Форум умных людей

Сидел однажды Вася у себя на кухне и от нечего делать спички ломал. Поломал, поломал и задумался - чему равна вероятность того, что по крайней мере одна спичка будет переломана точно посередине? Запас спичек у Васи неограничен.

0

Спичек всего-лишь счётно.
А вот мест переломов - континуум.

Показать скрытый текст

Спасибо, очень интересная тема. Но вот автор считает, что искомая вероятность больше-таки нуля.

Надеюсь не в нашем не идеальном мире? :whiteflag:

Исходя из названия раздела "Математические задачи" отношу задачу к чисто математической.
"деление конечного отрезка на две равные, по длине, части" (пусть даже и вероятность "околосеренинного" разлома больше ввиду лёгкости сломать спичку ближе к центру, чем к концам)

Или здесь имеются ввиду реальные спички из дерева и подсчет длинны половинки с помощью линейки?
Тогда ответ не очевиден и может быть подогнан под любой другой варьируя точностью линейки и длинами спичек  ;)

Да, конечно, задача чисто математическая.

Можно аналитически показать, что вероятность равна нулю. Для этого докажем, что для сколь угодно малого d вероятность P сломать хотя бы одну спичку пополам меньше d.

Найдём такое c, что 1 - d = e^c. Если быть точным, c = ln(1 -  d). Пусть спички имеют единичную длину и пронумерованы. В середине первой спички закрасим отрезок длиной 1 - e^c/2, в середине второй - длиной 1 - e^c/4, в середине энного - длиной 1 - e^c/2n. Отметим, что c<0, поэтому все указанные длины будут положительны.

Вероятность того, что ни одна спичка не будет разломлена в точке, принадлежащей закрашенному отрезку, равна e^c/2 * e^c/4 * ...  * e^c/2n * ... = e^{(c/2 + c/4 + ... + c/2n + ...)} = e^c = 1 - d. Следовательно, вероятность того, что хотя бы один разлом попадёт в закрашенный отрезок, равна d. Поскольку если одна из спичек будет разломлена посередине, разлом придётся на закрашенный отрезок, мы можем заключить, что P < d.

Число d было выбрано произвольно. Значит, P меньше любого положительного числа, т.е. P = 0, ч.т.д.

Не знаю, что уж там считает автор, но, очевидно, он не умеет достаточно аккуратно обращаться с бесконечностями.

А может ненадо ААА ???
А то щаз как Вилли придет и будет бяда  :think:
http://nazva.net/forum/index.php/topic,5454.msg139956.html#msg139956
Или уж сразу в Архив забавностей Назвы ???

Как ни странно, получается Показать скрытый текст :o

не получается
но было бы интересно послушать

Хорошо, что не 2.  И на том спасибо.  :whiteflag:  :show_heart:

Ну дык 2 - только в военное время и в кризисные времена как и синус угла под которым может произвести выстрел орудие танка

нх :censored: :censored:

Изделие 20Д, это стандартная задача из курса теорвера. Такими мучают дубовых второкурсников. Нечего ей здесь делать.

Мне кажется, что это доказательство не совсем корректно, ведь очевидно, что гипотеза о равномерном распределении места излома не верна. Очевидно, что чем ближе мы к концам тем сложнее сломать спичку (попробуйте отломать кусок длиной 1 мм). Скорее всего место излома имеет треугольное распределение с мат. ожиданием равным координате середины спички. Впрочем все равно такое распределение непрерывно,  а значит, вероятность сломаться посредине равна 0. Но это все с точки зрения математики.

С точки зрения физики любая спичка состоит из конечного числа молекул и излом может произойти только между молекулами. Так как у нас спичек бесконечно много, то среди них будет бесконечно много спичек с четным количеством молекул, а следовательно вероятность сломаться пополам для таких спичек положительна. Поэтому вероятность, что какая-то спичка сломается пополам равна 1.  Возможно это имел ввиду автор задачи?

Насчёт "получается 1"  погорячился, был неправ. Можете кидать в меня помидорами.
Я рассуждал так :
Но это неправильно. Если брать разные расстояния от разлома до середины, 
у 1-й спички - е1, у второй спички - е2, ... и т.д. можно подобрать е1,е2,е3 так что бесконечное произведение (1-2е1)*(1-2е2)*... будет сколь угодно близко к 1.
То что и доказал Сирион в своём посте. Я видел его доказательство, но с первого захода до меня не дошло.

