Название: Колоквіум (розгадано) Отправлено: Новак от Август 31, 2010, 10:54:02 Головоломка від Новака «Колоквіум» (поточний статус: "розгадана", розгадав MagTux)
Оголошуючи результати колоквіуму, лектор, використавши в своєму оцінюванні п’ятибальну систему (без одиниці), повідомив, що підгрупою, в яку входять 9 студентів, отримано дві четвірки і одну п’ятірку. Кому ж які дісталися оцінки? Якщо відомо матрицю А з цих оцінок: Всеволод Голослівний – а11 Світлана Піддубна – а12 Руслан Мандрика – а13 Святослав Гарматюк – а21 Ростислав Коляда – а22 Вадим Завірюха – а23 Любава Купайленко – а31 Ярослав Вернигора – а32 Людмила Степова – а33 , визначник якої рівний нулю (det(A)=0), а матриця М, що складається з допоміжних мінорів матриці А, має вигляд: м11=0 м12=9 м13=9 м21=0 м22=-3 м23=-3 м31=0 м32=-14 м33=-14 Название: Re: Колоквіум (розгадано) Отправлено: Новак от Август 31, 2010, 10:54:13 Головоломка от Новака «Коллоквиум» (разгадал MagTux)
Объявляя результаты коллоквиума, лектор, использовав в своем оценивании пятибалльную систему (без единицы), сообщил, что подгруппой, в которую входят 9 студентов, получено две четверки и одну пятерку. Кому какие достались оценки? Если известно матрицу А из этих оценок: Всеволод Голословный – а11 Светлана Поддубная – а12 Руслан Мандрыка – а13 Святослав Гарматюк – а21 Ростислав Коляда – а22 Вадим Заверюха – а23 Любава Купайленко – а31 Ярослав Вернигора – а32 Людмила Степовая – а33 , определитель которой равен нолю (det(A)=0), а матрица М, состоящая из дополнительных миноров матрицы А, имеет вид: м11=0 м12=9 м13=9 м21=0 м22=-3 м23=-3 м31=0 м32=-14 м33=-14 Название: Re: Колоквіум (нерозгадано) Отправлено: MagTux от Август 31, 2010, 11:27:13 Название: Re: Колоквіум (нерозгадано) Отправлено: Новак от Август 31, 2010, 11:29:17 Вірно, MagTux!!!
Название: Re: Колоквіум (розгадано) Отправлено: MagTux от Август 31, 2010, 12:09:54 Название: Re: Колоквіум (нове судоку) Отправлено: Новак от Август 31, 2010, 13:12:13 Что ж, оригинально! Вот тебе еще одно судоку:
Что произошло с результатами коллоквиума, при той же матрице А, если матрица М м11=0 м12=9 м13=9 м21=0 м22=-6 м23=-6 м31=0 м32=-16 м33=-16 , после защиты своих оценок студентами, стала такой: м11=0 м12=4 м13=4 м21=0 м22=-2 м23=-2 м31=0 м32=-11 м33=-11 Название: Re: Колоквіум (нове судоку) Отправлено: MagTux от Август 31, 2010, 13:59:12 Показать скрытый текст
Кстати условие наличия двух четвёрок и одной пятёрки здесь лишнее. Оно выполняется в любом случае. Название: Re: Колоквіум (нове судоку) Отправлено: Новак от Август 31, 2010, 14:15:40 Вірно, MagTux!
Кстати условие наличия двух четвёрок и одной пятёрки здесь лишнее. Оно выполняется в любом случае. Згоден!Что произошло с результатами коллоквиума? Любава, Ярослав и Людмила не отстояли свои тройки, а Всеволод, Ростислав и Вадим выкарабкались из своих двоек. Название: Re: Колоквіум (розгадано) Отправлено: семеныч от Август 31, 2010, 14:34:07 у Вас соревнование тут - кто больше поставит спасибок?? :haha2:
Название: Re: Колоквіум (розгадано) Отправлено: Um_nik от Август 31, 2010, 15:04:07 у Вас соревнование тут - кто больше поставит спасибок?? :haha2: :haha2: :haha2: :haha2: :haha2:Ну... Я тут конечно недавно, но, по моим наблюдениям, Новак ставит спасибки всем, кто решил его задачи. А MagTux'у просто задачи понравились, вот он автора и благодарит)) Название: Re: Колоквіум (розгадано) Отправлено: Тианептин от Август 31, 2010, 16:36:08 MagTux не боится читать длинные тексты и любит задачи а-ля 'Загадка Эйнштейна'. Поэтому тут он вне конкуренции.
