50% что вы "проиграете" 5 долларов;

- 50% что "выиграете" 10 долларов.

Но в задаче не учтена целая масса факторов.

Например? Что ведущий (устроитель лотереи) - жлоб? Я думаю, что для математической задачи это просто глупо.

Точно уж не ВСЕГДА менять конверты. :) Это абсурдно со всех точек зрения, кроме этой формулы. А формулы как известно - не истина в последней инстанции ;) А частный случай решения похожих (на первый) взгляд задач.

Конечно, если у вас есть известный потолок в суммах, и вы в конверте видите число больше половины потолка, то 100% , что второй конверт дешевле. А в других случаях - полная бибизяна с гранатой - никаких гарантий между угадыванием большего или меньшего в первом случае нет. Ну или если хотите 50/50, с точки зрения среднестатистической везучести играемого. Есть же люди которые ни разу в жизни в лотереи не выигрывали, а другие десятки раз за жизнь.

Вот родился ребенок - какова вероятность, что он выиграет за свою жизнь в лотереи N-сумму денег? На какие суммы играть будет, сколько раз, сколько денег потратит сам на игру и т.д. Это же задача именно, о конечной сумме выиграша, а не сколько раз в первом конверте большая или меньшая окажется. Иначе 1/2, а в деньгах никто не знает сколько это, может и в минус уйдет.

Если вероятность 1/2 что положили 5-10 и 1/2 что положили 10-20, то можно уверенно сказать, что вероятность вытащить в любом конверте  10 - 1/2, а для 5 и 20 по 1/4. Все остальное покрыто мраком.  :crazy:

Если так, то и я поменял бы конверт с 10-ю.

Только вот эти самые 1/2 и 1/2 не строятся НИ НА ЧЕМ, кроме наших предположений. Опять же, говорим о динозаврах.

Это не мои предположения, а Умника в новом пояснении к формуле про 12,5 баксов. (см. выше)

По поводу обнаружения 10 - почему таки менять??

Если в конверте вытащили 1000 долларов - меняем? Во втором оказывается - 500. Влетели на 500.

Следующий раз вытащили 10 - меняем? Выиграли 20. Ура! Влет на 490 - это ж другое дело )))

См. выше. Если я УВЕРЕН в том, что указанная вероятность ТАКИ 1/2, то в случае смены выбора имеем такие риски:


"Дайте мне такие риски в нефтяном бизнесе, и я захвачу мир"

Здесь психология, а не теория вероятности. Рискну и возьму большее! Оптимизм однако - замечательная вещь)))

Хотя с точки зрения других социальных типов, именно вероятность оставить гарантированную 10 преобладает, на гарантированной 5.

Отлично.
Мы вскрываем конверт, обнаруживаем там 10 баксов. О чем это говорит? - О том, что в другом конверте либо 5 баксов, либо 20. Причем Вы сами сказали, что вероятности этих событий равны. Мат. ожидание - 1/2*5+1/2*20=12,5 баксов.

Играем дальше.
В конверте 1000 долларов - меняем. Во втором - 2000.
В конверте 10 долларов - меняем. Во втором - 5. Итого мы наварили 505 долларов.

А теперь свяжите эти два события (мое и свое продолжение) :))) Я связи не вижу и формального описания ему не существует.

Вы про что?

Про то, что после проиграша на 490 мы должны выиграть сразу на 1000 .

Умник понимает условие задачи примерно так:

Ставите 10 баксов и подбрасываете монетку.

Если орел - ваши 20 баксов.

Если решка - ваши 5.


Бесконечно играя в такую игру можно неимоверно разбогатеть, поймите.
Дело совсем в другом.

Вероятность 1/2 (и ассоциация с монеткой) НИЧЕМ не обоснована!
Она считается нами таковой, потому что мы НЕ ЗНАЕМ ничего о том, как кладут деньги в конверт. И это НЕПРАВИЛЬНО. Если чего-то не знаешь, то нельзя уповать на 50% !

Ну почему сразу? Можно потом. Важно лишь то, что при бесконечной игре это произойдет.

Лев, "Ведь вероятность нахождения большей суммы в конверте A изначально такая же, как вероятность, что более внушительные деньги лежат в конверте B."

За это время вы можете проиграть миллион, пока это произойдет.

Я там вверху допустил ошибку, исправляюсь. Если 1/2 на 5-10 и 1/2 на 10-20, то для 10 -1/2, 5 -1/4 и 20 - 1/4... Все это не применимо в данном случае.

Если мы вытащили в первом конверте 10, второй выбор либо 1 за 20 и 0 за 5, либо наоборот. Никаких 1/2 не будет.

Иначе, если б мы вытащили в первом конверте 5, то выходит вероятность вытащить во втором 10 - 2/3, а 20 - 1/3.
Тут тоже мат. ожидание можно посчитать?

Это уже другой разговор. О верхних (и нижних) планках. В условии они не определены.
Но, например, мы со Смитом (если не ошибаюсь) считаем, что их нужно определить.


Откуда это взято?

Вот-вот, и я об этом :)

Вот отсюда.

ВОТ условие задачи.

Ответ такой, конверты абсолютно равноценны. Формула не верна.

Мат.ожидание вычисляется для одного события.

5 и 20 долларов - взаимоисключающие случаи, а взаимоисключение не позволяет им входить в одно событие, соответственно в одну формулу.

А дальше - это так, для прикола.

хорошая задачка)

И что?

Если вы сыграете сто раз с теми же начальными условиями. Выдали 2 конверта с 5-10, в первом конверте 10. Если долго играть, то во втором появится 20?

Разные конверты - это разные игры. Если в ПМХ в одной игре разыгруют "козу+козу+машину", а в следующий раз "козу+козу+коробку спичек", то это по вашему одна и та же игра, и машину выиграть в обоих случаях равновероятно?

Открыл первый конверт - 10, значит во втором может быть 20. Открываем второй - 20, значит в первом может быть и 40? Ах да, мы ж уже видели там 10...

А теперь представьте картину с точки зрения организаторов. Положили в конверты 5 - 10. При том ясно это видели, и вдруг вы заявляете, что можете вытянуть из второго 20 с вероятностью 1/2 и вытягиваете. Хотел бы я видеть их физиономии )))))

Да кто вам сказал, что только пара 5-10 есть?! Тогда смысл игры теряется.

А кто Вам сказал, что вероятность 1/2 ?
Смит?

Простите, что отвечаю вопросом на вопрос: Бесконечно малые величины равны?

И равны и не равны, а что?
Можно поточнее?

А бесконечность это что? )
Есть не только 5-10, но тогда это будут уже другие игры, с подобными правилами.

Объясните, Умник, почему нам не продолжить цепь и не отказаться еще и от второго конверта, ведь в другом относительно второго (согласно правилам) может тоже быть в два раза больше. И продолжить цепочку переборов дальше, пока не наберем гипотетическую огромную сумму. Рисковать, так хоть на миллион.

Может. Но только в том случае, если во втором конверте в два раза меньше относительно первого.

ОК.
Вариантов распределения сумм по конвертам бесконечное число. Причем вероятность каждого варианта больше нуля. Получаем, что вероятность каждого распределения - бесконечно малая величина.

Так вот если вы уже вытянули в первом максимум, но не знаете этого, во втором все равно еще может быть максимум? Вы думаете, что все события в мире не существуют до тех пор пока вы о них не узнаете? Уверяю вас, если вы чего-то не знаете о втором конверте - это не делает его шансы круче первого.

Шансы абсолютно такие же. А вот бабла то я побольше срублю.

Распределение денег по конвертам - свершившееся событие на момент выбора конвертов. Какая вероятность у свершившихся событий?

1. Вы это хотели услышать?
Да вот только проблема есть: мы не знаем, какое событие произошло.

Поэтому я и привожу пример с организаторами, которые знают. И с их точки зрения в конвертах с 5 и 10, двадцаток нет, значит их нет для всех, даже тех кто не знает, но надеется на непонятно что, та еще и с вероятностью 50%.

В какой-то части случаев, они знают, что там 5, а в какой-то части - что 20. Почему мы не можем рассчитывать на эту вероятность?

А почему с 1/2 то?? Где об этом сказано в условии? необоснованное предположение.

Вот где собака зарыта  :beer:

Вы считаете (ну, как всегда, впрочем) чистейший с точки зрения математики вариант.

А для меня (и, как я понял, не для меня одного) вероятность нахождения в конверте определенных сумм ЗАВИСИТ от вполне рациональных условий. То есть, например, вероятность наличия в конверте 10-ти долларов намного выше оной для 999 квинтиллионов. Я не говорю, что их там НЕ МОЖЕТ быть. Просто, скорее будет 10.

Условие не отрицает данную точку зрения. Там честно говорится, что мы НЕ ЗНАЕМ, как их туда кладут.

Эта задача имеет аналог в анекдоте.
"Плачет девочка, собрались люди, спрашивают, что случилось. Говорит - Потеряла рубль. Ей чтоб не плакала дают добрые люди рубль, а она начинает плакать еще сильней - Теперь бы у нее могло быть два рубля, а так один." Стопроцентов те же рассуждения.
Человеку дали конверт с пятеркой и десяткой. Он с первого раза угадывает десятку (уже выиграл в два раза больше). Но не радуется, потому что во втором могла бы быть 20 (по его мнению), мог бы выграть в 4 раза больше. Делим шкуру неубитого медведя в общем.

Нет, это не совсем так...  :-\

А я уверен, что так..
Если в конверте лежат 5 и 10, истинное мат.ожидание в игре -7,5 ((5+10 )/2)
Если лежит 10 и 20, мат.ожидание - 15 ((10 + 20)/2)
Мы можем в обоих случаях выграть или проиграть двукратную сумму, это не зависит от пары чисел. Разница только, что игра может быть по крупному или по мелочи. Тоесть на кону - крупная сумма или мелочь. Чтобы выиграть сумму в два раза больше - достаточно сделать один выбор (первый конверт). Зачем делать еще что-то? Денег в конвертах больше не станет. Усложняем игру за те же самые деньги??

В первом выбранном и вскрытом нами случайным образом конверте обнаруживается некое число Х. Нас интересует вопрос: с какой вероятностью в оставшемся (втором) конверте может оказаться число 2Х и с какой вероятностью там же может оказаться число Х/2.
Для ответа на этот вопрос я предлагаю условно разделить интервал всех возможных значений суммы во втором конверте на две части: (от 1 до n/2 - здесь все целые числа) и (от n/2+1 до n - здесь исключительно четные числа).
Тогда вероятность попадания числа Х во вскрытом нами первом конверте изначально известного нам конечного интервала N (независимо от того - вскрыли мы конверт или нет) составит:
- для второго интервала - 1/3;
- первого интервала - 2/3.
Далее. Еесли число Х в первом конверте попадает в интервал (от n/2 до n), то с вероятностью 100% (или 1/3 всех возможных выриантов из интервала N) число во втором конверте составит Х/2.
Если же число Х в первом конверте попадает в интервал (от 1 до n/2), то происходит следующее:
- если число Х нечетное, то с вероятностью 100% (или 1/3 всех возможных выриантов из интервала N) число во втором конверте составит 2Х;
- если число Х четное, то с вероятностью 50% (или 1/6 всех возможных выриантов из интервала N) число во втором конверте может составить как Х/2, так и 2Х.
Деление на четные и целые здесь приведено мной исключительно для иллюстрации примера, однако плотности распределения вероятностей для Х в первом конверте в первой и второй половинах интервала N всегда будет соотносится как 2/3 : 1/3, со всеми вытекающими для второго конверта.

эх, знать бы N... :yesgirl:

Но Умник утверждает, что не важно есть ли вообще число N - его вопрос о бесконечно малых вероятностях нам это говорит.

Ошибка здесь только в том, что человек не верит в существующий факт, пока в нем не убедится лично. Это называется надеятся на чудо.
Когда мы выбираем конверты изменить их содержимое нельзя. Выбор идет между двумя суммами. И для этого достаточно одного выбора!

Второй выбор - НЕ ВЫБОР вообще. Мы ОБРЕЧЕНЫ УЖЕ на результат оставшийся во втором конверте. Но человеческая сущность надеется до последнего на иллюзорные шансы.

