Форум умных людей

Задачи и головоломки => Авторские задачи => Тема начата: Новак от Август 31, 2010, 10:54:02



Название: Колоквіум (розгадано)
Отправлено: Новак от Август 31, 2010, 10:54:02
Головоломка від Новака «Колоквіум» (поточний статус: "розгадана", розгадав MagTux)

Оголошуючи результати колоквіуму, лектор, використавши в своєму оцінюванні п’ятибальну систему (без одиниці), повідомив, що підгрупою, в яку входять 9 студентів, отримано дві четвірки і одну п’ятірку. Кому ж які дісталися оцінки? Якщо відомо матрицю А з цих оцінок:

Всеволод Голослівний – а11
Світлана Піддубна – а12
Руслан Мандрика – а13
Святослав Гарматюк – а21
Ростислав Коляда – а22
Вадим Завірюха – а23
Любава Купайленко – а31
Ярослав Вернигора – а32
Людмила Степова – а33 ,

визначник якої рівний нулю (det(A)=0), а матриця М, що складається з допоміжних мінорів матриці А, має вигляд:

м11=0
м12=9
м13=9
м21=0
м22=-3
м23=-3
м31=0
м32=-14
м33=-14


Название: Re: Колоквіум (розгадано)
Отправлено: Новак от Август 31, 2010, 10:54:13
Головоломка от Новака «Коллоквиум» (разгадал MagTux)

Объявляя результаты коллоквиума, лектор, использовав в своем оценивании пятибалльную систему (без единицы), сообщил, что подгруппой, в которую входят 9 студентов, получено две четверки и одну пятерку. Кому какие достались оценки? Если известно матрицу А из этих оценок:

Всеволод Голословный – а11
Светлана Поддубная – а12
Руслан Мандрыка – а13
Святослав Гарматюк – а21
Ростислав Коляда – а22
Вадим Заверюха – а23
Любава Купайленко – а31
Ярослав Вернигора – а32
Людмила Степовая – а33 ,

определитель которой равен нолю (det(A)=0), а матрица М, состоящая из дополнительных миноров матрицы А, имеет вид:

м11=0
м12=9
м13=9
м21=0
м22=-3
м23=-3
м31=0
м32=-14
м33=-14


Название: Re: Колоквіум (нерозгадано)
Отправлено: MagTux от Август 31, 2010, 11:27:13
Показать скрытый текст


Название: Re: Колоквіум (нерозгадано)
Отправлено: Новак от Август 31, 2010, 11:29:17
Вірно, MagTux!!!


Название: Re: Колоквіум (розгадано)
Отправлено: MagTux от Август 31, 2010, 12:09:54
Решение
Показать скрытый текст

P.S. Я как раз сижу судоку разгадываю. )))


Название: Re: Колоквіум (нове судоку)
Отправлено: Новак от Август 31, 2010, 13:12:13
Что ж, оригинально! Вот тебе еще одно судоку:

Что произошло с результатами коллоквиума, при той же матрице А, если матрица М

м11=0
м12=9
м13=9
м21=0
м22=-6
м23=-6
м31=0
м32=-16
м33=-16 ,

после защиты своих оценок студентами, стала такой:

м11=0
м12=4
м13=4
м21=0
м22=-2
м23=-2
м31=0
м32=-11
м33=-11


Название: Re: Колоквіум (нове судоку)
Отправлено: MagTux от Август 31, 2010, 13:59:12
Показать скрытый текст

Кстати условие наличия двух четвёрок и одной пятёрки здесь лишнее. Оно выполняется в любом случае.


Название: Re: Колоквіум (нове судоку)
Отправлено: Новак от Август 31, 2010, 14:15:40
Вірно, MagTux!

Кстати условие наличия двух четвёрок и одной пятёрки здесь лишнее. Оно выполняется в любом случае.
Згоден!

Что произошло с результатами коллоквиума?

Любава, Ярослав и Людмила не отстояли свои тройки, а Всеволод, Ростислав и Вадим выкарабкались из своих двоек.


