Форум умных людей

Задачи и головоломки => Математические задачи => Тема начата: General от Май 29, 2011, 14:26:32



Название: XV тур Математического марафона
Отправлено: General от Май 29, 2011, 14:26:32
XV тур Математического марафона

Владимир Лецко начинает новый тур Математического Марафона (http://intelmath.narod.ru/olymp5marathon15.html). От меня в этот раз в нём всего одна задача, так что буду осуществлять в основном информационную поддержку.

Задачи очень интересные, за короткой формулировкой открывается широкий простор для мысли. Есть, чем заняться на каникулах :)

Решения можно присылать на val@dxdy.ru (в этом случае его сразу увидят оба ведущих), на val-etc@yandex.ru или в ЛС.

Не забывайте высылать вместе с решениями свои эстетические оценки задач.

==================================

Решения принимаются до 10.09.11

ММ141 (3 балла)

Существуют ли натуральные числа n такие, что (http://dxdy.ru/math/54111d6a38ce673c09fc9f9b460d696482.png)?

(http://dxdy.ru/math/fdd40b32f540431316bc241269a5ac8082.png) - сумма натуральных делителей числа n.

==================================

Решения принимаются до 14.09.11

ММ142 (4 балла)

Все 80 натуральных делителей натурального числа n расположили в порядке возрастания. Оказалось, делители с первого по четвертый образуют геометрическую прогрессию, делители с четвертого по седьмой - арифметическую прогрессию, а восьмой делитель меньше 200.
Найти n.

==================================

В Тематическом конкурсе тура - вновь комбинаторная геометрия
Более того, во всех тематических задачах, кроме КГ-11, речь вновь пойдет о многоугольниках. Но на этот раз - не обязательно выпуклых.

==================================

Решения принимаются до 18.09.11

ММ143 (КГ-11) (4 балла)

Девять из десяти ребер пятиугольной пирамиды имеют длину 1. В каком диапазоне может изменяться длина 10-го ребра?

==================================

Решения принимаются до 23.09.11

ММ144 (5 баллаов)

На поле e4 стоит чёрный король. Первый игрок ставит на любую клетку доски, не находящуюся под боем чёрного короля, белых королей (по одному за ход). Второй игрок делает (правильный) ход чёрным королём. Игра заканчивается, когда у чёрного короля не будет ходов. Каково минимальное количество ходов, за которое первый игрок может достичь цели?

==================================

В задачах КГ-12 - КГ-15 будем придерживаться следующих определений и обозначений:

Под многоугольником мы будем понимать плоскую замкнутую несамопересекающуюся ломаную, никакие три последовательные вершины которой не коллинеарны. Число сторон исходного многоугольника обозначим через n.
Назовем сторону многоугольника свободной, если продолжение этой стороны за каждую ограничивающую ее вершину в некоторой окрестности этой вершины лежит вне многоугольника.
Назовем сторону полусвободной, если вне многоугольника лежит продолжение стороны ровно за одну из двух ограничивающих ее вершин. Сторону, не являющуюся ни свободной, ни полусвободной, будем называть зажатой. Например, сторона AB (рис. 1), является свободной, сторона BC - полусвободной, а сторона EF - зажатой. 
Диагональ, все точки которой принадлежат многоугольнику, будем называть внутренней. Диагональ, не имеющую с многоугольником общих точек, за исключением вершин, которые она соединяет, будем называть внешней. Например, диагональ BF (рис. 1) - внутренняя, а диагональ BD - внешняя (диагональ BE  не является ни внешней, ни внутренней).

(http://img-fotki.yandex.ru/get/4703/val-etc.8/0_4e3f1_d62334e9_L.jpg) (http://fotki.yandex.ru/users/val-etc/view/320497/)

 
==================================

Решения принимаются до 27.09.11

ММ145 (КГ12) (3 балла)

Сколько внешних диагоналей может иметь n-угольгик?

==================================

Решения принимаются до 1.10.11

ММ146 (4 балла)

При каких D существуют графы диаметра D, у которых сумма квадратов степеней вершин равна D2?

