Форум умных людей

 Имеются три кучи камней. Сизиф таскает по одному камню из кучи в кучу. За каждое перетаскивание он получает от Зевса количество монет, равное разности числа камней в куче, в которую он кладёт камень, и числа камней в куче, из которой он берёт камень (сам перетаскиваемый камень при этом не учитывается). Если указанная разность отрицательна, то Сизиф возвращает Зевсу соответствующую сумму денег (если Сизиф не может расплатиться, то Зевс великодушно позволяет ему совершить перетаскивание в долг).

В некоторый момент оказалось, что все камни лежат в тех же кучах, в которых они лежали первоначально. Каков наибольший суммарный заработок Сизифа на этот момент?

Подряд выписаны десятичные записи всех натуральных чисел, начиная с единицы, до некоторого n включительно: 12345678910111213....(n). Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

999

909

Что-то я даже в условие не могу вьехать. Как говорится- Без 100 грамм не разберешься. :wall:

та нет, имеется ввиду, типа 0123456789 подошло бы, так нуля впереди нет. или 12345678910, так тут две единицы влезло, зараза...

Смит, ребята назвали n. :)

3. Если от каждого из 2 чисел отнять половину меньшего из них, то остаток от большего будет втрое больше остатка от меньшего.
Во сколько раз большее число больше меньшего?

в 2 раза

Что-то мне подсказывает, что суммарный заработок будет =0, так как кол-во камней не изменится, а система вернется в первоначальное состояние.

Числа α и β удовлетворяют равенствам α³ – 3α² + 5α = 1 и β³ – 3β² + 5β = 5. Найдите α + β.

Мне тоже кажется что 0.

3.409
0.982
1.425

нас уже двое :)

Нас уже трое.   :beer:

Да, действительно, 0. Интуиция нас не подвела.  :)

Тут приблизительно схема доказательства:
Показать скрытый текст
Можно описать  и более подробно.

Можно решить более красиво . Представим что у каждой кучи камней ("x", "y", "z") стоит по кассиру. Пусть в куче "x" в данный момент находится X камней. Если в кучу "x" прибывает камень, кассир "x" выдаёт Сизифу (X) монет. Если кучу "x" покидает камень, кассир забирает у Сизифа (X-1) монет. Баланс кассира "х" будет выглядеть примерно так(красные суммы с минусом - камень прибыл и кассир платит X, синие суммы с плюсом - камень убыл и кассиру платят X-1).
 
-(Х) -(Х+1) -(Х+2) +(Х+2) +(Х+1) ... и т.д.
1) количество плюсов будет равно количеству минусов.
2) соседние суммы с разными знаками всегда равны (-(Х+2) +(Х+2)).
3) всегда найдётся пара соседних плюс-минус , или минус-плюс.

Найдём соседнюю  пару плюс-минус [например (+100 монет) -(100 монет)]. То есть один камень убыл из кучи "х" - кассир получил с него , допустим 100 монет (+100), сразу за ним какой-то камень прибыл в кучу "х" - кассир платит ему 100 (столько же!) монет (-100). Это та пара соседних +-, которую мы искали.
 В сумме они дают 0 и на баланс кассира "х" не влияют. Уберем их. Плат останется на 2 меньше, условия 1-3 по-прежнему будут выполняться. Снова находим соседнюю пару +- (или -+), убираем, и т.д. В итоге баланс кассира "х" равен 0. Аналогично балансы кассиров "y" и "z" тоже равны 0. Значит баланс товарища Сизифа тоже равен 0.

P.S. Когда камень переходит из кучи "y" в кучу "х" , кассир "х" платит Х монет, а кассир "y" забирает Y-1 монет. Мы на время забыли про кассиров "y" и "z", рассматриваем приход-расход кассира "х". При желании в доказательстве можно разобраться, в крайнем случае можно нарисовать график выплат кассира "х", на нём всё более наглядно.


   
   

Растолкуйте пожалуйста поподробнее решение 3-й задачи,где нужно найти a+b