Название: Re: Колоквіум (розгадано)
Отправлено: семеныч от Август 31, 2010, 14:34:07
у Вас соревнование тут - кто больше поставит спасибок?? :haha2:


Название: Re: Колоквіум (розгадано)
Отправлено: Um_nik от Август 31, 2010, 15:04:07
у Вас соревнование тут - кто больше поставит спасибок?? :haha2:
:haha2: :haha2: :haha2: :haha2:
Ну... Я тут конечно недавно, но, по моим наблюдениям, Новак ставит спасибки всем, кто решил его задачи. А MagTux'у просто задачи понравились, вот он автора и благодарит))


Название: Re: Колоквіум (розгадано)
Отправлено: Тианептин от Август 31, 2010, 16:36:08
MagTux не боится читать длинные тексты и любит задачи а-ля 'Загадка Эйнштейна'. Поэтому тут он вне конкуренции.


Название: Re: Колоквіум (розгадано)
Отправлено: семеныч от Сентябрь 01, 2010, 08:22:00
(http://s005.radikal.ru/i211/1009/ae/e4e20e4b52c4.jpg) (http://www.radikal.ru)


Название: Re: Колоквіум (нова задача)
Отправлено: Новак от Сентябрь 06, 2010, 17:00:37
Задача від/от Новака

Лектор, переглядаючи результати колоквіуму, помітив, що матриця з 25-ти оцінок, які він виставив студентам в п’ятибальній системі, вироджена. Це йому не сподобалось. Які ж оцінки отримали студенти, якщо викладач двом студентам (кожному з них) підвищив оцінку на один бал і отримав матрицю, визначник якої рівний 52 ?

Лектор, просматривая результаты коллоквиума, заметил, что матрица из 25-ти оценок, которые он поставил студентам в пятибалльной системе, вырожденная. Это ему не понравилось. Какие же оценки получили студенты, если преподаватель двоим студентам (каждому из них) повысил оценку на один балл и получил матрицу, определитель которой равен 52 ?


Название: Re: Колоквіум (розгадано)
Отправлено: MagTux от Сентябрь 06, 2010, 17:15:08
Мне стыдно признаться, но я не помню, что такое вырожденная матрица.
Почитал.

"Квадратная матрица A вырождена тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор x, такой, что Ax = 0. Иными словами, линейный оператор, соответствующий матрице в стандартном базисе, имеет ненулевое ядро."
Вот теперь всё "понятно".  :roll:


Название: Re: Колоквіум (розгадано)
Отправлено: MagTux от Сентябрь 06, 2010, 17:57:24
Нашёл матрицу 5x5 с определителем 0, и матрицу 5x5 с определителем 52, причём у второй два элемента больше на 1, чем у первой матрицы. Но я ума не приложу как до этого дойти путём логических или математических выводов. Щас подумаю ещё.
Вот матрицы:
3   4   4   2   4
4   2   3   2   3
3   4   5   3   3
3   3   4   3   4
3   4   2   3   4
У этой определитель 52

3   3   4   2   4
4   2   3   2   3
3   4   5   3   3
3   3   4   2   4
3   4   2   3   4
У этой определитель ноль.

Причём нулевую из 52 получить очень просто: достаточно сравнять две любые строчки.


Название: Re: Колоквіум (нова задача)
Отправлено: Новак от Сентябрь 07, 2010, 08:20:02
Задача від/от Новака

Лектор, переглядаючи результати колоквіуму, помітив, що матриця з 25-ти оцінок, які він виставив студентам в п’ятибальній системі, вироджена при будь-якій перестановці оцінок в матриці. Це йому не сподобалось. Які ж оцінки отримали студенти, якщо викладач двом студентам (кожному з них) підвищив оцінку на один бал і отримав матрицю, визначник якої рівний 52 ?

Лектор, просматривая результаты коллоквиума, заметил, что матрица из 25-ти оценок, которые он поставил студентам в пятибалльной системе, вырожденная при любой перестановке оценок в матрице. Это ему не понравилось. Какие же оценки получили студенты, если преподаватель двоим студентам (каждому из них) повысил оценку на один балл и получил матрицу, определитель которой равен 52 ?


я ума не приложу как до этого дойти путём логических или математических выводов. Щас подумаю ещё.
Дійсно, вибач MagTux. Я трішки напартачив з умовою задачі. Насправді викладач засмутивсь ось через що: як він не старався, із оцінок, виставлених ним за колоквіум, неможна було скласти невироджену матрицю з визначником відмінним від нуля, тому він підвищив оцінки на бал двом студентам, хоча  для отримання невиродженої матриці достатньо було це зробити лише одному з них, тоді визначник був би рівний 12.

