|
Робинзон
|
 |
« : Октябрь 25, 2014, 19:04:41 » |
|
1. Назовём два последовательных натуральных числа сложными, если каждое из них делится на квадрат любого своего простого делителя. Существует ли пара сложных чисел, больших числа 201420142014?
2. В городе Угрюмове-Грубове живёт 2028098 жителей. Несмотря на то, что жители города очень малообщительны, среди любых 2014 жителей есть трое попарно знакомых людей. (Если А знает Б, то и Б знает А). Докажите, что в городе есть четыре человека попарно знакомых друг с другом.
3. По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное число комнат, занумерованных по порядку целыми числами, и в каждой стоит по роялю. В этих комнатах живет некоторое конечное число пианистов (в одной комнате может жить и несколько пианистов). Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах — k-й и (k+1)-й,— приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k—1)-ю и (k+2)- комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся.
4. На плоскости дано несколько точек. Известно, что любые три точки можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда и все точки можно накрыть кругом радиуса 1.
|
Записан