Логические задачи
      NazVa.net

Число делится на 11, если сумма цифр на нечётных местах равна сумме на чётных местах.

При каждом "обмене" 1 и 2 разница сумм изменяется по модулю на 2. Значит, надо, чтобы она максимально далеко отстояла по модуля 11 от нуля, то есть, на 10.

Для приведения к нулю в этом случае нужны 5 обменов, независимо от разрядности (если она достаточно велика) числа.

1,2,4,6,9,11,13
3,5,7,8,10,12,14

Нет, так как общее число инверсий (изменений мест) должно быть чётным. Если кто-то смещается вверх, то другой идёт вниз.

А сумма от 1 до 9 равна 45. Значит, Лиана Гросс не может остаться на своём месте.

Ограничим решения башнями из одного и двух этажей. Пусть одноэтажных башен x1, двухэтажных - x2.

всего 30 этажей, значит x1+2*x2 = 30 и x1 = 30 - 2*x2

Оценка инспектора равна

N = x1*x2 = (30 - 2*x2)*x2 = 30*x2 - 2*x2*x2

Находим максимум, дифференцируя по x2

dN/dx2 =  30 - 4*x2.

Максимум в точке 7,5. Функция гладкая, вторая производная = -4 - всюду отрицательна, значит, чем дальше от максимума, тем значение меньше.

Поэтому достаточно рассмотреть два целых решения, слева и справа от максимума:

x2=7 (x1 = 16) и x2 =8 (x1=14).

Оказывается, что значения оптимизируемой функции в этих точках равны: 14*8  = 16*7 = 112 и оба являются решением.

Теперь допустим, что имеются и трёхэтажные башни.

Тогда ограничение на число этажей выглядит так:

x1+2*x2+3*x3 = 30

А оптимизируемая функция равна N = x1*x2 + (x1+x2)*x3

x1 = 30 - 2*x2 - 3*x3

N = 30*x2 - 2*x2*x2 - 3*x2*x3 + 30*x3 - 2*x2*x3 - 3*x3*x3 +x2*x3 =

= 30*x2 - 2*x2*x2 + x3*(30 - 3*x2 - 5*x2 +x2) - 3*x3*x3 =

= (30 - 2*x2)*x2 + x3*(30 - 7*x2) - 3*x3*x3.

Дифференцируем по x3

dN/dx3 = 30 - 7*x2 -6*x3

x3 max = 5 - 7/6*x2

Видно, что при x2>5 x3 зануляется, и общее число башен с 2 и 3 этажами не больше

5-7/6*x2 + 1/6*x2 = 5 - 1/6*x2 <5

В таком случае максимальное значение N = 2*25 < 112.

Следовательно, решение с ненулевым числом трехэтажных башен невыгодно.

Поэтому правильный ответ: N=112, x1=16, x2=7 или x1=14, x2=8, xm=0 при m>2.

Можно, конечно, и честно сделать, подставив x3max вместо x3 и дифференцировав N по x2, но лень.