То есть путают АКТИВНЫЙ выбор в первом конверте, которого НИКТО не знает наперед и для которого есть вероятность, с ПАССИВНЫМ ознакомлением с оставшимся содержимым второго конверта. Выбор второго конверта - это не выбор суммы в этом конверте. Мы обречены на то что там есть, тужься - не тужься, угадуй - не угадуй. Не знание свершившегося факта - не дает возможность выбора.

Выбор - это активное действие с непредвиденным результатом, а здесь организаторы после первого конверта уже знают содержимое второго. Игрок обречен на пассивное открытие второго конверта. Интрига умерла после первого.

ну и что, что знают? этим фактом они никак не влияют на выбор игроком стратегии - менять или не менять конверт. и только от того, насколько в конечном счете игрок правильно себя поведет зависит исход игры.
кстати, пусть например организаторы не знают? ну, положили они деньги в одинаковые конверты, потом бросили конверты в мешок, а игрок вытянул один наугад, никому не говорит, что увидел, сидит - задумался... :yesgirl:

Выбор конверта существует, выбора денег во втором конверте нет. Игрок ОБРЕЧЕН увидеть одну единственную сумму в оставшемся конверте. Где выбор??

содержимое обоих конвертов поменять нельзя, а поменять конверт или нет в зависимости от увиденной там суммы - очень даже можно. и кстати, при просмотре содержимого первого конверта игрок так или иначе получает некоторую дополнительную информацию

выбор в том, какую суммуоставить у себя

Получает информацию о первом конверте и надежду, что во втором может быть больше. Но надежда - это не вероятность. Когда бросаешь кубики и хочешь 6 увидеть, вероятность 1/6, а надеешься, что выпадет сразу 6. Это разные вещи.

Игра только тогда имеет вероятность, когда никто, кроме Бога не знает, чем она закончится. Если игрок видел первый конверт, а организаторы видели, что в обоих, то по отдельности они не знают, но вместе их знания создают свершившийся факт. Свершившиеся факты не зависят, от наблюдателей, и их знаний частичных или нулевых.

для этого хватит одного действия!

gst12345, если Вы согласны хотябы отчасти с тем, о чем я писАл парой постами выше (« Ответ #125 : Сегодня в 08:57:09 »), то Вы не можете не согласиться, что в определенных случаях это знание нам очень даже может помочь.

ну и что? и одно действие можно расчитать с т.з. теорвер

Я что-то сказал про 1/2 в том посте?

:beer:

Абсолютно согласен. Я даже ожидал такую реплику, поэтому встречный вопрос: кол-во чисел между 9,99 и 10 бесконечно? Можно ли считать, что все эти вероятности будут равны?

Более того, это совсем не так.

Смит, мы решаем разные задачи.

Я принимаю N=бесконечность. А у тебя это определенное число.

Ладно, если вы не верите здоровому глузду, который я уверен подсказывает вам, что конверты равноценны, а верите левой формуле. Пожалуйста, вот вам формульное объяснение.

Как я писАл выше, истинное мат.ожидание для выбирающего конверты:

Если в конверте лежат 5 и 10, истинное мат.ожидание в игре -7,5 ((5+10 )/2)
Если лежит 10 и 20, мат.ожидание - 15 ((10 + 20)/2)

В общем случае = (Min + Max) / 2

Если суммы в конвертах не менять, вы в прогрессии всегда будете стремиться именно к этой сумме за большое число игр. Тоесть можно сказать что в отдельных играх, вы выигрываете мат.ожидание и плюс-минус 1/3 от мат.ожидания.

(Min + Max) / 2  +  1/3 * (Min + Max) / 2

Это окончательная формула игры.

Задача для Смита и Умника (последняя, больше спорить не буду):

Вы и другой игрок имеете выбор между двумя конвертами. В один положили миллион баксов, в другой - рубль.
Другой игрок первым подошел и взял один из конвертов. Вы взяли второй (ваш любимый).

Соперник вышел со своим конвертом на улицу, вскрыл его и увидел миллион баксов. Вы об этом не знаете. Вы надеетесь, что в вашем конверте либо миллион, либо рубль (НАДЕЯТСЯ - вполне резонно). Какая вероятность (не надежда) сейчас вытащить из вашего конверта миллион баксов? Игра еще длится по вашему? Что нужно сделать чтобы не ошибится и не вытащить рубль?

Эта задача не имеет никакого отношения к обсуждаемой задаче.

не-а. я тоже не знаю верхней планки, я только утверждаю, что она есть. и чем ближе мы сумеем подобраться к ее пониманию, тем больше вероятности выиграть, и спользуя полученные знания с учетом написанного мною ранее.
а планка.. ну для тебя с gst12345 она одна, для казино - другая (но тоже вполне граничная), для ТВ-шоу - третья, но не более определенной (и вполне ограниченной)

опередил. gst12345, это совсем другой расклад

В реальной жизни - конечно.

Как уже сказал Лев, я решаю эту задачу как чисто математическую.

:beer:

Имеет самый прямой, в ней так же вероятность абсолютная в мировых координатах путается с личной надеждой неосведомленного игрока.

ОК. В закрытый ящик кинули кубик (он уже упал). Какова вероятность, что выпала 6?

Обещал не спорить но не вышло, извините уж.

Математическое решение должно быть правильным, а оно у вас хромает.

Сумма в обоих конвертах деленная на два - это мат.ожидание на сумму выиграша в игре, а не то что вы придумали.

И играете вы не на половину победы, а на 1/3. Можно прибавить к мат.ожиданию 1/3, можно отнять ту же 1/3.

А вы в двух конвертах ищете ТРИ числа!!! Одно увидели в первом, и еще два напророчили во второй!! Тоесть вероятность для 5 - 1/2, для 20 - 1/2, а еще есть вероятность что и 10 могла быть во втором конверте - тоже 1/2. Итого 3/2 на второй конверт.

:o
Если 10 в первом, то во втором ее быть не может. Так что все у нас нормально.

До падения вероятность, что ВЫПАЛА - 1/6, после падения - либо 0 либо 1.

Вы путаете шансы кубика упасть на какую-то сторону, со своими шансами угадать это.

С какой вероятностью?

Вероятности у свершившихся событий - НЕТ.

Вы путаете способность кубика падать на какую-то сторону, со способностью угадывать вами что там могло произойти.

Не поверите, у свершившегося события не может быть и вероятности "0 или 1". Потому что такой вероятности вообще не может быть!

На кубике нарисовали на всех сторонах 6. Какова вероятность, что выпадет 6?

парни, вы сами себя в тупик загоняете. если бросили монету поймали и не открыли, но она уже упала, с какой вероятностью там орел или решка? можно сказать 1/2, а можно сказать: там орел с вероятностью либо 0, либо 1, и с такой же вероятностью там решка. а раз вероятности равны (или их одинаково нет, если хотите), то они равны

Ну, если принять на веру, что кубик падает на сторону, то 1. Но явно не "0 или 1"!

А уважаемый gst12345 это не принимает!

Это сильно -  1 , но не 1

гарячие финские парни  :muscles:

зы: спустите пар :beer:

gst12345, вы признаете, что вероятности со значением "0 или 1" не существует, т.е. "0 или 1" не является числом от 0 до 1?

Смит, ну хоть ты мне объясни, где я ошибаюсь?)

С точки зрения абсолютного знания - в одном случае только 0, в другом только 1. С точки зрения угадывающего - 1/2.

Какова вероятность, что произойдет первый случай? Второй?

ИМХО, это заветное сочетание букв и цифр, которые хотел увидеть Умник )))

Наверное, да))

На моменты после падения кубиков, для миллиона случаев именно в этот момент распределение вероятности дискретное - 1 или 0.

Кубик упал - это событие. Игрок угадал - иное событие. Просто вероятности совпадают и некоторым тяжело увидеть разницу.

Я надеюсь вы не задним числом вероятность определяете. До падения 1/2. Это если про монеты. Для кубика - 1/6.

А после падения эта вероятность меняется? :o

Для монеты - да, для того кто видит - да. Для угадывания она только сейчас начинается. Раньше монета вообще могла не упасть и повиснуть...

Априорная вероятность события меняется? :o

Не давите интеллектом :)

Один видел, что выпало на монете, другой нет. Какова вероятность? Просуммировать их знания или перемножить? Или у каждого своя правда? А истина должна быть независима от наблюдающих.

:)
Для этой определенной монеты - 1 для той стороны, которую видел первый человек.
А я имею в виду среднюю вероятность для всех монет.

Выпала монета, вы не знаете как. Вероятность УГАДАТЬ 1/2 (а не того что она ВЫПАЛА на одну сторону). Вы не успели угадать, как свидетель падения сообщает результат. Вероятность остается 1/2?

Вы спорите жив или мёртв кот Шредингера.

Это неважно в этой задаче.

Вероятность угадать бОльший конверт = 1/2. Всё.

Именно)

1. Какова верхняя граница?
2. Допустимы ли дроби?

Если ответов на эти вопросы нет и оценить невозможно, то вероятность всегда 1/2 хоть меняй, хоть не меняй.

Так вопрос - менять или не менять (шило на мыло) ? :)

Если ничего неизвестно о допустимых числах в конвертах, то всё равно менять или нет.

При наличии любой информации нужно применять стратегию.

Всё - аргумент демагога.
Обоснуй)

Умник, используя твою стратегию скорее всего можно ожидать, что игрок будет в плюсе, попадая в интервал от 1 до N/2 и выигрывать, но небольшие суммы, а проигрывать наоборот - несколько реже (попадая в интервал N/2-N) но большие суммы (здесь выигрыш/проигрыш понимается как вытягивание большей/меньшей суммы при смене конверта). сложно подсчитать балланс, но я думаю, что либо равно, либо ты в пролете.
проверить же чисто математическую составляющую вашего спора я могу разве что экспериментально, т.к. неизвестно ни распределение сумм по конвертам (случайно/не случайо), ни плотность вероятности.

по теории этой, ну этой, как её...

Если серьёзно, то не зная никаких дополнительных принципов "укладывания" конвертов, мы ничего сказать не можем. По сути, мы и 1/2 не можем сказать, но фиг уж с ним...

При определенном N, ест-но, в интервале N/2 - N менять не надо, потому что я всегда в пролете буду.
А в интервале 0 - N/2 нужно менять всегда.

Условия, которых придерживаюсь я:
В конвертах находятся не деньги, а числа (чтоб уйти от мысли, что 999999999999999999999$ в конверте не будет).
Числа любой величины влезают в конверт (чтобы уйти от мысли, что 9^9^9^9 туда не влезет)

(Min + Max) / 2  +  1/3 * (Min + Max) / 2

Это окончательная формула игры. Умник, опровергаешь мое учение?))))))

Что ж тут опровергать? Это вольная интерпретация условия, другая запись, так сказать. По этой формуле посчитать что-либо невозможно.

Есть два конверта. Один из них с большей суммой. Вероятность его выбрать = 1/2.
Это не очевидно?

Или по формуле расписать?
Всего варианта 2. Нужный 1.
1 делить на 2 = 1/2

Всё, у меня уже крыша едет)))

Это, конечно, очевидно.

Вот только менять или не менять?

Нетушки, пиши есчо...))))))

Это формула с 12,5 долларами вольная интерпретация. А в моей всегда однозначный ответ - на момент выбора в конвертах сформированные суммы, поменять нельзя. Среднее арифметическое плюс-минус треть от среднего арифметического - чистая математика без фантазий.

Тимон, а как же мат.ожидание? :D

Вероятность выбрать бОльший конверт = 1/2

Если выбрали меньший, то вероятность того, что во втором больше = 1
Если выбрали больший, то вероятность того, что во втором больше = 0

Итого вероятность того, что во втором больше = 1/2*1+1/2*0=1/2

Т.е. всё равно менять или нет.

4 варианта - это однозначный ответ? :o

Матожидание - мера случайной величины. А у нас две конкретные не случайные суммы.

Это понятно. Нам нужно не больший конверт выбрать (тут тупо орлянка получается), а денег побольше срубить. В этом и проблема)

Какие 4?

А это не одно и то же? Мы можем срубить побольше денег выбирая меньшие конверты?

Мне сказали что нельзя чтоб вероятность была "1 или 0". А здесь во втором конверте запрещенные приемы..

Там вероятности для двух разных событий, а не для одного.