Не проблема. Вместо отрезков длины e^c/2n будем закрашивать отрезки меры e^c/2n.

Michael, пардоньте, что именно я доказал в своём посте?

Автор имел в виду, что некоторый отрезок случайным образом делится на две части, и требуется найти вероятность того, что эти части равны. Т.е. имеет место чистая математика и никакие физические ограничения не учитываются.

Хм... :-\ Умнейшие люди тут утверждают, что вероятность искомого события равна нулю. ???
Может стоит в таком случае выложить авторское решение, дабы поискать в нем ошибку?

фстудию!

Разделим каждую спичку на (n + 1) частей (число n будем считать нечетным) и предположим, что спички могут ломаться только в точках деления, причем в каждой нз точек с одинаковой легкостью. Вероятность сломать спичку в одной точке равна (n — 1)/n, вероятность сломать спичку в n точках равна [(n — 1)/n]ⁿ=(1—1/n)ⁿ. Следовательно, вероятность того, что ни одна спичка не сломана посередине, равна lim (1 — 1/n)ⁿ, и, таким образом, ответ задачи надлежит формулировать так: искомая вероятность (того, что по крайней мере одна спичка переломана
точно посередине) равна 1 - lim (1 — 1/n) ⁿ.
                                              n→∞
Но lim (1 — 1/n) ⁿ = 1/е, и мы получаем численное значение искомой вероятности:
     n→∞
1 - 1/e = 0,6321207...
     

Ошибка. Я понимаю n здесь натуральное  :D
Это всего-лишь миииизерная часть всех возможных изломов. Которых на порядок больше.

Даже можно утверждать, что разлом не попадет на выбранные вами точки с вероятностью 100% (см. ту же ссылку. "попасть в рациональное число вероятность 0")

Дык ведь n - это количество точек разлома, а не их координаты. А координаты оных точек могут быть рациональными, иррациональными, трансцендентными и даже где-то чуточку комплексными (:laugh:).

Что-то я, м... ни хрена не понял ^^


Это о чём вообще? Вероятность сломать конкретную спичку в конкретной точке, на секундочку,  равна 1/n, а (n — 1)/n - это вероятность НЕ сломать спичку в этой точке. Что такое "сломать спичку в n точках" - я понятия не имею в контексте данной задачи. Вот это число - (1—1/n)ⁿ. - это вероятность того, что из эн спичек ни одна не сломается в выбранной точке.

Судя по всему, автор очень косноязычно пытался сказать следующее: вероятность того, что среди эн спичек, ломаемых по эн точкам, ни одна не будет сломана пополам, равняется (1—1/n)ⁿ. Тогда устремим эн к бесконечности и получим 1/e.

Неподготовленному человеку может быть сложно это понять, но вычисляемый предел не имеет отношения к поставленной задаче. Чтобы пояснить это, приведу два соображения. Первое: перейдём к пределу немного по-другому. Пусть мы будем делить спички на n+1 частей, но при этом брать 2n спичек. Вероятность, что ни одна не будет разломлена посередине, равна (1—1/n)²ⁿ. В пределе это даст 1/e² - значительно меньше, чем в предыдущем случае. Аналогично мы можем получить ответ 1/e³, или 1/e¹⁰⁰⁵⁰⁰, или (немного извратившись) вообще какой угодно. Это как бы намекает нам, что использованный метод решения, гм... не валиден.

Второе соображение: давайте подумаем, к чему конкретно мы переходим в пределе. Сначала мы берём одну спичку, на которой отмечена одна точка. Потом три, на которых отмечено три точки. В пределе - бесконечное количество спичек, на которых отмечено бесконечное (а точнее - счётное) число точек, так? Тут у человека, знакомого с матаном, мгновенно возникает два подсоображения.

Подсоображене 2.1: счётное число точек на отрезке - это ещё не весь отрезок! То есть задача, полученная в пределе, не равносильна исходной. В исходной задаче перелом может прийтись на любую точку спички, а в этом предельном случае - лишь на счётное подмножество.

