Логические задачи
      NazVa.net

На доске можно либо написать две единицы, либо стереть любые два уже написанных одинаковых числа n и написать вместо них числа  n + 1  и  n – 1. 
Какое минимальное количество таких операций требуется, чтобы получить число 2017?

Найдите 2017 пар вида  (n, n + 110),  где оба числа – палиндромы.

14 друзей пришли на вечеринку, один из них -  Вася, хотел уйти с нее пораньше. Он попрощался с 10 друзьями, а с 3-мя забыл и ушел. Через некоторое время он вновь вернулся на вечеринку и попрощался с 10 друзьями (не обязательно с теми же самыми, с кем прощался до этого).
Так продолжалось до тех пор, пока он не попрощался с каждым из друзей. После этого Вася наконец-то окончательно ушел. Утром он вспомнил, что с каждым из друзей попрощался разное количество раз. Какое минимальное число раз должен был возвращаться Вася?

Собрались как-то у Семёныча на пруду друзья - Петрович, Михалыч, Егорыч и Кузьмич. Наловили они немного раков и уселись отмечать это дело. К вечеру всех потянуло в сон, друзья разбрелись и заснули кто где. Утром первым проснулся Семёныч и решил отсчитать свою долю. Но поровну разделить не удалось, один рак оказался лишним. Кинул его Семёныч в воду, взял пятую часть и пошел укреплять здоровье пивом. Затем встал Петрович. Думая, что все еще спят, стал он делить. Снова один рак оказался лишним, и Петрович, бросив его в воду, забрал пятую часть оставшихся. То же самое сделали и трое остальных друзей. Сколько раков всего было?

Та не так.

Великан начал хлебать бочку киселя, через некоторое время к нему присоединился второй, затем через такой же промежуток – третий и т. д.  до последнего. Оказалось, что первый великан хлебал кисель в пять раз дольше последнего. Если бы все начали одновременно,
то они справились бы за 2 часа. Сколько времени хлебал кисель первый?

Математика

2) Найти общее решение ДУ допускающего понижение порядка
x³y''+x²y'=1 (Ответ: y=C1lnx+1/x+C2)

y' = t
y'' = t'

x³t' + x²t = 1
t' + t/x = 1/x³

t' + t/x = 0
dt/dx = -t/x
dt/t = -dx/x
ln|t| = -ln|x| + ln|C|
t = C/x

t = C(x)/x
C'(x)/x - C(x)/x² + C(x)/x² = 1/x³
C'(x)/x = 1/x³
C'(x) = 1/x²
C(x) = ∫dx/x² = -1/x + C₁
t = -1/x² + C₁/x

y = ∫-dx/x² + ∫C₁dx/x = 1/x + C₁ln|x| + C₂

4)((x^3)-2xy)dx-((x^2)-(e^-2y)dy=0

(x³-2xy)dx - (x²-e^-2y)dy = 0

Это дифф. уравнение имеет вид:
P(x,y) + Q(x,y) = 0, и называется дифф. уравнением в полных дифференциалах.

P(x,y) = x³ - 2xy
Q(x,y) = -x² + e^-2y

∂P/∂y = -2x
∂Q/∂x = -2x

Условие ∂P/∂y ≡ ∂Q/∂x выполняется, следовательно, левая часть исходного дифференциального уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0.

Так как (x³-2xy)dx - (x²-e^-2y)dy есть полный дифференциал функции U(x, y) = 0 , то

∂U/∂x = x³ - 2xy
∂U/∂y = -x² + e^-2y

Интегрируем по x первое уравнение системы

U(x,y) = ∫(x³ - 2xy)dx + φ(y) = x⁴/4 - x²y + φ(y)

и дифференцируем по y полученный результат

∂U/∂y = -x² + φ'_y(y)

С другой стороны, из второго уравнения системы имеем ∂U/∂y = -x² + e^-2y

Следовательно,

-x² + e^-2y = -x² + φ'_y(y)
φ'_y(y) = e^-2y → φ(y) = ∫e^-2ydy = -e^-2y/2 + C

Таким образом,

U(x,y) = x⁴/4 - x²y - e^-2y/2 + C

и общим интегралом исходного уравнения является

x⁴/4 - x²y - e^-2y/2 + C = 0

3)y'+(5y/x)=(sin4x/x^5)

y'+5y/x=sin4x/x⁵

Это дифф. уравнение имеет вид:
y' + P(x)y = Q(x), где P(x) = 5/x и Q(x) = sin4x/x⁵
и называется линейным неоднородным дифф. уравнением 1-го порядка.

Решим сначала надо соответствующее линейное однородное ур-ние
y' + P(x)y = 0 с разделяющимися переменными
Данное ур-ние решается следущими шагами:
Из y' + P(x)y = 0 получаем

y' + 5y/x = 0
dy/dx = -5y/x
dy/y = -5dx/x
ln|y| = -5ln|x|+lnC
y = C/x⁵

Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
y' + P(x)y = Q(x)
Используем метод вариации произвольной постоянной
Теперь, считаем, что C - это функция от x
y = C(x)/x⁵
И подставим в исходное уравнение.
Воспользовавшись правилами
- дифференцирования произведения;
- производной сложной функции,
находим, что

(C(x)/x⁵)' + 5C(x)/x⁶ = sin4x/x⁵
C'(x)/x⁵ - 5C(x)/x⁶ + 5C(x)/x⁶  = sin4x/x⁵
C'(x) = sin4x
C(x) = ∫sin4xdx = -¹/₄cos4x + C₁

подставим C(x) в y = C(x)/x⁵ и получим окончательный ответ для y(x):

y = (-¹/₄cos4x + C₁)/x⁵

2. 64*63*62*61 = 15249024

1. 13!/4! = 259459200

2)y'=(e^((-9*y)/x))+y/x

y'=e^-9y/x+y/x

y=tx → y'=t'x+t

t'x+t=e^-9t+t
t'x=e^-9t

  dt
x--- = e^-9t
  dx

e^9tdt = dx/x
∫e^9tdt = ∫dx/x

¹/₉∙e^9t = ln|x|+ln|C|
¹/₉∙e^9y/x = ln|Cx|
9y/x = ln(9ln|Cx|)
y = ¹/₉∙xln(9ln|Cx|)

1)y'=-sqrt(y); y(1)=3

dy
--- = -y^1/2
dx

-y^-1/2dy = dx

-2y^1/2 = x + C

-2·3^1/2 = 1 + C → C = -1-2√3

y = (1+2√3-x)²/4