Тимон, блин, не меньшие конверты, а чередуя вероятности: раз сменил - выиграл, другой - проиграл, а на круг - при баблосах

Случаи разные, если точнее быть, событие одно и то же - угадать что во втором конверте.
Но у меня тоже случаи были угадать орел-решка при выпавшем орле, и угадать орел-решка при выпавшей решке. Тоже разные, а сказали нельзя.

Если есть инфа о возможных числах, то стратегия возможна. Если никакой инфы нет, то всё-равно менять или нет.

инфа есть. в выбраном игроком конверте конкретная сумма, которую он видит. в другом конверте либо большая, либо меньшая в 2 раза. всё.

Другая инфа: верхняя граница и дробимость целых.

5-10 и 10-20, да у каждой этой пары еще + или - может быть.

Мы можем срубить побольше денег, если получим 0,5х и 2х, а не х и х.

Здесь написано - "вероятность - 1/2".
А у Вас было написано "вероятность - 0 или 1".

Это понятно. Я говорю о том, что менять конверт смысла нет. Ты можешь выбрать как меньший так и больший конверт с одинаковой вероятностью. Следовательно меняя конверт ты попадаешь на 1/2.

Только не 0.5х и 2х, а 0.5х и 2у. А тут неизвестно + или -

но суть в том что мы с вероятностью 1/2 выигрываем сумму Х (2X-X) , и с той же вероятностью проигрываем но уже 0.5X (X-0.5X)

Суть в том, что второго шанса уже не будет. Ты либо выиграешь либо проиграешь определённую сумму с вероятность 1/2.

У 5-10 мат.ожидание свое - 7,5 и плюс-минус 2,5.
У 10-20 свое - 15 и плюс-минус 5.

5-10 и 10-20 одновременно в конвертах не могут быть. И вы не тяните на себя роль выбиральщика пар. Их выбирают организаторы, ваша участь слабо надеятся, что вы играете на крупные деньги с большей суммой на два конверта разом. Надеятся и вздыхать, вздыхать и надеятся, но не выбирать. Все уже за нас решено.

Мы видим в первом конверте 10. Значит во втором - либо 5, либо 20. Будем считать, что с вероятностью 1/2.
Мат. ожидание - 5*1/2+20*1/2=12,5

Почему не выбирать? Выбрав конверт мы до сих пор имеем выбор между двумя конвертами.
А вероятность выбрать = 1/2

Не выбирать - вторую сумму к той, что увидели в первом конверте. Она заранее забита организаторами.

А конверты можно выбирать, но не сумму денег во втором конверте. Что есть то уже есть.

Ест-но. Только по очереди.
Чхал я на ваших организаторов, которых вы придумали! Их нет в условии!
Аминь.

Умник не только конверты выбирает, но что в них находится. А это противоречит правилам - неизменности суммы денег в игре.

Просто на одно и то же событие смотрят по-разному, а смысл один.

Что нам даёт открывание первого конверта, если мы не знаем верхней границы и дробимость целых? Ничего.

Т.е. по сути нам просто надо выбрать один конверт из двух. Мы можем выбрать конверт и оставить себе. Можем выбрать, а потом поменять на другой. Вероятность выбрать больший 1/2.

Добавление: Использовать можно все действительные числа (Тимон, спасибо, напомнил)

Версию Смита я понял: надо оценивать возможные суммы и вырабатывать стратегию.

Версию Умника и gst12345 (жаль нечитабельно) я не понял.

Что не читабельно? В каком месте?

Ник нечитабелен )))

Зато считабелен

Значит, если у вас будут в конвертах попеременно 5-10 и 10-20, то в конце миллиона угадываний вы получите сумму в (12,5 * число игр)? Так, Умник? Ибо мат.ожидание и дает нам такое число.

За один раз отвечать не могу. Будут отклонения от нормы.

А вот если взять среднее арифметической за миллион раз по миллион игр, то получится действительно около 12.500.000

Матожидание в данном случае - потолковое число.

Мы выбрали один конверт из двух. Не открывая его предполагаем, что там число Х, а матожидание второго 1.25Х. Т.е. не открывая конверт мы уже предполагаем, что во втором более вероятно большее число.

Не бред ли?

А я утверждаю, что при таких условиях, если только конверты с комбинацией 5-10 и 10-20 и при том равновероятно попадающиеся (то есть по пол-миллиона на версию), мы в конце получим

11,25 миллионов!

Проверим? Есть предложения?

В случае, если конверты только 5-10 и 10-20, то 5 выберется в 25% (250000), 20 - 25% (250000), 10 - 50% (500000).
Сумма = 250000*(5+20)+500000*10=11250000

Если мы проигруем и выигруем равновероятно с конвертами 5-10 сумма общих денег будет стремиться к 7,5 * число игр. Для 10-20 сумма будет стремиться к 15 * число игр. Пары попадают равновероятно, значит

1/2 * 7,5  +  1/2 * 15 = 11,25

это и есть однозначный ответ, а не 4 версии

Тимон, gst12345, в ваших расчетах для первого конверта 5 и 20$ встречается в 25% случаях, а 10$ - в 50%. это не корректно

У меня нет 25% случаев. У меня все 50/50.

это не корректно писать, что это не корректно

Вообще у нас есть информация о распределении. Мы играем N раз и на основании всех предыдущих разов можем оценить верхнюю границу и дробимость целых чисел.
Поэтому стратегия имеет место.

5 - 50%
10 - 50%
20 - 50%

Так что ли?

т.е. вы согласны с Умником, что менять нужно всегда, только возражаете в расчете уровня дохода?

да я и не против стратегии. проста в данном конкретном случае обсуждается стратегия Умника "всегда менять!"

В конвертах в сумме лежит определенное число N. Конверты не меняют, сумма не изменяется после ответов игрока.

В первом мы нашли M денег. Значит ли что во втором лежит N - M ?

А у Смита и Умника есть система уравнений.

N - M = 5
N - M = 20

И они ее решают, видимо все корректно..

Я не распределение конкретных чисел беру, а распределение результатов игры. Поэтому формально избегаю 25%.

"Всегда менять" - это не плохая и не хорошая стратегия, если распределение оценить лень.
Второй конверт ничем не лучше первого. Они одинаковые.

Да, но по истечению миллиона игр числа ожидаются именно в распределении 25-50-25, не так ли?

Неужели не заметно было, что я весь день провел в спорах с Умником???

Так ли, но об этом можно умолчать, чтоб не путать путливых и без нас))

ну примерно. выпало 10 - поменяли-5. выпало 10-поменяли-20. и т.д.
представьте, что все известные вам числа выпали в первом конверте в процессе игры дважды. тогда для 10 например в первом конверте считаем раз 5 - раз 20, в сумме 25, а для базового варианта - 10+10=20

Выпало 10, поменяли - 5
Выпало 10, поменяли - 20
Выпало 5, поменяли - 10
Выпало 20, поменяли - 10

4 равновероятных события.

умник считает что есть смысл менять с подъемом в 12,5,.
а Вы пишите, что не 12,5 а 11,25. поэтому и спрашиваю)

Ах да, я то думал, что вы имеете в виду, что в первом конверте лежит 10!
Тогда идем дальше. Неопределенность со вторым конвертом у нас только в том случае, если в первом конверте 10. Поэтому менять я буду только если в конверте будет 5 или 10.
И словлю свои законные (1/4*5+1/4*10+1/2*20)*1.000.000=13.750.000

Они применили мою стратегию "всегда менять" к строго, даже очень строго ограниченным числам. Вот и получилось совсем не то, что должно было)

только еще выпало 5, поменяли -2,5
выпало 20, поменяли -40

Всё равно ограниченные или нет.

Ответь, пожалуйста, на вопрос: если мы выбираем конверт, но не смотрим его сумму, во втором конверте всё равно ожидание 1.25Х ?

Взяли конверт, второй вероятнее больше. Положили взяли второй, теперь первый вероятнее больше. Так?

Капец просто..

Я за выбор первого конверта! Все слышали?)))

Где здесь написано, что-то менялось?????

Тут так часто меняется условие, что только успевай следить )))

Тимон, я не отстаиваю позицию Умника. я ее опровергнуть не могу. поэтому просто пытаюсь быть корректным и вникаю в сказанное всеми участниками

Умник, кто тебе сказал, что неопределенность только если 10????? Капппппеееееццццццц.....

для тебя при выпадании 5 в первом конверте - во втором лежат или 2,5 или 10, скрученные одной резиночкой...

Ты не знаешь, что на уме у тех кто подсовывает конверты, хотят используют одни и те же суммы, хотят разные...

опять же это моя идея. взять любое конечное (бесконечное) количество чисел и посчитать при равномерном распределении. кстати, это один из вариантов, когда стратегия Умника работает 100%

Не так!
1,25х - это сокращенная запись 2х*0,5+0,5х*0,5.
Соответственно, в первом конверте х*0,5+х*0,5=х

Блин, я понял, что моя стратегия не работает. Вот только ошибку в рассуждениях найти не могу, хоть убей)
ЗЫ. Или работает...

Опровергать не надо. Можно рассуждать так.
В конверте 1 сумма Х, матожидание второго 1.25Х.
В конверте 2 сумма Y, матожидание первого 1.25Y.
Поскольку Х и Y - случайные числа, то в силу симметрии конверты равнозначны.

А вообще считаю, что матожидание здесь неуместно.

Вы, блин, сказали! По вашим правилам игры, есть только пары 5-10 и 10-20.

Я сказал Тимону!!! А не игроку!! Для него ничего не меняется, игрок узнает, что ему подсовывали одинаковые пары денег, только когда сыграет этот миллион игр!!! И никак по другому!

ОК, я лажанул.
Играем не миллион игр, а бесконечность.

1. Что такое бесконечность?
2. Чем миллион не устраивает, тем более, чем больше игр, тем точнее сумма в (11,25 * число игр). Закон мат.ожидания не так ли?

1. Go в философию. Я в этих вопросах не силен.
2. При бесконечном числе игр невозможно пихать только 5-10 и 10-20, не оговорив это в условиях.

Не вижу логической связи. Где в задаче написано не пихать одинаковые числа больше миллиона раз.

Вы скажите спасибо что хоть меняют 5-10 и 10-20. Могли бы вообще 5-10 всегда сунуть, это не запрещено условиями!

А вы вытаскиваете 5 и мечтайте что во втором конверте 2,5-10,

вытаскиваете 10 - мечтайте про 5-20..

Организаторов не существует!
Это математическая задача! (если вы так не считаете, то ваша позиция понятно и этот бесплодный спор я прекращу.

В каждой задаче есть условия, а математической тем более, а вы придумываете ограничения от себя.

Первое выдуманное ограничение, что есть множество игр, если в условии говорится об одноразовой игре!

Где?
Где в условии говорится об одноразовой игре? В условии как раз говорится о многоразовой игре.

Желательно подтвердить это цитатами из текста, я не вижу ни слов бесконечность, ни переигровка, ни повторная игра, ни много пар конвертов..
На мой взгляд, игроку дано два конверта - это значит дано два конверта, а не серия по два до бесконечности. Может мы о разных условия говорим, но то что написано в топикстарте звучит именно как дать ответ на игру с двумя конвертами и все. Если у вас есть оригинал задачи без комментариев и приписок задумавшихся, можете здесь выложить.

Мои ограничения по поводу 5-10 и 10-20 - в математике называются частный случай. Если его расширять еще на некоторые пары - мы можем отследить закономерность. А закономерность в куче с частными случаями дает решение задач методом индукции. И этим методом повсеместно пользуются математики, так что уверяю вас он не запрещен.

Вы посмотрели в профиле мой возраст?

Это размышления пострадавшего от этой задачи, но не оригинал задачи.

И к чему этот вопрос?

Это относится к тому варианту условия, который предложил Смит. Собсно, его мы и рассматриваем, ИМХО.

это мое упущение. игра может и рассматривается как любое бесконечное (конечное)  количество раундов. косвенно об этом говорит фраза из условия " хотя в отдельных раундах вы будете проигрывать", т.е. подразумевается возможность значительной протяженности игры. другое дело, что возможна и разовая (однораундовая игра) игра.

А догадайтесь.