Название: Re: Колоквіум (розгадано) Отправлено: семеныч от Сентябрь 01, 2010, 08:22:00 (http://s005.radikal.ru/i211/1009/ae/e4e20e4b52c4.jpg) (http://www.radikal.ru)
Название: Re: Колоквіум (нова задача) Отправлено: Новак от Сентябрь 06, 2010, 17:00:37 Задача від/от Новака
Лектор, переглядаючи результати колоквіуму, помітив, що матриця з 25-ти оцінок, які він виставив студентам в п’ятибальній системі, вироджена. Це йому не сподобалось. Які ж оцінки отримали студенти, якщо викладач двом студентам (кожному з них) підвищив оцінку на один бал і отримав матрицю, визначник якої рівний 52 ? Лектор, просматривая результаты коллоквиума, заметил, что матрица из 25-ти оценок, которые он поставил студентам в пятибалльной системе, вырожденная. Это ему не понравилось. Какие же оценки получили студенты, если преподаватель двоим студентам (каждому из них) повысил оценку на один балл и получил матрицу, определитель которой равен 52 ? Название: Re: Колоквіум (розгадано) Отправлено: MagTux от Сентябрь 06, 2010, 17:15:08 Мне стыдно признаться, но я не помню, что такое вырожденная матрица.
Почитал. "Квадратная матрица A вырождена тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор x, такой, что Ax = 0. Иными словами, линейный оператор, соответствующий матрице в стандартном базисе, имеет ненулевое ядро." Вот теперь всё "понятно". :roll: Название: Re: Колоквіум (розгадано) Отправлено: MagTux от Сентябрь 06, 2010, 17:57:24 Нашёл матрицу 5x5 с определителем 0, и матрицу 5x5 с определителем 52, причём у второй два элемента больше на 1, чем у первой матрицы. Но я ума не приложу как до этого дойти путём логических или математических выводов. Щас подумаю ещё.
Вот матрицы: 3 4 4 2 4 4 2 3 2 3 3 4 5 3 3 3 3 4 3 4 3 4 2 3 4 У этой определитель 52 3 3 4 2 4 4 2 3 2 3 3 4 5 3 3 3 3 4 2 4 3 4 2 3 4 У этой определитель ноль. Причём нулевую из 52 получить очень просто: достаточно сравнять две любые строчки. Название: Re: Колоквіум (нова задача) Отправлено: Новак от Сентябрь 07, 2010, 08:20:02 Задача від/от Новака
Лектор, переглядаючи результати колоквіуму, помітив, що матриця з 25-ти оцінок, які він виставив студентам в п’ятибальній системі, вироджена при будь-якій перестановці оцінок в матриці. Це йому не сподобалось. Які ж оцінки отримали студенти, якщо викладач двом студентам (кожному з них) підвищив оцінку на один бал і отримав матрицю, визначник якої рівний 52 ? Лектор, просматривая результаты коллоквиума, заметил, что матрица из 25-ти оценок, которые он поставил студентам в пятибалльной системе, вырожденная при любой перестановке оценок в матрице. Это ему не понравилось. Какие же оценки получили студенты, если преподаватель двоим студентам (каждому из них) повысил оценку на один балл и получил матрицу, определитель которой равен 52 ? я ума не приложу как до этого дойти путём логических или математических выводов. Щас подумаю ещё. Дійсно, вибач MagTux. Я трішки напартачив з умовою задачі. Насправді викладач засмутивсь ось через що: як він не старався, із оцінок, виставлених ним за колоквіум, неможна було скласти невироджену матрицю з визначником відмінним від нуля, тому він підвищив оцінки на бал двом студентам, хоча для отримання невиродженої матриці достатньо було це зробити лише одному з них, тоді визначник був би рівний 12.Ой... Действительно, извини MagTux. Я немного напортачил с условием. На самом деле преподаватель расстроился вот почему: как он не пытался, из оценок, выставленных им за коллоквиум, невозможно было составить невырожденную матрицу с определителем отличным от нуля. Поэтому он повысил на балл оценки двоим студентам, хотя для получения невырожденной матрицы достаточно было это сделать лишь для одного из них, тогда б определитель был бы равен 12. P.S. 5-ти бал. система: 1, 2, 3, 4, 5 Название: Re: Колоквіум (розгадано) Отправлено: Новак от Сентябрь 09, 2010, 16:27:57 Если рассмотреть случай с квадратной матрицей 3*3. То для того, чтобы при любой перестановке в ней элементов определитель ровнялся нолю, необходимо чтоб строки или столбцы были линейно зависимы, а это возможно при наличии всех одинаковых элементов в матрице, либо при одном отличном от остальных одинаковых.