Подсоображение 2.2: а скажите мне, чему равна вероятность выбрать одну точку из бесконечного количества? Я спрашиваю не для того, чтобы развести очередной холивар на тему "невозможные события случаются". Я намекаю на то, что когда речь заходит о бесконечности, мы используем уже совсем другое определение вероятности. Пока мы выбираем из эн точек - это дискретная вероятность. Элементарное событие в ней - выбор некоторой точки, вероятность этого события - 1/n. А выбор точки на отрезке - это геометрическая теория вероятности. Элементарное событие в ней - попадание точки в определённый интервал, его вероятность равна длине этого интервала. Так о каком предельном переходе мы можем говорить, если у нас даже вероятностные пространства разные?

В авторском решении таинственным образом количество частей на которые мы можем сломать спичку зависит от количества спичек которые мы сломали. Т.е. если у Васи 3 спички, то по авторскому решению он сломает хотя бы одну посередине с вероятностью 8/27.

Это что-то типа вероятность любого события 1/2 так как оно или происходит или нет   :).

М-да-а-а... Приходится автору признать справедливость обвинения в непроходимой тупости к вечному позору своему и справедливой хуле грядущих поколений! >:(
З.Ы.Показать скрытый текст

позаимствована вместе с решением?

Ага, в комплексе.

это очень странно
можно ссылку на источник?

Да, пожалуйста.
http://libgen.info/view.php?id=32375
Стр. 102 - условие, стр. 150 - решение.

Тому, кто обьяснит что это значит, обещаю спасибку .


И за это тоже.

и действительно, автор написал откровеннейшую лажу, тем более непростительную, что к концу 19 века математический анализ был уже близок к современному виду

хотелось бы посмотреть английскую формулировку автора, а не творчество русского переводчика

интересно было бы придумать формулировку, для которой этот ответ корректен =)

В бесконечномерном пространстве (измерения 1,2,3...N... ) рассмотрим бесконечномерный единичный куб.
-1/2 < х1 < 1/2 ,
-1/2 < х2 < 1/2 ,
-1/2 < х3 < 1/2 ,
и т.д.
...

Точка излома 1-й спички - х1, середина - 0,
точка излома 2-й спички - х2, середина - 0,
точка излома 3-й спички - х3, середина - 0,
и т.д.
...


На 1-й спичке выделим отрезочек (-е1,е1),
на 2-й спичке выделим отрезочек (-е2,е2),
на 3-й спичке выделим отрезочек (-е3,е3),
и т.д.
...
где е1,е2,е3... маленькие числа > 0

Закрасим синим цветом все точки (х1,х2,х3...), у которых х1 НЕ попадает в область  (-е1,е1), х2 НЕ попадает в область  (-е2,е2), х3 НЕ попадает в область  (-е3,е3), и т.д.  для какой-нибудь последовательности е1,е2,е3,...
Остальные точки закрасим красным. То есть, у красной точки хотя бы одна координата х =0.
Обьём куба = 1 * 1 * 1 ... = 1.
Обьём синей области С = (1-е1) * (1-е2) * (1-е3).... и т.д.
Если все числа еN выбрать одинаковыми (например 1/2), то
С = (1-е1) * (1-е2) * (1-е3)...= (1-1/2) * (1-1/2) * (1-1/2)...=0,
Если е1,е2,е3... --> 0, то можно сделать С > 0.
Уменьшая числа е1,е2,е3... (бесконечная последовательность чисел), можно увеличивать С = (1-е1) * (1-е2) * (1-е3)...
Если в последовательности (х1,х2,х3,...) все числа х не равны 0, то есть все изломы не на середине,то (х1,х2,х3,...) принадлежит какой-нибудь синей области.
Если максимум обьёмов синих  областей = C, то обьём красной области K = 1- C.
Осталось найти этот максимум.
Мне показалось что пример, который привёл Сирион показывает что C=1, может я не так понял.
В любом случае легко показать что C=1 (но долго писать). Если это так, то K=1-C=0. Искомая вероятность = 0.