Ну, в разовой игре менять бессмысленно, это блестяще доказали gst12345 и Тимон.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, понятно, нельзя). Вы знаете только, что в одном из них содержится сумма ровно вдвое большая, чем во втором, но в каком и какие именно суммы — совершенно неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и взглянуть на деньги в нём. После чего вы должны выбрать — взять себе этот конверт или обменять его на второй (но уже не глядя на содержимое второго конверта).

Вопрос — как вам поступить, чтобы выиграть (то есть получить большую сумму денег)?


Это мне кажется логичное завершение самой задачи. Дальше идет словоблудие и софистика, которая наталкивает на "правильный" ответ.

gst12345, я не подливаю масла в огонь в Ваш спор с Умником, мне просто интересно и не понятно, что не верно в преведеннх рассуждениях? а вы если вытащили 10 к примеру - как рассуждаете? искренне не понимаю.

зы: да, и еще никак не мог подумать, что вы ведете речь о разовой игре (хотя и там не все так однозначно)

Да.

Я рассуждаю, что в конвертах есть - того не изменить. Первый конверт - это кратчайший путь к победе. Было там например, Х денег. Я могу вытянуть Y, останется X-Y во втором.

Что больше Y или (X-Y) я не знаю. А когда узнаю, (открою оба конверта) еще раз поменять не дадут - заставят брать (X-Y). Так зачем делать лишние телодвижения, тратить калории и потом в деньгах проиграть.

Говорить, что я не добрал из второго конверта половину - нет оснований. Любой мой выбор -  не повлияет на (X-Y) во втором конверте. Мой выбор - только между двумя числами - третье число вымышленный персонаж.

Один анекдот уже в тему был, про девочку потерявшую рубль. Теперь второй:
"Сын прибегает радостный к маме и говорит: Я сегодня 2 гривны сэкономил! - Как? - Бежал за автобусом и не оплачивал проезд! - Дурачек! В следующий раз беги за такси - сэкономишь больше"..
Кто опять не видит сходства с нашей задачей, увы..

И в многоразовой тоже бессмысленно.
Конверты одинаковы во всех играх.

О да, конверты одинаковы. А вот суммы в них - нет.

Тогда ответь мне, пожалуйста. Я уже несколько раз спрашивал.

Если мы выберем конверт, но не посмотрим на сумму, что тогда?
Менять или нет?
Какое матожидание второго?

Я думал доказал для миллионно-разовой игры с формулами и примерами, а оказалось для одноразовой. Говорил же я, что Зенон - .. слабак))

у меня вчера упала монетка за балкон. и главное - я ее вижу сверху, а вот разглядеть орлом или решкой упала - не могу..

кто как думает - какая вероятность того, что там орел, а какая вероятность того, что там решка?

Товарищ gst12345 уже говорил по этому поводу.

Вероятность наступившего события = 1.
Вероятность угадать, что за событие наступило = 1/2.

уточни, плз, с какой вероятностью моя монетка упала орлом вверх? :tormoz:

Если она упала орлом вверх, то с вероятностью 1.
Если она не упала орлом вверх, то с вероятностью 0.
Другой вероятности у случившегося события быть не может.

Вероя́тность (вероятностная мера) — численная мера степени объективной возможности наступления случайного события.

Если событие наступило, то вероятности у него уже нет.

После того, как монетка упала, то можно определить вероятность события правильно назвать положение монетки.

правильно, моя монетка либо упала орлом вверх, либо решкой, с одинаковой вероятностью.
теперь у игрока в первом конверте оказалось 10 рублей. с какой вероятностью во втором конверте окажется 5 или 20 рублей? даже не нужно номиналов. просто: с одинаковой?

Smith, речь идёт о том, что само понятие вероятности можно применять лишь ДО того, как событие произошло.

Опять же gst12345 уже говорил об этом. Вопрос ставится некорректно.

С вероятностью 1/2 можно назвать верную сумму в конверте.

Тимон, ок, снимаю последний вопрос (об оценке вероятности свершившегося события), но только потому, что он уводит всех от заданной в топике темы (хотя сам вопрос мне как оказалось очень интересен, вплоть до рассмотрения в отдельной теме)

А чем не нравится такая формулировка:
- с вероятностью 1/2 можно верно назвать сумму в конверте
- с вероятностью 1/2 можно верно назвать положение монеты

Я придумал, что нам делать с верхней планкой.

Поскольку от споров о вероятностях все, наверное, немного под-устали....

Предлагаю подключить к обсуждению "Пари Паскаля".

Нужно объяснять, что это нам даст?

Нужно объяснить, что это такое :D

Смотри, вы с монетой - два рандомайзера (надеюсь в курсе что это)

один рандомайзер (Игрок) - ляпает наугад слова "Орел" или "Решка"
другой рандомайзер (монета) - крутится в воздухе и падает на одну из двух сторон..

Есть 4 возможных развития событий:

один рандомайзер ляпнул "Орел" + второй упал к верху боком с орлом = ГУД
один рандомайзер ляпнул "Орел" + второй упал к верху боком с решкой =  НЕ ГУД
один рандомайзер ляпнул "Решка" + второй упал к верху боком с орлом = НЕ ГУД
один рандомайзер ляпнул "Решка" + второй упал к верху боком с решкой = ГУД

Итого вероятность угадать 2 гуда из 4 всевозможных случаев = 2/4
Вероятность упасть для монеты на Орел - 1 гуд из 2 возможных случаев = 1/2

Ну равны они согласно алгебре 2/4 и 1/2, а в теории вероятности - это не равные события

В пари Паскаля есть две разные стороны, из которых приходится выбирать.
А мы имеем два абсолютно идентичных конверта.

Помните, в "Золотом теленке":
- Шура, сколько вам нужно денег для счастья?
- Сто рублей.
- Вы меня не поняли. Не для сиюминутного счастья, а для счастья вообще!
- Пять тыщ четыреста...

Допустим, мне для счастья нужен миллион Показать скрытый текст

И вот мне свезло "в этом шоу" выбирать конверты.
Если в конверте обнаружится миллион - я не стану менять конверт (какая бы вероятность ни была), потому что два миллиона мне уже не за чем, а есть риск (хоть сколько маленький) продуть половину. Я УЖЕ счастлив, мне лучше не рисковать.
Внимание! Если в конверте ДВА миллиона - я поменяю конверт! Потому что я БУДУ счастлив в любом случае, а так есть вероятность (пусть даже небольшая) сорвать огромную сумму и аплодисменты. Плюс еще нервы пощекотать.

Догадываетесь о чем я?
Имеем то же Эн, но теперь оно ОПРЕДЕЛЕНО для конкретного игрока  ;)

Лев
Мы же решаем задачу в общем случае.

И как у вас успехи?

Да-да-да, я знаю, что конверты равноценны, я прочитал всю тему (я всегда это делаю).

Я (меркантильная такая скотина) говорю сейчас о деньгах.

Мы имеем N - предел мечтаний игрока. W - сумма, которая для него ничего не значит.
K - деньги, обнаруженные им в первом конверте.

Давайте определим наилучшую стратегию игрока.

То есть логическое (менять-не менять) в зависимости от K.

Соответственно, для одного случая и для затяжной игры.

Надеюсь, вы меня поняли :)

Вообще-то, не имеем N. Возьмем твое "счастье" за Х. Тогда ты предлагаешь менять при А<X и A>=X и не менять при других А (А - сумма в первом конверте). N у нас до сих пор нету

ЗЫ. Логика классная :show_heart:

Чего-чего-чего-чего-чегоО?

А что не понятно?

Во-первых, я такого не предлагал, а во-вторых, какие тогда другие А? (не меньше, не больше, не равно Х) Не действительные, что ли?

Ой, да, очепятался, А>=2Х

Я предлагаю намного больше ;)

А если Х=1000000, а N=1000, что тогда?
(N мы не знаем, но он то есть)
Меняем всегда и всё?

Нипонял..

Кто сказал?

А что нет?

Границ не знает игрок, но граница всегда есть.
И мало того при множестве игр её даже можно оценить.

А почему бы и нет?

Умник, деликатно сбегает от конкретных вопросов и ухватывает любую соломинку за которой можна еще попетлять в лабиринте ;)

Когда же мы услышим ответ на вопрос о конвертах:

"Если мы выберем конверт, но не посмотрим на сумму, что тогда?
Менять или нет?"

Я не говорю о том, что нужен миллион, и все тут.
Просто смотрите:
Если человеку нужно 100 миллионов, а 100 баксов для него - мелочи, то вытащив 500 он поменяет конверт скорее, чем я, которому нужен всего миллион, а свыше 20 баксов - уже не мелочи.
Но мыслим мы одинаково. просто разные запросы.

Очевидно, есть функция зависимости выбора от отношений между N, W и K.

О да, мне уже надоело спорить, я бы хотел принять позицию Смита: спорить ни с кем не буду, просто интересно.
Если для вас это принципиально, можете считать, что вы победили.
Нет, не менять.

Так матожидание второго 1.25Х? Почему не менять?

Какую информацию даёт нам сумма первого конверта?

А как же 2Х и 0,5Х - во втором конверте. Неужели все дело было в магической цифре 10..

Мы не победили и вы не проиграли, это не соревнование, и медали мне никто не вручал, как и Тимону (видимо). А так вы правы, спор затянулся..

Хотя бы по условию. Дальше посмотрим.

Так какую информацию даёт нам сумма?

О, придумал еще один отмазон (надеюсь, последний, додавите меня наконец!):
Если мы не откроем первый конверт, то, после "двоекратного обмена" можно будет считать, что в первом конверте 1/4х или х или 4х. А после открытия этого конверта такое предположение сделать уже нельзя.

Я уже давно предлагал не открывать конверты, а брать их в руки поочереди и ложить назад, пока в них миллион не набежит. Играть так играть!! :bravo2:

А лучше вообще не открывать, тогда там такие ДЕНЬЖИЩА будут - олигархом станете, Умник!!

Заходим в магазин с двумя нераспакованными конвертами и говорим - У нас здесь с 1/2 вероятности мильен мильенов лежит! Опровергнуть можете? Значит заверните нам вон тот Майбах, два самолета и одну яхту.

А что такое Х?
Даже при закрытом конверте мы не можем предположить, что там в 4 раза больше/меньше, чем там есть.

***, я и говорю, что так нельзя делать!

Где "говорю"? Это что ли:


А до открытия можно?  1/4Х = Х = 4Х  до открытия правильно??

Вообще мне кажется, что в этой задаче открытие конверта имеет такой смысл:

1) Распределение неизвестно
1а) При одиночной игре открытие конверта ничего не даёт.
1б) При многократной игре даёт информацию о распределении, которую можно будет использовать в следующих играх.

2) Распределение известно
При одиночной либо многократной игре позволяет принять решение о замене конверта.

Я и говорю, что так нельзя делать! Это вы мне впихиваете, что можно конверт не открывать. А я говорю, что его нужно открывать.

С какой целью? Чтоб все равно независимо от того, что там увидел, взять второй?

Какой смысл открывать первый, если ВСЕГДА заберешь себе второй?

Какой смысл открывать первый, если ВСЕГДА заберешь себе второй?

Если в той цитате ответ, то это пи...ц просто, извиняюсь..

Нельзя не открыть первый, что б открыв второй, не подумать про первый, что в нем только, что стало в 4 раза больше денег.

NO COMMENT...

Спонсор решил осчастливит' сразу двух людей и предлагает эти конверты сразу двоим. Игроку 1 конверт А, игроку 2 конверт Б. И разрешает поменят'ся конвертами.
Наши игроки люди образованные (начиталис' всяких форумов и прислушалис' к советам людей) меняются конвертами.
А спонсор все подсовывает и подсовывает новые конверты.
Когда конверты закончилис' наши игроки сели и подсчитали выручку.
Вау! Если бы мы не менялис' - получили-бы каждый мен'ше денег, а так каждый получил бол'ше.

Спонсор почесал репу и сказал игрокам: "У меня был тол'ко миллион денег, его я вам и раздал, как вы умудрилис' каждый получит' бол'ше обычного?"

Канфуз?  :help:
Показать скрытый текст

Вы так и не поняли, что для Умника НЕТ ни спонсора, ни конечной суммы денег, ни даже того факта, что деньги в конверты кто-то клал руками!