Ой...

Действительно, извини MagTux. Я немного напортачил с условием. На самом деле преподаватель расстроился вот почему: как он не пытался, из оценок, выставленных им за коллоквиум, невозможно было составить невырожденную матрицу с определителем отличным от нуля. Поэтому он повысил на балл оценки двоим студентам, хотя для получения невырожденной матрицы достаточно было это сделать лишь для одного из них, тогда б определитель был бы равен 12.

P.S. 5-ти бал. система: 1, 2, 3, 4, 5


Название: Re: Колоквіум (розгадано)
Отправлено: Новак от Сентябрь 09, 2010, 16:27:57
Если рассмотреть случай с квадратной матрицей 3*3. То для того, чтобы при любой перестановке в ней элементов определитель ровнялся нолю, необходимо чтоб строки или столбцы были линейно зависимы, а это возможно при наличии всех одинаковых элементов в матрице, либо при одном отличном от остальных одинаковых.

       х х х
А =  х х х , det(A) = 0
       х х х

       y х х
А =  х х х , (x<>y), det(A) = 0
       х х х
(куда не ткни "у" в А, получишь два линейно зависимых столбца и две л.з. строки)


Но уже для двух отличных от остальных одинаковых элементов найдутся варианты перестановки, при которых определитель будет отличным от нуля, например:

       у х х
А =  х у х , (x<>y), det(A) <> 0
       х х х



Название: Re: Колоквіум (розгадано)
Отправлено: MagTux от Сентябрь 09, 2010, 16:56:33
Это всё понятно. В матрице 3 элемента отличных от других 22-х, которые равны между собой. Причём сами эти три элемента могут быть различны. Но дальше что делать, неясно.


Название: Re: Колоквіум (розгадано)
Отправлено: Новак от Сентябрь 10, 2010, 12:19:22
Это всё понятно. В матрице 3 элемента отличных от других 22-х, которые равны между собой. Причём сами эти три элемента могут быть различны. Но дальше что делать, неясно.

Исходя из условия, получается, например, такая матрица:

x+1 x     x   x   x
x     x+1 x   x   x
x     x     y1 x   x
x     x     x   y2 x
x     x     x   x   y3

, где х є{1, 2, 3, 4}; a y1, y2, y3 є{1,2,3,4,5} и любые два из них <> х .

Интересно, что в любых других невырожденных размещениях элементов х+1, y1, y2, y3 в матрице А, определитель будет одним и тем же, отличаясь только знаком, что не скажешь о перестановка элементов х+1, х+1, y1, y2, y3. Это можно увидеть, если невырожденную матрицу А привести к верхнему треугольному виду, определитель которой будет равен произведению диагональных элементов:

x+1 x          x          x              x
0     x+1-а   x-а       x-а           x-а
0     0          y1-а-b  x-a-b        x-a-b
0     0           0          y2-a-b-c  x-a-b-c
0     0           0          0              y3-a-b-c-d

, где
a = sqr(x)/(x+1)
b = sqr(x-a)/(x+1-a)
c = sqr(x-a-b)/(y1-a-b)
d = sqr(x-a-b-c)/(y2-a-b-c)

det(A) = (x+1)*( x+1-а)*( y1-а-b) *( y2-a-b-c)*( y3-a-b-c-d)

Если подставить в эту формулу a, b, c, d, будет много сокращений…

(http://s005.radikal.ru/i209/1009/44/47415ea132c6.jpg) (http://www.radikal.ru)

Сразу оговорюсь, вариантов правильного ответа будет несколько. Можете на правах лектора выбрать один из них, который захотите.


Название: Re: Колоквіум (розгадано)
Отправлено: Новак от Сентябрь 13, 2010, 09:54:42
У меня получилось вот такое:

(http://s58.radikal.ru/i162/1009/85/92a9f98f91f4.jpg) (http://www.radikal.ru)

Может, кто-то захочет побыть клёвым преподом и найдет подобное для х=4, пожалуйста. Студенты будут на седьмом небе от счастья!