Форум умных людей

В одном старом задачнике по геометрии есть такая задача: вычислить длину стороны правильного треугольника, вписанного в параболу y = x². В указании к задаче говорилось, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной параболы. Верно ли такое указание? Может ли длина стороны правильного треугольника, вписанного в эту параболу, быть равна
а) 3; б) 2013?

Ни у кого идей нет? Сдаются все? Решение выдать?

ну если есть решение для 69  то давай :crazy:

Может так
Показать скрытый текст

Да не, не так маленько.

А-а, это правильно! То минимальное значение. А вот дальше как?

это единственное, если вершины совпадают

Верно, но всегда ли они совпадают?

  :think:

Интуитивно, а почему бы и нет ??? Но вот доказательство надо бы ещё пережувати.
Пока из идей только одна- вспомнить инженерную графику и смотреть не в 2Д, а в 3Д т.е. конус в параболической полости или точки пересечения конуса и какой-то фигни по виду напоминающей фаллоимитатор.

Показать скрытый текст

P.S.
Показать скрытый текст

Красиво, однако!
Позже немного авторское решение будет.

не надо пока, еще пару дней подумать

Можно показать, что можно вписать любой правильный треугольник со стороной >=2*3^1/2, и нельзя со стороной <2*3^1/2.

Возьмем произвольный правильный треугольник (пусть его сторона равна а>0).
Для того, чтобы доказать, что его можно вписать в y=x² нам надо показать, что существует такое b, что треугольник с вершинами в точках (0,0), (a*cos(b), a*sin(b)), (a*cos(b+pi/3), a*sin(b+pi/3)) вписан в параболу вида y=x²+c*x. Тогда сделав параллельный перенос мы получим нужную нам параболу с вписанным в нее треугольником.
Подставляем координаты вершин треугольника в y=x²+c*x, после преобразований получаем
c=(sin(b)-a*cos²(b))/(cos(b))
a*cos³(b)-3a*cos(b)/4+3^1/2/2=0.
Нижнее уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда функция
f(t)=a*t³-3a*t/4+3^1/2/2 имеет ноль в интервале [-1, 1].
Эта функция возрастает на (-до хрена, -1/2) и (1/2, до хрена) и убывает на [-1/2, 1/2].
Поэтому, f(t) будет иметь 0 на  [-1/2, 1/2] при a>=2*3^1/2.
Если a<2*3^1/2, то 0 нет на  [-1, 1]  т.к. f(-1)= f(1/2)=-a/4+3^1/2/2>0.
Во время преобразований, я делил на а, поэтому есть еще вырожденный случай, когда треугольник - точка.

BIVES - гэниально!!! :beer:

Логика такая же, только я не умею решать кубические уравнения)

 Авторское пожалуйста

Пожалуйста, вот оно.
Показать скрытый текст