Форум умных людей

Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60°, спросил: «Как пройти в село NN?» Ему ответили: «Иди по левой дороге до деревни N — это в восьми верстах отсюда,— там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая ровная дорога,— это как раз дорога в NN. А можешь идти другим путём: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге,— значит, половину пути прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого NN.» —«Ну, а какой путь короче-то будет?» —«Да всё равно, что так, что этак, никакой разницы». И пошёл крестьянин по правой дороге.

Сколько вёрст ему придётся идти до NN? Больше десяти или меньше? А если идти от развилки до NN напрямик? (Все дороги прямые.)

А на первый взгляд задача для 8 класса.
Обозначим:
A1 и A2 - 1 и 2 участки пути налево, B1 и B2 - направо.
a и b - углы между прямой дорогой и соответственно A1 и В1, a+b=60.
L(A1)=d=8km, L(A2)=d*tg(a), S=L(A1)+L(A2)=d(1+tg(a)).
S0 - длина прямого пути = d/cos(a).
L(B1)=L(B2)=S/2.
cos(b)=(S0/2)/(S/2)=S0/S=(1/cos(a))/(1+tg(a))=1/(cos(a)+sin(a)).
cos(a+b)=cos(60)=1/2=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)=cos(a)/(cos(a)+sin(a))-sin(a)*sqrt(1-1/(cos(a)+sin(a))^2).
после упрощений получим уравнение 4-й степени относительно sin(a)^2:
4x(1-x)(4x+1)^2=1.
его можно решить с помощью очень простой формулы Кардано.
или методом итераций.
получим x=sin(a)^2=0.126297314775829.
a=20.81694 , b=39.18306, S=11.04162, S0=8.55871.

Задача таки для восьмого класса. Просто нужно использовать не тригонометрию, а головной моск.

Обозначим длину дороги от N до NN за L. Проекция деревни NN на правую дорогу будет находиться на расстоянии 4+(sqrt(3)/2)L от перекрёстка.
Если провести в точке NN перпендикуляр к дороге напрямую, то он пересечёт правую дорогу, допустим, в точке А. Расстояние от перекрёстка до точки А будет в точности равняться пути до NN (который равен 8+L).
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами в перекрёстке, в деревне NN и в точке A. Катет (длина дороги напрямую) равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на гипотенузу. Или, в данном случае, 64 + L^2 = (4+(sqrt(3)/2)L)*(8+L). Получается банальное квадратное уравнение. Без всякого метода итераций мы решаем его и приходим к тому же результату, что и предыдущий оратор.

Кстати, если бы не было указано, что по железной дороге нужно свернуть именно налево, у нас появилось бы эпичное второе решение, когда путь составляет где-то 86,5 вёрст.

да действительно, всё верно. хорошо конечно знать что существует более простое рещение. вот например могу предложить одну задачу. вначале решил её с помощью жуткой тригонометрии. потом нашел решение почти чисто геометрическое, но тригонометрия и там осталась. то есть полной удовлетворенности нет.
вот задача:
в окружность О1 вписан неравносторонний треугольник, а в этот треугольник вписана окружность О2. существуют ли другие треугольники для которых О1 является описанной, а О2 вписанной?
в какой-то книге я эту задачу видел, но вникать в решение не стал, моё мне показалось проще.

moonlight, была какая-то общая теорема из комбинаторной геометрии... название забыл. Суть в том, что для двух заданных окружностей если мы выберем начальную точку на внешней и станем проводить звенья ломаной так, чтобы они касались внутренней и заканчивались опять же на внешней, то либо этот процесс будет бесконечен, либо ломаная замкнётся через N звеньев _независимо_ от положения начальной точки.

спасибо. попробую доказать, если мозга хватит.

А доказывается она, если мне не изменяет память, суровым матаном и координатным счётом. Попробуйте, но это задача не того типа, что доставляют удовольствие)