==================================

Решения принимаются до 7.10.11

ММ147 (КГ13) (6 баллов)

Какое наименьшее число внутренних диагоналей может иметь n-угольгик, у которого ровно один угол больше развернутого?

==================================

Решения принимаются до 15.10.11

ММ148 (КГ14) (8 баллов)

Сколько внутренних диагоналей может иметь n-угольгик?

==================================

Решения принимаются до 22.10.11

ММ149 (8 баллов).

При каком наименьшем n в группе перестановок Sn существует подгруппа порядка 253? Привести пример такой подгруппы.

Примечание: Задачу можно решить на бумажке, без компьютерного перебора

==================================

Решения принимаются до 31.10.11

ММ150 (КГ15) (12 баллов)

Каждому n-угольнику поставим в соответствие ожерелье из n бусин белого, зеленого и красного цветов следующим образом: свободой стороне соответствует белая бусина; полусвободной - зеленая; зажатой - красная.
Два n-угольника назовем эквивалентными, если им соответствуют одинаковые ожерелья (ожерелье не меняется при поворотах и переворачивании). На сколько классов эквивалентности разобьются 20-угольники?


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: Sirion от Май 29, 2011, 17:19:25
(http://dxdy.ru/math/fdd40b32f540431316bc241269a5ac8082.png) - сумма натуральных делителей числа n.
А напомните-ка мне, число n является делителем числа n?

Существуют ли натуральные числа n такие, что (http://dxdy.ru/math/54111d6a38ce673c09fc9f9b460d696482.png)?
Как насчёт n=1?


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: zhekas от Май 29, 2011, 17:56:58
(http://dxdy.ru/math/fdd40b32f540431316bc241269a5ac8082.png) - сумма натуральных делителей числа n.

А напомните-ка мне, число n является делителем числа n?
включая 1 и n

Существуют ли натуральные числа n такие, что (http://dxdy.ru/math/54111d6a38ce673c09fc9f9b460d696482.png)?
Как насчёт n=1?

P.S. Я так полагаю, что данные задачи не для всеобщего обсуждения (во всяком случае на данном этапе), а для индивидуального решения.


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: Sirion от Май 29, 2011, 18:01:42
Неясность в условии - достаточный повод для открытого обсуждения. Впрочем, задачка в любом случае лажовая.


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: iPhonograph от Май 29, 2011, 19:58:34
формально n=1 полностью отвечает на вопрос условия задачи :)
авторы забыли про тривиальный случай


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: General от Май 29, 2011, 20:26:24
Sirion, да, в делители n в определении этой функции включают и само число n

Нахождение неточностей в условии или непредусмотренных путей решения премируется дополнительными баллами :)


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: Sirion от Май 29, 2011, 21:11:31
Нахождение неточностей в условии или непредусмотренных путей решения премируется дополнительными баллами :)
Тогда запишите на мой счёт) задачки забавные. Решил несколько первых, сейчас зашёл с конца и мучаю последнюю.


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: General от Май 30, 2011, 22:01:32
Да-да, конечно же :)

В оригинальной задумке в ММ141 требуется найти число n>1.


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: Sirion от Май 31, 2011, 13:09:52
А за что последней дали так много баллов? Она же довольно тупо сводится к <не скажу какой известной задаче>  ???


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: General от Июнь 02, 2011, 08:00:50
А если находится красивое решение, не учтённое автором задачи, то это премируется дополнительными баллами :)


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: Sirion от Июнь 02, 2011, 23:28:54
Четвёртая гадкая какая-то =( Чувство, что решение сводится к громоздкому перебору.


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: Sirion от Июнь 21, 2011, 01:00:08
Апну, пожалуй, а то далеко за условиями лазить.


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: Лев от Июнь 21, 2011, 09:16:15
Апну, пожалуй, а то далеко за условиями лазить.

Могу приколоть ее кнопочкой, пока актуально. Надо?


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: Sirion от Июнь 21, 2011, 11:10:30
Апну, пожалуй, а то далеко за условиями лазить.

Могу приколоть ее кнопочкой, пока актуально. Надо?
А ведь не повредило бы, ня.