охохо... в бесконечномерных пространствах с объёмом не всё так просто, если память мне не изменяет

Если вы собрались находить вероятность событий состоящих из бесконечного числа ломок спичек, то это - то же самое. Вероятность - это обьём, бесконечное число спичек - бесконечное число измерений.
Всё пространство событий  - это единичный куб,  имеет обьём 1 (вероятность = 1). Половина куба имеет обьём 1/2, и так далее... Обьём в данном случае - другое название для вероятности.

попытка обобщить евклидову меру на гильбертово (бесконечномерное) пространство может привести к интересным последствиям. вот, например, кубик со всеми сторонами 1, его объём равняется единице. при этом объём кубика со стороной 1.0000000001 будет бесконечным, а объём кубика со стороной 0.99999999999 - равен нулю. кстати, у всех трёх главные диагонали будут иметь бесконечную длину

эту тему лучше не трогать, если только ты не знаток функционального анализа и специалист по бесконечномерным пространствам. я, например, не трогаю)

нашёл английскую версию, там всё понятнее
(n — 1)/n - шанс неудачи, [(n — 1)/n]ⁿ - шанс n неудач
по сути, всё так, как я и предполагал

Так давайте её сюда. :)

http://203.200.22.249:8080/jspui/bitstream/123456789/701/1/Pillow_%20problems_%20and_%20a_%20tangled_%20tale.pdf
условие не искал, решение на страницах 67-68 (92-93 в нумерации просмотрщика)

Такой переход от N точек на спичке к всей спичке ни откуда не следует. Тем более что мы вроде доказали что вероятность равна 0. Вообще оригинал доказательства намного длиннее чем русский перевод и больше похож на черновик. Там дальше есть фраза, которая не вошла в перевод:
То есть
Я бы её поставил с самого начала.
Кажется, книга больше интересна как литературный памятник.
Со стороны переводчика это халтура.

(http://img27.imageshack.us/img27/9875/lomka.png)

автор искал предел функции f(x,y) при x=бесконечности, y=бесконечности (x-количество палок, y-количество мест разлома), и наивно предположил, что этот предел равен пределу функции g(x) = f(x,x) при x=бесконечности
он, конечно, равен, но только если он существует )))

также забавно, что автор не дотумкал, что полученный им результат = 1-1/e

Что-то типа такого.

Счетное число слонов (1, 2, 3,..., n,...) играют в русскую рулетку. В пистолет n-го слона заряжен 1 патрон, а барабан  рассчитан на n патронов. n-ый слон делает n выстрелов, заново вращая барабан перед каждым. Найти вероятность того, что "последний" слон  погибнет.

Мне кажется здесь будет 1/n

Оцените уровень перевода:



 :o

последний из счётного числа слонов? мой моск кипит

Поэтому последний в кавычках.
Ну у 100000000000000000000000000000 будет примерно такая вероятность как в задаче про спички.

(http://spox.ru/cache/imagemanager/2555614.jpg)
Слоны видать индийские - Болливудская рулетка - N пуль,N вращений, N стволов у револьвера  :sun:

О! Сирион на Хабре! Поздравляю!!!

НЕТ!!!
Вы доказали, что для любого d существует P, которая меньше его. Какой ноль, о чем вы?
Вы не можете взять настолько малое d, что число меньше него будет нулем.
Хоть сколь угодно малое завыбирайтесь, все равно будут еще меньше числа, но большие нуля.

Вы доказали, что для всех d из (0,1] существуют числа еще меньшие. Однако, числа вида d/2 тоже подойдут. И оне не равны нулю.
Вам нужно доказать, что P не принадлежит  (0,1]

спасибо) давно собирался, ня

ahaha, P - это число, которое является ответом для этой задачи. Оно фиксировано и не зависит от d.

тогда я, пожалуй, соглашусь

Совсем простое решение: :ideagirl:
Пускай Р1-вероятность того, что 1-я спичка сломается посередине,
Р2-вероятность того, что 2-я спичка сломается посередине ...и т.д.
Р-вероятность того, что по крайней мере одна спичка сломается посередине.
Очевидно, что Р1=0, Р2=0 ... и т.д.
Р<=Р1+Р2...=0

ну а разрезать то можно на две равные половинки?? :roll:

семёныч, что тут неясного?
математика запрещает тебе разрезать батон на две равные половинки!

Разрезать - хрен знает ???
А вот разлить бутылку напололам можно