Он рассматривает ситуацию так:
Ему дали 10 баксов.
Потом предложили поменять их на 20 или на 5.
Потом (не понимаю почему) он приходит к выводу, что ему дадут 20 баксов с 50% вероятностью.
Дальше его рассуждения абсолютно верны.
Просто к конвертам они уже не имеют отношения.

По-моему, все уже все поняли.

И почему-то решили забить на мое предложение. Наверное, либо слишком сложно, либо идея откровенно дурацкая. Так как к задаче она относится опосредованно - могу ее даже удалить :)

Только не продолжайте доказывать очевидное, пожалуйста.

Не просто похоже, а одни и те же симптомы. Только теперь их собралось двое на квадратный метр - критическая масса почти.. Это даже лень разбирать..

Пусть сыграют еще раз, и спонсор изначально даст им те же конверты поменяв их раз в руках, а они опять поменяются между собой..

Лев, ты гений))

В этом и заключается проблема.

Идея классная! :show_heart:
Вот только либо у меня проблемы со зрением, и я пропустил какой-то месс, либо мы так и не обсудили единственный комментарий к твоей идее.

Вы думаете если в задаче спереди дописать:

Спонсор (организаторы) дали вам два конверта.... и так дальше....

Это изменит суть задачи? Хотя по-моему и так понятно, что конверты ПРЕДЛАГАЮТСЯ - значит есть нечто, предлагающее...

1. Вы прочитали только первый абзац?
"Вывод - это то место в тексте, где Вы устали думать". /Законы Мерфи/
2. Не кардинально, но изменит.

Хорошо, вот вам "новый" вариант задачи:

Вам предложили спонсоры два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, понятно, нельзя). Вы знаете только, что в одном из них содержится сумма ровно вдвое большая, чем во втором, но в каком и какие именно суммы — совершенно неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и взглянуть на деньги в нём. После чего вы должны выбрать — взять себе этот конверт или обменять его на второй (но уже не глядя на содержимое второго конверта).

Вопрос — как вам поступить, чтобы выиграть (то есть получить большую сумму денег)?

Хотелось бы узнать ответ, и что ее отличает от той которую мы "решали"?

Назовите компанию-спонсора.

"Спонсор и Ко".
Денег куры не клюют, нет возможности даже посчитать, просто нереальное число, укрывались от налогов последние миллион лет..

МММ
"принесите нам Ваш конверт с ден'гами и мы дадим Вам взамен другой"

Таких компаний не существует, давайте реальную.

Дайте документ, где написано, что таких не существует... Это клевета

Умник, если вам в школе зададут задачку из пункта А в пункт Б вышел поезд... Вам нужно доказывать сразу, что пункты А и Б существуют, и что между ними рельсы проложены?

Решайте задачу и не заговаривайте зубы! Компания не обязана представлятся игроку, которому на шару дает деньги в конверте. Считайте это примечанием к условию.

Не хочется быть демагогом, но придется: апелляция к возрасту собеседника не является аргументом в вашу пользу.

Таких компаний не существует. Опять же, приходится разводить демагогию.

Вы задачу решаете или только демагогию разводить? Нет, значит скажите нет и все.

ребята, я даже не боюсь показаться бестолковым, и прошу любого (всех) определить (и согласиться, или нет) кратко постановку обсуждаюемого (текущего) вопроса. просто в порядке постановки. Умник, твоя позиция априори - сформулируй, плз, для бестолкового (меня) :tormoz:
зы: имхо будет полезно ВСЕМ

Демагогию тут вы начали разводить.

Постановка задачи:
Игроку дали 10 баксов.
Потом предложили поменять их на 20 или на 5.
Потом Игрок приходит к выводу, что ему дадут 20 баксов с 50% вероятностью.

прав ли игрок? докажите (или докажите обратное)

кто первый?  ;D

Я предложил задачу с конкретным условием, никаких уточнений нет. Задача математическая, абстрактная, решается как и все такие задачи в книжках без дополнительных знаний из жизни.

Будем решать или нет?

http://nazva.net/forum/index.php/topic,735.474.html

Давай ты ;)
Я то за 50%, вот только данных маловато))

из условия следует, что у Игрока 2 варианта: либо он при обмене получит 5 баксов, либо 20.
по версии gst12345, игрок либо получит 5 баксов с вероятностью 100%, либо 20 баксов с той же вероятностью.
по версии Умника, Игрок получит 20 или 5 баксов с вероятностью 1/2.

зы: я ничего не переврал?

даю  :-[

Я согласен с обеими версиями))

зы. Вроде, нет)

Маладец)

так, хто дужче бье - той краще грае)))

т.е. типа, хотите получить дурацкий ответ - задайте дурацкий вопрос ( и на оборот)  ;)

Некоторые говорят, что вероятность получить во втором конверте сумму 2Х = 1/2, некоторые говорят, что вероятность угадать конверт, в которой сумма 2Х = 1/2.

О чём спор? У кого формулировка круче?

нет, Тимон.
некоторые ПЫТАЮТСЯ ответить на поставленный вопрос, а некоторые ФОРМУЛИРУЮТ свой вопрос, и пытаются дать на него ответ.
зы: для доказательства ПОСТАВЛЕННОГО вопроса все средства хороши - пожалуйста. но только, имхо, если они действительно доказывают/опровергают нечто касательно ПОСТАВЛЕННОГО, а не только СФОРМУЛИРОВАННОГО для доказательства/опровержения вопроса.

Тимон, мы как раз о разных вещах говорим. Вы пытаетесь поймать больший конверт, а я - выбрать большую сумму во втором конверте.

Это одно и то же. Ведь второй конверт - это любой из двух.

Мы пытаемся выбрать больший конверт сразу, а ты пытаешься выбрать меньший конверт сразу, а потом его поменять.

Нет.

Вы выбираете из 5 и 10. А я из 5 и 20.

предлагаю эксперимент из 100 пар.
принимаются предложения по корректному проведению эксперимента.

зы: это, конечно, не прямое доказательство чьей-то позиции, но все же какой/ни-какой аргумент  ;)

Заяви свои условия, не принимай никаких других вариантов. Сообщи нам)

Один человек генерирует 100 пар чисел с точностью и верхней границей, которые известны только ему. В ветку сообщает 100 чисел как суммы из первого конверта. Форумчане пишут 100 реплик меняю/не меняю. Загадывающий подсчитывает для каждого сумму и сообщает кто сколько выиграл/проиграл (разницу между суммой первых конвертов и итоговых).

В екселе легко реализуется.

Но эта идея обречена на провал.
Смит и Т-Мон сразу высчитывают точность и границы и действуют согласно стратегии.
Умник меняет все конверты и получает ту же сумму, что и в первых конвертах.

Ухты. Провёл результаты сам для себя. Немного удивился.

Тимон, может ты мог бы содействовать эксперименту? если конечно тебе это интересно, т.к. я себе пока слабо представляю как это организовать, а у тебя я вижу уже есть соображения

Умник, я как раз имел ввиду, что условия вырабатываются коллегиально, в частнсоти с участием тебя и gst_12345

может. один человек генерирует 100 пар чисел БЕЗ верхней границы вообще?
зы: имхо, Умник будет удовлетворен, да и его визави, полагаю, тоже ;)

кстати, может и не один? типа, по нескольку от нескольких - можно даже тему создать, типа ИГРЫ твои (Тимон) а числа тебе в личку

Провёл я эксперимент. Могу поделиться ощущениями.

В одну колонку экселя забил 1000 рандомов от 0 до 1000. - первый конверт
Во вторую колонку экселя забил 1000 рандомов 0 или 1. - больше или меньше во втором конверте
В третью колонку забил соответственно 2Х если 0 и 1/2х если 1. - второй конверт

В конце столбиков посчитал суммы всех первых конвертов и всех вторых конвертов.
Сумма вторых конвертов всегда!!! больше суммы первых.

Меня это удивило, но потом я понял, в чём ошибка.
Диапазон чисел первых конвертов от 0 до 1000, диапазон чисел вторых конвертов от 0 до 2000.

Т.е. эксперимент провести в принципе невозможно.

А я думал Умник пришлет мне летающие самопредлагающиеся конверты. Они же реально существующие, не то что какие-то спонсоры.  :D Показать скрытый текст

Но из моего глубокого и искреннего уважения к Вам согласен на эксперемент)))

Как сгенерировать число без верхней границы?
Это невозможно.

Чему равна вероятность выпадения конкретного числа из бесконечного множества всех действительных чисел?

Моя стратегия рассчитана на множество чисел БЕЗ границ.
С введением границ стратегия, ест-но, будет изменена.

Я против такого варианта выработки условий.

ок. я не против. любые люди - любые пары чисел. кроме умника и гст-12345, которые об этом ничего не знают. так нормально?

Честно говоря я перестал представлять себе подобный эксперимент.
А теория вероятности вообще работает с неограниченным множеством случайных чисел?

ОК

Я рад, что вы договорились, но я могу опровергнуть точность любой модели, которую вы создадите.
Модель этого эксперимента построить невозможно. Любой генератор случайных чисел вам выдаст числа из диапазона.

Вот-вот, бесконечность - неизученное явление, и под нее можно списать все что угодно. Чем люди активно и пользуются.

А я предлагал метод индукции. Проверяем частные случаи. Расширяем частные случаи. Получаем закономерность и делаем правильный вывод.

ну перстань думать. просто проведи эксперимент.
мои числа например: 5/10, 1024/2048, 714/357, 912/456, 111/222... продолжать?
я же вам говорил, что либо распределение известно и оно равномерно, и тогда вариант Умника работает на 100%, либо - нет, и тогда имеем мое предложение провести эксперимент. кстати, нужен ГСЧ, чтобы определять - какая цифра в паре пойдет первая  :laugh:

ты предлагал поверить тебе в твоем частном случае постановки задачи. но ты же знаешь, что из частного..
зы: ну ты знаешь

Диапазон первых чисел 5-1024, вторых 10-2048. Умник победил. Сумма вторых конвертов больше.

И так для любого набора.

Я что-то пропустил? Ничего не знаю...

о! пусть умник сгенерирует свой взгляд на вещи, например: 001101111101110111101111000 и т.д для сто пар чисел. тогда из предложенных тимону ста пар он (Тимон) обработает все как в реальном эксперименте!!

зы: Тимон, тока не посылай меня к жемчугам.. :laugh:

Так напихай в первые конверты 10-2048, а во вторые 5-1024. Пусть отгадует на здоровье.

Ок. Есть у меня модель. Что с меня требуется?

Или ладно. Щас сам решу.

имхо, требуется согласие Умника и гст12345 на модель и пары чисел от возможно большего числа людей

а, ну и вот это: "0101..." от Умника либо гст12345 - это уж как они решат :laugh:

Какую бы последовательность первых конвертов я не выбрал, Умник будет против, потому что они имеют конкретный диапазон.
В итоге мои старания будут напрасны.

если мы не имеем ввиду равномерное распределение денег по конвертам, то это не его дело. его дело - назвать последовательность 0101.. а распределение по конвертам - это уж как карта ляжет, на то есть несколько человек, которые формируют пары (может даже ни о чем не подозревая)

Надо не диапазоны для первого и второго конверта брать, да еще разные, а диапазоны для суммы например, в двух конвертах вместе. Тогда в один конверт запихнуть 1/3 суммы, в другой 2/3. Будет между ними разница в два раза. Распределение 1/3 и 2/3 равновероятно разбросать на первый и второй...
Я беру все первые, Умник все вторые. Считаем и получаем примерно поровну. Значит ответ - конверты равны.

да какая разница? в парах конвертов все-равно будет разница в 2 раза. так и брать сразу пары, а вы уж хоть по очереди выбирайте "0101.."!

Да мне все равно, главное чтоб не совпало 0101 и оба выберут один конверт.

Создал игру парадокс конвертов (http://nazva.net/forum/index.php/topic,4867.0.html).
Временно заблокировал, чтобы не флудили.
Давайте обсудим. Все согласны с такой постановкой?

Я уже придумал нормальный генератор.

Играем

Мне только не ясно, в чем роль игроков. Если нам сообщают содержимое одного конверта - значит, кто-то его выбрал за нас. Поэтому мне надо сразу брать эту сумму, а умнику сразу менять на вторую из другого конверта. А в чем выбор игроков?

