Форум умных людей

Задачи и головоломки => Математические задачи => Тема начата: fortpost от Январь 22, 2012, 23:40:07



Название: Простое сравнение
Отправлено: fortpost от Январь 22, 2012, 23:40:07
Что больше  - 99! или 5099?


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: Sirion от Январь 23, 2012, 06:05:54
помню, мы эту оценку искали в общем виде на одной из первых пар матана)


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: moonlight от Январь 23, 2012, 19:32:51
неравенство между средними арифметическим и геометрическим.
доказательство нужно?

хотя общее доказательство здесь не требуется, достаточно для n=2.


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: fortpost от Январь 23, 2012, 19:50:59
неравенство между средними арифметическим и геометрическим.
доказательство нужно?

Нет, не обязательно.


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: ☭-Изделие 20Д от Январь 23, 2012, 22:19:09
Тупой результат без доказательств (50^99)-99! = средствами инета
для проверки
Показать скрытый текст


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: fortpost от Январь 23, 2012, 22:35:15
Тупой результат без доказательств (50^99)-99! = сркдствами инета
Показать скрытый текст

Так-то оно верно. А вот доказать бы ещё. Кто могёт?


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: BIVES от Январь 23, 2012, 22:35:38
неравенство между средними арифметическим и геометрическим.
доказательство нужно?

Нет, не обязательно.

Не знаю чем вам не нравится решение, которое предложил moonlight, помоему оно наиболее простое.
Можно прологарифмировать
ln1+ln2+...+ln99-99ln50<
По теореме Лагранжа
lnk<(k+1)ln(k+1)-(k+1)-klnk+k, k>=1
<100ln100-100+1-99ln50=ln50+100ln2-99<4+100*(4/5)-99=-15.
Значит, 99!<5099.


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: fortpost от Январь 23, 2012, 22:51:34
неравенство между средними арифметическим и геометрическим.
доказательство нужно?

Нет, не обязательно.

Не знаю чем вам не нравится решение, которое предложил moonlight, помоему оно наиболее простое.
Можно прологарифмировать
ln1+ln2+...+ln99-99ln50<
По теореме Лагранжа
lnk<(k+1)ln(k+1)-(k+1)-klnk+k, k>=1
<100ln100-100+1-99ln50=ln50+100ln2-99<4+100*(4/5)-99=-15.
Значит, 99!<5099.

Почему не нравится? Очень даже. Просто сразу не понял. :-\


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: Sirion от Январь 24, 2012, 00:00:42
По теореме Лагранжа
lnk<(k+1)ln(k+1)-(k+1)-klnk+k, k>=1
а можно поподробнее? что-то я не помню такую теорему...


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: iPhonograph от Январь 24, 2012, 00:02:33
а самого Лагранжа помнишь?


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: Sirion от Январь 24, 2012, 00:03:18
а кто его не помнит?


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: BIVES от Январь 24, 2012, 00:31:21
По теореме Лагранжа
lnk<(k+1)ln(k+1)-(k+1)-klnk+k, k>=1
а можно поподробнее? что-то я не помню такую теорему...

f(x)-f(y)=f/(r)(x-y), где r из интервала (y,x).
У нас f(z)=zln(z)-z, f/(z)=ln(z),
x=k+1, y=k, x-y=1.
(k+1)ln(k+1)-(k+1)-klnk+k=ln(r), r из интервала (k,k+1).
А так как ln(z) возрастает, то ln(r)>ln(k).


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: Sirion от Январь 24, 2012, 00:40:36
какое гинекологическое применение теоремы о среднем, ня


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: iPhonograph от Январь 24, 2012, 10:48:02
По теореме Лагранжа
lnk<(k+1)ln(k+1)-(k+1)-klnk+k, k>=1
а можно поподробнее? что-то я не помню такую теорему...

f(x)-f(y)=f/(r)(x-y), где r из интервала (y,x).
У нас f(z)=zln(z)-z, f/(z)=ln(z),
x=k+1, y=k, x-y=1.
(k+1)ln(k+1)-(k+1)-klnk+k=ln(r), r из интервала (k,k+1).
А так как ln(z) возрастает, то ln(r)>ln(k).
блин, и правда
а я думал, это просто верхнее неравенство из замечательного предела (про е), записанное в непривычном виде


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: BIVES от Январь 24, 2012, 12:15:45
Что больше  - 99! или 5099?

Кстати можно было вообще очень просто решить
- 99!<0 5099>0, поэтому - 99!<5099  :laugh:

А как сравнить 300! и 100300 моим способом можно, а как проще ?


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: ☭-Изделие 20Д от Январь 24, 2012, 17:22:57
скопировал в конец


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: ☭-Изделие 20Д от Январь 24, 2012, 17:27:09
Что больше  - 99! или 5099?

Кстати можно было вообще очень просто решить
- 99!<0 5099>0, поэтому - 99!<5099  :laugh:

А как сравнить 300! и 100300 моим способом можно, а как проще ?
Для проверки: (100^300)-300! :read: :pig: :tianchik: :girlcry:
Показать скрытый текст


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: лимонадный от Январь 24, 2012, 17:45:40
мдаа...


Название: Re: Простое сравнение
Отправлено: ☭-Изделие 20Д от Январь 24, 2012, 21:08:45
Во-во неожиданно