Я, конечно не Рамануджан, но достаточно повозился с А и вывел формулу...
Введём понятие АК = кор(1 + (К+1)*(кор(1 + К+2)*кор(1+...))...
То есть А1 = кор(1 + 2*(кор(1+3(1+...))... = наше А
А2 = кор(1 + 3*(кор(1+4(1+...))...
и т.д.
Можно сказать, что АК+1 > АК.
С другой стороны: АК = кор(1+(К+1)АК+1).
Возводя обе части в квадрат, получим:
АК2 = 1+(К+1)АК+1
Деля обе части на АК получим:
АК = 1/АК + (К+1)*АК+1/АК (1)
Поскольку АК+1 > АК,
то АК+1/АК > 1 и: АК > 1/АК + (К+1)
С другой стороны, т.к 1/АК << К+1, то можно сказать, что
АК = (К+1) + Х, где Х << К+1 (при больших К)
Аналогично можно получить, что АК+1 = (К+2) + ~Х, т.е.
АК+1 =~ АК + 1
Вернувшись к (1) получим:
АК = 1/АК + (К+1)*АК+1/АК =~
= 1/АК + (К+1)*(АК + 1)/АК =
= 1/АК + (К+1)(1 + 1/(К+1+Х)) = 1/АК + К+1 + (К+1)/(К+1+Х) =
= К+1 + (К+1+Х-Х)/(К+1+Х) + 1/АК = К+1 + 1 - Х/(К+1+Х) + 1/АК =
= К+2 + (1/АК - Х/(К+1+Х)).
1/АК и Х/(К+1+Х оба << К+2 и одного порядка.
Поэтому можно сказать, что при больших К АК = К+2.
Но теперь, вычисляя АК-1 через АК, мыполучим:
АК-12 = 1 + К(К+2) = К2 + 2К + 1 = (К+1)2, откуда АК-1 = К+1 и так для любого К
Следовательно, А1 = 1+2 = 3.
Рассуждая по аналогии, можно получить выражение для чётных и нечётных:
АЧK = 2(К+1), АЧ1 = 4.
АНK = 2К+3, АН1 = 5.
Но надо проверить. Я не проверял.
Введём понятие АК = кор(1 + (К+1)*(кор(1 + К+2)*кор(1+...))...
То есть А1 = кор(1 + 2*(кор(1+3(1+...))... = наше А
А2 = кор(1 + 3*(кор(1+4(1+...))...
и т.д.
Можно сказать, что АК+1 > АК.
С другой стороны: АК = кор(1+(К+1)АК+1).
Возводя обе части в квадрат, получим:
АК2 = 1+(К+1)АК+1
Деля обе части на АК получим:
АК = 1/АК + (К+1)*АК+1/АК (1)
Поскольку АК+1 > АК,
то АК+1/АК > 1 и: АК > 1/АК + (К+1)
С другой стороны, т.к 1/АК << К+1, то можно сказать, что
АК = (К+1) + Х, где Х << К+1 (при больших К)
Аналогично можно получить, что АК+1 = (К+2) + ~Х, т.е.
АК+1 =~ АК + 1
Вернувшись к (1) получим:
АК = 1/АК + (К+1)*АК+1/АК =~
= 1/АК + (К+1)*(АК + 1)/АК =
= 1/АК + (К+1)(1 + 1/(К+1+Х)) = 1/АК + К+1 + (К+1)/(К+1+Х) =
= К+1 + (К+1+Х-Х)/(К+1+Х) + 1/АК = К+1 + 1 - Х/(К+1+Х) + 1/АК =
= К+2 + (1/АК - Х/(К+1+Х)).
1/АК и Х/(К+1+Х оба << К+2 и одного порядка.
Поэтому можно сказать, что при больших К АК = К+2.
Но теперь, вычисляя АК-1 через АК, мыполучим:
АК-12 = 1 + К(К+2) = К2 + 2К + 1 = (К+1)2, откуда АК-1 = К+1 и так для любого К
Следовательно, А1 = 1+2 = 3.
Рассуждая по аналогии, можно получить выражение для чётных и нечётных:
АЧK = 2(К+1), АЧ1 = 4.
АНK = 2К+3, АН1 = 5.
Но надо проверить. Я не проверял.
Ты вообще, живой человек?
Или просто мат. задачи - не мой конек