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: soxjke от Июль 26, 2011, 14:32:36
Что такое "свободная", "полусвободная", "зажатая" сторона?
Ответ был среди задач, вопрос снимается =)


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: General от Сентябрь 11, 2011, 11:12:14
Переслал решения Ведущему, кстати, ещё есть время решить остальные задачи.

Решившие, пожалуйста, оцените задачи по пятибалльной шкале.

И ещё - есть пожелание (пожелание, не требование), подпишите, пожалуйста, по традиции Марафона, решения именами и фамилиями.


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: Sirion от Октябрь 04, 2011, 14:31:30
Из всех задач марафона не смог решить только ММ144. Сейчас просмотрел решение на dxdy и остался недоволен. ИМХО, этот текст нельзя считать математическим доказательством.


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: General от Октябрь 04, 2011, 16:06:14
А почему? Какие моменты упущены?


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: Sirion от Октябрь 04, 2011, 16:24:31
Все. По крайней мере, все важные. Задача разбирается как шахматная партия. "Белые играют тоньше", "прекрасный ход"... Строгие доказательства, что у чёрных нет шанса продержаться дольше, а белые не могут закончить быстрее, не приводятся нигде.


Название: XV тур Математического марафона
Отправлено: Rhitteehelf от Ноябрь 28, 2011, 14:38:48
Подскажите пожалуйста
По сарафанному радио узнала что теперь при УСНО в ООО обязаны применять БСО "ТУР-1" только типографические, а самим распечатывать нельзя???
Как можно???


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: Лев от Декабрь 06, 2011, 17:21:22
Мы с ботами не разговариваем!

Показать скрытый текст


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: Женя72 от Ноябрь 10, 2013, 01:01:20
подскажите задали ребенку задачку 
купили    конфеты
100штук
 по цене 50руб/шт  , 10 руб/шт, 1 руб/шт   ПОнятное дело   таких цен уж давно нет))))))))
 но и задачку не могу решить   уравнением решила........
Получим систему уравнений
x+y+z=100
50x+10y+z=500
Избавимся от z и получим
49х+9у=400 откуда
х=(400-9у)/49
у= (400-49)/9
тут все просто
х+39+z=100
50x+390+z=500  Решаем систему и находим х=1 z=60 у=39
Но как обяснить  ребенку, не через х)))))   и не системой


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: Питер Пен от Ноябрь 10, 2013, 01:49:44
Такие задачи направлены на внимание и решаются они следующим образом.
Как должно следовать из условия задачи, по крайней мере, купили 1 конфету за 50 руб.
Значит конфет за 10 руб. купили менее 45 шт. ((500-50)/10), т.е., по крайней мере,  44 штуки.
Следовательно, конфет по 1 руб. купили не менее 10 шт., т.к. (500 руб. – (1шт.*50 руб.)-(44шт.*10 руб.))/1руб.)=10шт.
У Вас получилось следующее:
1шт.    *    50 руб.  =  50 руб.
44шт.  *   10 руб.  = 440 руб.
10шт.  *   1 руб.    = 10 руб.
Таким образом, 55 шт. конфет куплено на 500 руб.
Причем конфеты по 1 руб. могли покупать только десятками (это следует из суммы покупки (500руб.)).
Теперь замечаете, что если вы будете уменьшать по 1-й шт. конфет стоимостью в 10 руб. и одновременно добавлять 10шт. конфет стоимостью 1 руб., то общая сумма покупки (500 руб.) не изменится.
В связи с чем, осталось определить, сколько таких уменьшений необходимо произвести.
А это считается так: (100 шт.-55 шт.)/(-1шт.+10шт.) = 5.
Следовательно, в полученном результате нужно сделать 5 замен, т.е. уменьшить 44 шт. конфет по 10 руб. на 5 и одновременно увеличить на 50 шт. (10шт.*5 замен) кол-во конфет по 1 руб.
Вот и получается, что купили: 1 шт. по 50 руб., 39 шт. по 10 руб. и 60 шт. по 1 руб.



Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: kecst от Июль 31, 2019, 15:17:59
Крутотень)


Название: Re: XV тур Математического марафона
Отправлено: Yozshuzragore от Февраль 26, 2020, 22:16:56
А напомните-ка мне, число n является делителем числа n?