Менять или не менять. А какая разница какое из двух чисел я сюда напишу?

Если верхний предел не известен, смысла менять нет - значит фактически мне достаются все числа, которые названы ведущим. Сопернику - вторые конверты, он же всегда меняет, если нет точной инфы про пределы и дроби. Значит наше участие не нужно вообще, можна и без нас подбить бабки.

А если добавлять границы к суммам, то это уже другая игра со стратегией.

Я тут тожe побаловался с "excel".
Сумма в 1-ых конвертах почти равна сумме денег во вторых конвертах.
Оно и понятно - распределение равномерное. Название 1-ый или второй различаем тол'ко мы сами.
Если все время менят' - то разницы нет (т.е. вместо первого брат' второй)
Если выбрат' для себя какую-то границу (выше - не менят',  ниже - менят'), то
10% от МАХ - процент выиграт' бол'шую сумму невысок.
30% - процент выигрышных серий преобладает над невыигрышными
80% - заметный на глаз прирост суммы. Из проведенных экспериментов 99% выигранных серий.

(здес' конечно ест' верхний порог (граница) у денег в конверте.)

Стратегия действий в игре будет такой: Игрок не знает МАХ, а пробует оценит' по ходу игры.

Так и есть. Поэтому я не вижу смысла в этом эксперименте.
Я уже его провёл и без игроков. В среднем 50/50. Но раз Смит хочет...

А граница есть (любой ГСЧ работает только с границами), но вычислить её крайне сложно (практически невозможно).

willi
Абсолютно верно. Конверты идентичны. Нет первого и второго.
Но Умник не принимает этот факт. У него второй открытый конверт потенциально больший первого открытого.

Стратегия "всегда менять" действительно работает, но при совсем других условиях.
Допустим, есть суммы 5, 10, 20. Нам ВСЕГДА попадается сумма 10. "Всегда менять" работает, ведь 20+5>10+10

Но у нас 2Х+1/2У. Это число невозможно сравнить с Х+У.

Умник играет только с верхней границей - бесконечность.

бесконечност' в конверт не впихнеш'!
Верхняя граница не бесконечност', а конкретное число!

в конверте вполне определенное число (пуст' и любой размерности)
Но в серии игр определяюшей будет граница МАХ(2 * Аi), где Аi -  сумма денег в Вашем конверте.
Граница ест' всегда. Да же если мы ее не знаем.

для сомневаюшихся: Показать скрытый текст

Я это пытался уже объяснить. Но почему-то не воспринимается.
Модели без границы быть не может.

Если мы сыграем миллион раз и всегда выпадет 10 - то это из разряда фантастики. В реальности такое не возможно. Иначе теория вероятности вся перестает существовать. И науку такую можно объявить дурью. Это все равно, что предположить, что монета всегда падает только на решку.

А так конечно, если 10 - это не максимум, значит мат.ожидание в двух конвертах выше, чем в случае где 10 - максимум из двух. А раз мат ожидание выше, то соответственно игра по крупняку идет (30 баксов), а не по мелочи (15 баксов). То и эффекты другие.

Это все равно, что сравнивать казино для бедных и для миллионеров. Одни на мелочь играют, другие на миллионы. Как их можно объединять и сравнивать?

К этому можно было и не придираться.
Я привёл этот пример только для того, чтобы показать когда работает метод "всегда менять". Предположим, что 10 нам не попадается, а нам её дают ведущие сами.

У нас объективный диалог уже давно перерос в придирки ко всему, что скажет кто-либо. Это печально.....

Я просто расшифровал, что пример не совсем корректный.

Он дает такое предположение, что если в конвертах большие суммы, то мы попадаем всегда на минимум из пары. А когда суммы мелкие, то нам всегда везет на максимум из двух.

Сравнивая с рулеткой.

РУЛЕТКА:
Игрок ставит (свои) 10 на красное имеет вероятност'  1/2 (даже мен'шую), выигрывает 20 или проигрывает 10 (т.е. остается 0)

КОНВЕРТЫ:
Игрок ставит (свои, если считат' открытый конверт его собственност'ю) 10 на "обмен конверта" имеет вероятност'  ?? ( логика подсказывает 1/2 ), выигрывает 20 или проигрывает 5 (т.е. остается 5)

КОНВЕРТЫ - игра выгоднее, чем рулетка, даже с учетом того, что вам приходится покупат' второй конверт за свои ден'ги из первого

Давайте не будем останавливаться на игре 5-10-20. А то сейчас начнётся.

А если такая игра:

Фирма проводит лотерею. Вы покупаете билет любой стоимости (сами выбираете какой суммы) вам дают взамен выигрыш равный половине стоимости билета или двойной его стоимости. (равновероятно)

Ваша стратегия?

По-моему условия одинаковые с задачей.
Ваши ден'ги = 1 конверт
Взят' другой = учавствоват', купит' билет
Оставит' 1-ый конверт себе = не участвоват', не покупат' билет этого номинала (сами вабираем)

Да пожалуйста 1/2*Х; Х; 2*Х.
Сут' дела не меняет. Х - число

Я имею ввиду вообще не останавливаться на той задаче, что я написал.

Не та же задача. В нашей сумму которая есть у игрока в этой игре, надо еще заслужить, выбрав конверт с большей цифрой из фиксированных сум. Это единственный выбор.

А здесь кто-то уже тебе в карман ложит, то что тебе еще надо выиграть правильно выбрав первый конверт. Первоначальный выбор игрока здесь не учтен. Например, звезды распорядились, что ты в этой игре возьмешь в два раза больше. Хочешь поставить 10, порылся в кармане и нашел только 5. Это принцип нашей игры (выбор первого конверта). Сумма денег в отдельных играх неизменна, заложена изначально, а не определяется по ходу игры как тут.

Результаты, которые получает Умник как раз совмещают обе эти игры.

Первая игра - угадай конверт, где больше - и назови его конверт 1.

Вторая игра - второй конверт порвали и выбросили, а взамен предлагают новый второй конверт с возможностью увеличить в 2 раза или уменьшить в 2 раза.

Так конечно и я бы играл во вторую игру. Но в задаче есть только первая.

Это что только мне ясно? Я один люди? Может не стоит вообще спорить, пусть большинство думает что хочет. Мажоритарная система...

Исключительно вашими молитвами.

Смит и я думаем, что надо оценивать распределение и вырабатывать стратегию.
Умник думает, что надо всегда менять.
А что думаешь ты?

Я уже начал волноваться что вас давненько нет)))))

Не уверен, что можно оценить настолько точно, но это надо изучать :)

Не уверен в оценивании, но вариант с тупо просто глянуть на первый и взять второй - надеюсь, понятно, не мой...

Даже после редактирования я не понял этого предложения.

Редактирование заглючило...

Если это модератор помогает, то из песни слов не выкинуть, это не оскорбления в чей-то адрес, это гиперболическая метафора передающая краски состояния моей души ))

При невозможности оценивания шансы остаются 50/50 (т.е. около 50% эффективности выбора по моей формуле).
Если попытаться оценить, то можно шансы поднять.

Ты сказал, что не уверен в версии об оценивании и отклоняешь версию Умника. Та версия, которой придерживаешься ты, существует?

Пока я не придумал, как точно оценить, беру первый попавшийся и все..

Как пример вот такая стратегия:

Оценка верхней границы:
На первой игре берёшь себе любой конверт. За потолок берёшь удвоенную его сумму.
По ходу игры корректируешь потолок.
Вычисляешь медиану всех увиденных сумм и принимаешь за потолок максимум между удвоенной медианой и максимальной увиденной суммой.

Стратегия выбора конверта
Если в первом конверте сумма меньше половины потолка, то меняешь, если больше, то не меняешь.
Даже если стратегия не сработает, то сравнительно со стратегией "наугад" ничего не теряешь.

10 серий. В каждой серии по 25 игр.
конверты имеют суммы от 1 до 2000
стратегии не зависят от знания верхней границы.

Итог:
Стратегия 1 - имеет преимущество перед просто угадыванием хорошего конверта и перед стратегией 2.
Стратегия 2 - приближается к среднему между суммами в первых и вторых конвертах. (от балды меняем конверт)

В принципе можна поверить. Хотя в таком случае и выбирая всегда второй я ничего не теряю, кроме лишней возни с конвертами. Одна только проблема, что перерасчеты придется делать постоянно, если разброс сумм в конвертах будет большой.

А кстати, мы говорим только о верхней границе, а если ее не считать крайним возможным числом, то и с нижней может быть тот же фокус. Например, суммы которые мы видим никогда не опускались ниже 100 баксов. Может и ее подкоректировать раз уж пошла такая гулянка )))

Да, нижнюю также как и верхнюю надо рассчитывать. Забыл сказать ))))


Ну так мы Умнику доказываем не то, что его система проигрышна, а то, что она равноценна тому, чтобы забрать все первые конверты либо менять наугад.

Правильно, а еще можно проверить не дурят ли нас, если засунуть нос в оба конверта!

Менят' наугад - будет среднее м/у суммами в 1 и 2 конвертах

вообше-то это одно и тоже, что брат' тол'ко первый конверт

А я по-другому написал?

Брать первый конверт = брать второй конверт = брать любой конверт наугад

Тоже самое.
Я просто сначала написал коммент. Потом понял, что это тоже самое. Зачеркнул и написал, что это тоже самое.
(просто терет' коммент не хотел.)

В общем предлагаю так:

считаем сколько заработали, делим на количество игр, получаем типа мат.ожидания (на счет медианы пока не уверен эффективность)

если вытянули меньше мат.ожидания - не согласны с этими редисками и требуем второй конверт,

вытянули больше - хватаем и бежим..

можна еще подумать, но лучше не думать))))

У меня 1-ая стратегия такая:
первый раз берем свой конверт
далее оставляем если:
 А_i > 0,75 * МАХ(А_j), где j = [1,i-1] - максимал'ная сумма в нашем конверте за предыдущие ходы.

А чем 0.5 не нравится?

Что такое стратегия 1 и стратегия 2?

Проведи тогда и для стратегии 3
Аi > 0,5 * МАХ(Аj), где j = [1,i-1] - максимальная сумма в нашем конверте за предыдущие ходы.

Я не то имел ввиду.
Первый конверт, второй конверт и три стратегии

Короче хотел увидеть сравнение порогов 0.75 и 0.5

вот тут нашел статейку на тему этого парадокса, предлагается более выгодная стратегия - http://www.membrana.ru/articles/simply/2009/08/19/174500.html

Более выгодна, чем какая?

Ничего нового относител'но обсуждаемого в этом топике не нашел.

Я согласен с парадоксом, поскольку при 10баксах я могу выиграть ещё 10 или проиграть пять. Выигрыш больше - риск оправдан.

поздравляю! теперь у Вас 1 сабж, одна спасибка от Вас и одна спасибка Вам!  :laugh:

Вилли, а как ты пришел к 0.75? Мне давно было любопытно, только забывал всё как-то недосуг было спросить..
смысл в том, что ты получил хорошие результаты, пусть даже при определенных условиях, мне интересно, пусть чисто имперически, как определить при тех же исходных лучший коэффициент (типа, может это = 0.69)?  :roll:

зы: утром писАл с планшета, поэтому пришлось поправить сабж позже с ноута  :yesgirl:

Пусть даны два конверта с 50р и 100р. Вы вынули один  конверт- реализовали 50%ю  вероятность обретения 100р. При этом вы можете получить либо 50р, либо 100р. Допустим у вас  оказалось 100р. Следовательно вероятность получить, поменяв конверты, 200р=0%. Если же у вас оказалось 50р., то вероятность получения 100р.=100%.
Находим общую вероятность получения большей суммы при замене конверта:
(50%+0%+100%)/3=50%

75% могло получиться, если не учитывать 0%.

все не так просто. если даже априори принять, что "вероятность получения большей суммы при замене конверта: (50%+0%+100%)/3=50%" то это - вау..

но там же и меньшая сумма с той же вероятностью..

вопрос в том, что менять или нет, или, по-другому - есть ли выигрышная стратегия..

Долго же ты терпел  ;) (5 лет)

Теперь и не помню.
Наверное методом "научного тыка" плясал от мат.ожиданая 1,25 (т.е. на 25% больше, чем сумма) ну и меняем, если меньше мат.ожидания.