х х х А = х х х , det(A) = 0 х х х y х х А = х х х , (x<>y), det(A) = 0 х х х (куда не ткни "у" в А, получишь два линейно зависимых столбца и две л.з. строки) Но уже для двух отличных от остальных одинаковых элементов найдутся варианты перестановки, при которых определитель будет отличным от нуля, например: у х х А = х у х , (x<>y), det(A) <> 0 х х х Название: Re: Колоквіум (розгадано) Отправлено: MagTux от Сентябрь 09, 2010, 16:56:33 Это всё понятно. В матрице 3 элемента отличных от других 22-х, которые равны между собой. Причём сами эти три элемента могут быть различны. Но дальше что делать, неясно.
Название: Re: Колоквіум (розгадано) Отправлено: Новак от Сентябрь 10, 2010, 12:19:22 Это всё понятно. В матрице 3 элемента отличных от других 22-х, которые равны между собой. Причём сами эти три элемента могут быть различны. Но дальше что делать, неясно. Исходя из условия, получается, например, такая матрица: x+1 x x x x x x+1 x x x x x y1 x x x x x y2 x x x x x y3 , где х є{1, 2, 3, 4}; a y1, y2, y3 є{1,2,3,4,5} и любые два из них <> х . Интересно, что в любых других невырожденных размещениях элементов х+1, y1, y2, y3 в матрице А, определитель будет одним и тем же, отличаясь только знаком, что не скажешь о перестановка элементов х+1, х+1, y1, y2, y3. Это можно увидеть, если невырожденную матрицу А привести к верхнему треугольному виду, определитель которой будет равен произведению диагональных элементов: x+1 x x x x 0 x+1-а x-а x-а x-а 0 0 y1-а-b x-a-b x-a-b 0 0 0 y2-a-b-c x-a-b-c 0 0 0 0 y3-a-b-c-d , где a = sqr(x)/(x+1) b = sqr(x-a)/(x+1-a) c = sqr(x-a-b)/(y1-a-b) d = sqr(x-a-b-c)/(y2-a-b-c) det(A) = (x+1)*( x+1-а)*( y1-а-b) *( y2-a-b-c)*( y3-a-b-c-d) Если подставить в эту формулу a, b, c, d, будет много сокращений… (http://s005.radikal.ru/i209/1009/44/47415ea132c6.jpg) (http://www.radikal.ru) Сразу оговорюсь, вариантов правильного ответа будет несколько. Можете на правах лектора выбрать один из них, который захотите. Название: Re: Колоквіум (розгадано) Отправлено: Новак от Сентябрь 13, 2010, 09:54:42 У меня получилось вот такое:
(http://s58.radikal.ru/i162/1009/85/92a9f98f91f4.jpg) (http://www.radikal.ru) Может, кто-то захочет побыть клёвым преподом и найдет подобное для х=4, пожалуйста. Студенты будут на седьмом небе от счастья! |