Если учитывать нижнюю границу (она же не нуль), наверное, можно получить результаты по-лучше.

Допустим, вы увидели $10. Стало быть, в другом конверте лежат либо $5, либо $20 с вероятностью 50 х 50. По теории вероятности средневзвешенная сумма в конверте B равна: 0,5 х $5 + 0,5 х $20 = $12,5. Разумеется, открыв альтернативный конверт, вы увидите не эту сумму, а либо 20, либо 5 долларов, просто по условиям игры. Но 12,5 — такова (по вычислениям), как кажется, будет средняя сумма выигрыша на кон при проведении достаточно большого числа раундов, если вы всегда будете менять конверты.
Какая разница, меняю я или не меняю конверт?
Средняя сумма на кон от этого же не меняется.

я вам поставил спасибку, однако исключительно за участие. тема не просто так поднята мною, и у меня реально интерес к подходу от Вилли. а в том, что вы указали есть своя логика, безусловно, но если вы поинтересуетесь 3-4-мя страницами наугад из данного топика, то поймете почему только за участие (просто пересказать мне здесь будет не просто сложно, вообще невозиожно, сорри)

щас не понял, можно подробнее, плз?  :tormoz:

зы: 5 лет, это конечно срок  :laugh:

Хорошо.А если дверей и коз больше.Пусть 3.и ведущий открывает 2 двери и Показывает 2 коз. Как меняется ожидание и вероятность?

Одна стрелка!

Мы учитываем только верхнюю границу.
Допустим из сумм (200, 250, 420, 350, 500) по нашим предположениям она равна 1000.
Теперь рассматриваем диапазон 0 - 1000 и меняем, если [0 - 750] (ну если уж берём стратегию "0.75")

Ну а если теперь сделать предположение о нижней возможной границе (минимальной сумме), ведь она больше нуля по условиям, то по нашим предположениям она равна 100.

И подкорректировав диапазон получим 100-1000  =>  Если сумма меньше 775, то меняем
Показать скрытый текст

а, теперь я понял твою мысль, вполне корректно попытаться учесть нижнюю границу, только пока не понимаю как это повлияет на результат в целом в сравнении с просто 0.75 и диапазоном 0-1000.

Да. В принципе я передумал. Как раз пример, когда коз и дверей гораздо больше, и демонстрируют то, что выбор нужно менять.
Например: если коз 100 и ведущий открывает 98 дверей с козами. То нужно менять в однозначно.

Ну как-же.

Пример:
Пусть суммы в конвертах: 1000; 1050; 1100; 1200; 1020; 1090
Тогда без учёта нижней границы мы будем менять при 0-1800     Показать скрытый текст
А посмотреть на низы, то там 'минимум' 500. Т.е. диапазон сумм смещается
500-2400
1900*0,75 = 1425 + 500
1425 + 500 = 1925

Теперь осталось подтвердить эксперементально  :read:

и я о том же.
кроме того, чем ближе ты смещаешься к верхней планке, тем выше вероятность в количествах проигрышей (хотя в отдельных случаях сумма выигрыша может быть значительно большей).

дублирую)
http://nazva.net/forum/index.php/topic,10373.msg259950.html#msg259950

хм..
цикл из 1000 игр
максимальная возможная сумма | сумма в конверте 1 | сумма в 2 | алгоритм 0,25 | 0,5 | "улучшеный 0,5" | 0,75 | "улучшеный 0,75"

Алгоритм Х
Меняем конверт при S_i+1 > Х*MAX(S_1-i)

"Улучшеный алгоритм Х" учитывает и нижнюю границу
Меняем конверт при S_i+1 > Х*(MAX(S_1-i) - MIN(S_1-i)) + MIN(S_1-i)

Получилось, что 0,5 лучше, чем 0,75 (что тоже можно объяснить)
И учет верхней границы не дал улучшения на интервале [0 - 2000] (что логично, т.к. нижней границы нет)
Но вот на интервале [1000 - 3000] даже дал ухудшения :no2:


при интервале [0 - 2000]
(http://s7.hostingkartinok.com/uploads/images/2015/09/10ecd2589db4f2693db1c42dbd67f580.png)

при интервале [1000 - 3000]
(http://s7.hostingkartinok.com/uploads/images/2015/09/5a6a90433639daccb2be22d225684d1b.png)

Процент показывает отношение выигранной суммы к возможной максимальной

Как я ранее говорила, перед Игроком не просто два конверта А и В, а три суммы: Х, 1/2Х и 2Х.

Имеем изначальные вероятности нахождения в конверте какой-либо из сумм=1/3 ( а не 1/2)!!

Пусть Игрок открывает конверт с суммой Х. Она занимает среднюю позицию  из трех приведенных выше сумм.
Статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 1/3*1/2Х + 1/3* 2Х = 5/6Х

Но Игрок не знает наверняка, что она посредине. Она может иметь наименьшее из значений. Т.е. две другие  равны 2Х и 4Х.
Статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 1/3*2Х + 1/3*4Х = 2Х

Сумма в конверте, открытом Игроком может иметь гипотетически  и наибольшее значение к  оставшимся двум. Т.е. они= 1/2Х и 1/4Х
Статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 1/3*1/2Х + 1/3*1/4Х = 1/4Х

Высчитываем среднюю все трех статистически ожидаемых сумм:

(5/6Х+2Х+1/4Х)/3=1,027777....Х

Вывод: смена конверта даст увеличение ожидаемой средней суммы примерно на 0,027.

Это согласуется и с расчетами Вилли и со "стратегией Ковера".
Чем больше сумма на кону, тем с меньшей вероятностью надо менять конверты.

 

Парочка замечаний.

Вероятность этого события не 1/3

Как раз в этом и парадокс. Типа: всегда выгодно менять, даж уже поменяв - менять обратно и "ожидаемая сумма" постоянно увеличивается.
Парадокс разрешается, когда понимаешь, что денег ограничено, а не бесконечно. Т.е. вероятность нахождения суммы больше какогото А равна нулю. И-за этого "получить" в конверте сумму 1/2Х или Х или 2Х не равновероятны.

Вероятность по суммам 1/3. Согласитесь, посмотрев в конверт, вы видите некую сумму, а еще две держите в уме. Причем, вас заранее об этом факте уведомили.

В этом парадоксе намешаны две вероятности: 1. по ожидаемой прибыли, 2.по вероятности события

и 3.ожидания при смене конвертов, не раскрывая их.

Разберемся.
По ожиданию возможной прибыли вероятность суммы=1/3. Причем с вероятностью её возникновения =1/2. ( это я рассчитывала ранее.)
Можно обозначить так называемую зону риска. Если сумма в конверте достаточно мала, а разницу вам обозначили максимально большой, (например у вас в конверте 100р., а в другом сумма может быть больше в 100раз или меньше в 100раз) то естественно, с вероятностью 1/2 может стать обладателем 100000р. Среднюю статистическую не считаю, понятно, что она огромна. В этом случае выгодно менять конверт.
Но если в конверте лежит сумма, приближающаяся по значению к бесконечности, то смена конверта с вероятностью  приближения к 100%!!! ведет к снижению суммы в другом конверте, т..к. больше бесконечности вы получить не сможете. Это, собственно, и отражает "стратегия Ковера". Нельзя рисковать большими суммами на бирже, к примеру.

Что касается смены конвертов без вскрытия, то при периодической смене конверта вес (статистическая прибавка) никак расти не может, т.к. поменяв однажды с целью ожидания "+", при замене вы идете на ожидаемый "-" и обнуляете попытки.  Развитие событий идет не по спирали, а по кругу.

На мой взгляд, тут парадокс весь заключается в ошибке расчета вероятности. Там никак ни 50/50 (больше или меньше), так как максимальная сумма денег конечна.

Если рассматривать "сферический в вакууме" случай, когда максимальная сумма денег бесконечна, а сумма в конверте генерируется рандомно из бесконечного множества, то тут разговоры о "прибыли" неуместны, так так рандомное число из бесконечности - это это совершенно непостижимая величина, ни к чему реальному не применима.

Если же говорить о реальных деньгах, то мы рассматриваем конечное множество. Мы не знаем максимально  и минимально возможную сумму в конверте, поэтому, не можем вычислить вероятность получить большую сумму при обмене.

Но если бы мы знали? Допустим это 1-100. Рандомно генерируемые пары конвертов, равномерно распределённые варианты.
То есть, если в конверте  50-100, то его обмен 100% проигрышный. От 2 до 50, проигрыш составляет 50%.


Если максимальная сумма не известна, то выигрышная стратегия - это следущая:
Начиная со второго выбора, считаем среднюю сумму в прошлых конвертах и если выпадает сумма меньше средней - меняем, если больше - оставляем.

перед вами только два конверта с одной попыткой замены. Какова вероятность при замене увидеть в другом конверте большую сумму, если в первом вы увидели 1000 рублей. При этом сумма может быть либо в 1000раз меньше увиденной вами, либо в 1000раз больше?

Вероятность нельзя выразить если неизвестно множество и диапазон выбора.
Ответьте на свой вопрос, если для случайного выбора суммы использовался диапазон целых чисел от 100 до 100,000,000,000,000
А потом если от 0.01 до 10,000

А а если абстрактно, без лимитов, "числа близкого к бесконечности" не может быть, любое такое число можно возвести в степень самого себя и повторять бесконечное число раз. )

del

причем здесь абстрактные суммы?
Вам конкретно сказали ожидаемый результат по суммам от увиденной. Пример с 1000ю рублями дан мною не случайно. Увидев эту сумму, вы должны решиться на замену конверта, либо нет. Какова вероятность, что в другом конверте окажется 1000000 рублей или 1 рубль?

Я же написал уже, что в вашем вопросе недостаточно информации, чтобы выявить какую-либо вероятность. Если есть число в условии, то это уже частный случай, и ответ зависит от других факторов.

Например, если это крупнейшее ток-шоу, транслируемое по крупнейшим телеканалам, с миллионами просмотров онлайн, а в числе спонсоров фонд Сороса и Гугл, и передо мной бы лежали 2 конверта с чеками, то я бы оценил вероятность большей суммы во втором конверте значительно выше 1/1000 и следовательно не раздумывая, поменял бы конверт.

А если одноклассник Петя на переменке, начитавшись про мнимые парадоксы, предлагает мне такой аттракцион и я нахожу 1000р в конверте, то, учитывая, что Петина многодетная мать живет на пособия беж мужа, а Петя подрабатывает в магазине по выходным, я бы оценил вероятность того, что Петя решил подарить мне миллион, несколько ниже 1/1000 и разумней было бы не менять выбор.

Поэтому, теория вероятности тут не при чем, если мы не знаем примерного множества вариантов.

Возможно есть другие подходы, для оценки количества вариантов. Вы рассматриваете частные случаи. :yesgirl:

Netizen, если отбросить экономическую составляющую, какова вероятность нахождения во втором конверте большей суммы, чем во вскрытом конверте?

Бляхамуха, вероятность не может быть чётко определена, пока не определён механизм или метод выбора случайной величины.

Четкий ответ на ваш вопрос:
Вероятность выбора одного из вариантов не может быть рассчитана, так как неизвестны условия выбора.

Мой вариант выигрышной стратегии:

Если сумма в конверте меньше средней статистической - меняем, если больше - оставляем.

Показываю на упрощенной модели.
Допустим, что минимальная сумма в конверте - x, а максимальная 8x.
В каждой паре конвертов один из конвертов должен содержать в 2 раза большую сумму, все суммы должны быть кратны x.

Важно понимать, что случайно из множества выбирается не число в конверте, а сумма пары конвертов!

Выбираем случайную пару конвертов с суммой кратной 3x.

Возможны следующие варианты пар:

1) x;2x
2) 2x;4x
3) 3x;6x
4) 4x;8x

Среднестатистическая сумма в паре конвертов - 7.5x
Среднестатистическая сумма в одном конверте - 3.75x

Возможны следующие варианты конвертов:
1) x
2) 2x
3) 3x
4) 4x
5) 6x
6) 8x

Если мы знаем множество вариантов, то вероятность выигрыша при смене конверта можно рассчитать:

1) x   = 100%
2) 2x = 50%
3) 3x = 100%
4) 4x = 50%
5) 6x = 0%
6) 8x = 0%

Разделим варианты статистической средней одного конверта (3.75) на 2 группы - больше и меньше.
В данном примере, статистическая вероятность выигрыша (при смене) у конвертов с суммой ниже средней = (50+0+0)/3= 16.66%
А у конвертов с суммой выше средней = (100+50+100)/3 = 83.33%

При увеличении диапазона выборки, вероятности смягчаются, но главное свойство остается: чем больше сумма в конверте относительно средней статистической суммы, тем меньше вероятность выигрыша при смене конверта.

Смоделируем выигрышную стратегию на основе данного примера.
Абсолютное значение средней статистической изначально неизвестно, так как x может быть как 1$, так и $1,000,000 ( но известен относительный диапазон - от х до 8x), поэтому, первый открытый конверт не дает нам никакой (условно) информации для принятия решения в данном конкретном выборе. Однако, если это игра с множеством повторений, то, стоит поменять конверт. Не потому, что в это выгодно в данном конкретном раунде, а для того, чтобы собрать больше статистических данных для последующих решений. После открытия второго конверта, у нас уже есть суммы 2-ух конвертов или одной пары. С каждым новым открытым конвертом статистическая средняя корректируется. В данном конкретном примере, где пар конвертов в выборке всего 4, достаточно небольшого числа раундов, чтобы с достаточно небольшим разбросом определить среднюю сумму конверта.


Как как любое множество конечно, то, при достаточно большом числе повторений, эта стратегия будет выигрышна при любом диапазоне выборки.



Если же задача поставлена так, что есть только один раунд и решения основывать на других раундах нельзя, то в этом случае можно опираться только на внешние статистические данные. Это сродни вопросу:

Перед вами конверт с деньгами, какая сумма денег в нем наиболее вероятна?

Тут уже используется анализ внешних данных и от них зависит решение, все зависит от субъективных условий и знаний о них, о чем я писал в предыдущем посте.
Например, если это не виртуальное моделирование, а в физическом конверте лежат реальные USD, вероятность того, что в конверте менее одного цента = 0%, так как денег меньшего номинале не выпускается. Вероятность того, что в конверт смогли запихать более миллиона долларов - тоже стремится к нолю, учитывая размеры о объем купюр. То есть, чем меньше диапазон выборки останется у нас после фильтрации внешними данными, тем точнее можно определить "среднюю статистическую" суммы в конверте, тем больше вероятность выигрыша.

Опять не в ту степь! Отвлекитесь от допусловий, от выборок, от ДЕНЕГ как таковых!  Оперируйте только цифрами!

Во вскрытом вами конверте нарисовано число"Х". Какова вероятность увидеть в другом конверте нарисованное число ">Х"? Или, по-вашему, здесь вероятности никакой быть не может?

При такой постановке вопроса - вероятность близка к 1/2, но есть ненулевая вероятность того, что, x - это максимальное число выборки, поэтому чуть менее.

Или вы опять об абстрактной бесконечности? ;)

http://nazva.net/forum/index.php/topic,2867.msg54503.html#msg54503

к черту выборку.
вероятность=1/2.
далее вопросы к философам, экономистам, математикам-теоретикам и -практикам.

Перед вами 2 "сферических в вакууме" конверта.
Вы открываете один из них и видите натуральное число X.
Какова вероятность, что во втором конверте число "<X", если известно, что оно является случайным натуральным числом?

причем  случайность натурального числа?
В задаче четко преподносят факт о нахождении во втором не вскрытом конверте числа БОЛЬШЕГО или МЕНЬШЕГО увиденного. Нужно найти вероятность обнаружения во втором конверте либо большего, либо меньшего числа, хоть дробного, хоть отрицательного...

Что-то очень знакомое!  :yesgirl:

I'm sorry , не читала все страницы, только последние.   :yesgirl:

Ответ на мой вопрос:
- вероятность того, что в конверте <X  - стремится к нолю.

Не важно, X = 5, 100 или 10^999999999999999, больше этого числа всегда есть бесконечное множество чисел.

К чему я это? Относительно "парадокса" конвертов - надо четко понимать, что количество вариантов пар конвертов всегда является конечным множеством и ограничена гипотетическим минимумом и максимумом. А значит, чем больше сумма в одном конверте, тем НИЖЕ вероятность, что во втором конверте сумма больше. Это взаимосвязанные события и вероятность тут условная. 50/50 мы имеем до тех пор, пока мы не открыли конверт. Как только мы узнали сумму в одном конверте, вероятность становится условной. Но никак не 50/50.



Больше или меньше во втором конверте. 1/2
Увижу динозавра или не увижу? 1/2

Оба эти вопроса дают полную неопределенность или 50% вероятности ДО ТЕХ ПОР пока мы не получаем дополнительную информацию. Сумма в первом конверте и то, что динозавры в большей долей вероятности вымерли, делают вероятность условной и зависимой от других факторов.

На столе 2 шкатулки. В первой шкатулке или во второй приз? Те же 50%, пока мы не узнаем, что оказывается, после случайного выбора одной шкатулки из трех, ведущий открыл третью, пустую! И все, те же 2 закрытые шкатулки на столе, но вероятность уже 1/3, потому что стала доступна дополнительная информация.

Вот, придумал, ка выразить свою мысль!


Перед вами конверт. Оцените соотношение вероятностей вариантов a и b.
a) В конверте $100
b) В конверте $10^987654321234567890


?

del

В оригинале Парадокс 2-х конвертов. Деньги визуально не определяются.  :yesgirl:

Парадокс возникает из-за путаницы с априорной и апостериорной вероятностью. Априорные вероятности выбрать конверт с большей и меньшей суммой равны 1/2 и не зависят от того, как изначально выбиралась пара конвертов. Но когда мы открыли конверт, мы получили новую информацию о сделанном выборе, и апостериорные вероятности, вообще говоря, будут другими. С точки зрения того, кто готовил конверты, когда стала известна сумма в выбранном конверте, вероятности стали равны 0 и 1. Для нас апостериорные вероятности зависят от того, каким было распределение вероятностей при подготовке пары конвертов.
Наверняка всё это уже несколько раз писалось в этой теме, мне лень искать.

:yesgirl:  

Спасибо, Димыч посмотрю, Вам доверяю :yesgirl:

кстати, насчёт подготовки конвертов в оригинале задачи ничего не говорится, так что её можно рассматривать как случайную выборку роботом. И вот тут можно и поговорить :yesgirl:

Это еще не всё. Даже если мы вобъем себе в голову, что вероятности не изменились (такое теоретически возможно, если вначале вероятность пары (x, x/2) была точно равна вероятности пары (x,2x)), это сделает правильной только первую часть рассуждения, но не вторую. Конверты принципиально несимметричны для нас, потому что один мы открыли и увидели сумму в нем, а второй не открывали. Когда мы откроем второй конверт, говорить будет уже не о чем, а пока мы его не открыли, никакой новой информации не появилось и рассуждение что второй конверт выгоднее первого остается в силе, сделать вывод, что первый выгоднее второго никак нельзя.

Почему? Мне не ясно. Подумаю. :yesgirl:

Любые выводы о том, что вероятность выигрыша одного из ЗАКРЫТЫХ конвертов больше или меньше другого - ошибочны. Равны и шансы события (выбор одного из конвертов) и шансы на прибыль.

Проведя абстрактную аналогию с квантовой механикой, можно сказать, что сумма денег в каждом конверте (с точки зрения теории вероятности) находится в суперпозиции - является одновременно и большей и меньшей суммой с равной вероятностью. Менять или не менять конверты - абсолютно никак не скажется на результате. И только при реализации эффекта наблюдателя - открытия конверта, сумма материализуется (условно) в конкретных конвертах. И тогда уже, в зависимости от этой суммы, можно оценивать варианты второго конверта, базируясь на условной вероятности выбора пары конвертов из всего множества вариантов. И вероятность эта уже не будет 50%.

Красивую вариацию придумал.
Предположим тот, кто дает нам конверты, с равной вероятностью выбирал из 3 вариантов: 1 и 2, 2 и 4, 4 и 8. И мы это знаем. Может так случиться, что он выберет 2 и 4. Тогда, какой бы из конвертов мы ни открыли, мы придем к выводу, что выгоднее поменять конверт. Но в этом нет никакого противоречия, потому что это 2 разные ситуации, не совместимые между собой. После того как один конверт открыт, мы должны закрыть его обратно и стереть свою память о его содержимом, чтобы можно было перейти к другой ситуации, когда был открыт другой конверт.

Димыч, на счет оценки ситуации с суммами и  выгодой одной перед другой))

 Я держу за спиною кисти рук ( их всего две, если что). Чел должен выбрать одну из них. До выбора я сообщаю, что он может выбрать руку с каким- то количеством отогнутых пальцев. При этом на другой руке их будет либо больше отогнуто, либо меньше на 1. Чел выбирает руку. Там отогнут один средний палец. Вероятность, что на другой руке 0 пальцев (сжатый кулак) или 2 ( коза) 50/50 в теории! На практике, оценив  биологическую особенностью строения человеческой кисти руки, чел понимает, что находиться О пальцев на второй руке не может, т.к. изначально случайно выбрав руку с кулаком, на второй не оказалось бы пальцев -1.
Подумав, однако, что сменив руку, может получить "козой" в глаза, не делает этого.( хотя там и целых два пальца! ))
Понятно теперь? Не надо путать вероятность события и последствия (статистическое матожидание от него в каждой конкретной ситуации).

Переход от априорных вероятностей к апостериорным замаскирован в совершенно невинной на первый взгляд фразе «допустим, вы увидели $10». Чтобы работать с априорными вероятностями, надо вместо этого сказать «допустим, в конвертах было $10 и $20». Тогда всё становится на свое место: поменяв конверт (не заглядывая внутрь, чтобы не переходить к апостериорным вероятностям), мы с равной вероятностью выиграем или проиграем $10.

Так нет же такой замаскированной фразы в этом парадоксе.
Говорят, что вы увидите в конверте некое число Х, которое больше или меньше лежащего числа У в другом конверте. Какова вероятность, что У больше или меньше Х? И зависит ли от этого смена конвертов.
Смена конвертов от вероятности нахождения большей или меньшей суммы не зависит!
Она зависит от ОЦЕНКИ числа Х . Оценка же делается на основании кучи критериев, не относящихся к вероятности У.

Давайте проведем мысленный эксперимент.

Моделируем на основе этого "парадокса" игру с нулевым мат ожиданием:
В Казино крупье вращает огромный шар, в котором перемешиваются боксы с 2-умя конвертами в каждом. Крупье случайно выбирает один из боксов и выкладывает перед вами 2 конверта из него. Вам известно, что в одном из них записана сумма вдвое больше, чем во втором. Вы можете выбрать один из конвертов, менять не глядя.
Когда вы открываете конверт, на ваш счет перечисляется сумма, которая написана там, а с вашего счета снимается сумма в половину суммы в двух конвертах, участвующих в текущем раунде.
Известно, что в шаре 5000 боксов, в одном конверте каждого бокса записано целое число от 1 до 5000 (все варианты присутствуют) а во втором число вдвое больше первого.

В таком условии получается игра с нулевым мат ожиданием. Никакие стратегии не смогут дать вам математическое преимущество. При достаточном количестве раундов, ваша прибыль будет стремиться к нолю. Никакие замены конвертов не помогут. )

А вот если изменить условие и дать игроку возможность поменять конверт, после того, как он узнал сумму, картина кардинально меняется. Мы можем придумать разные варианты стратегий, при которых будем получать стабильную прибыль при достаточном числе повторов.


Например, в ряде случаев мы будем открывать конверт с числом от 5001 до 10000, а по условию задачи мы можем сделать вывод, что все они выигрышные с вероятностью 100%.

А теперь задачка для тех кто хочет посчитать))

Какую комиссию надо игорному дому добавить к каждому раунду (в % от ставки), чтобы исключить возможность стратегии с положительным мат ожиданием.
Для варианта игры с возможностью обменять конверт после просмотра. :)

4 Tmin

Показать скрытый текст

Sorry,Smith. I’m not right. :yesgirl:

 :yesgirl:

Вовсе нет. Я искренне считаю, что кроме пищи для желудка и таланта поучать, существуют еще пища для ума и игры разума  :P