Автор Тема: Целочисленные корни уравнения ax^2-by^2=c  (Прочитано 10926 раз)
Новак
Гость
« : Октябрь 15, 2010, 13:02:38 »

ax^2 – by^2 = c , a,b,c – цілі. Нехай x^2 = n  y^2 = m , звідки an – bm = cдіофантове рівняння 1-ї степені з двома не відомими.

Теорема. Якщо в рівнянні an – bm = c , НСД( a , b) = 1 , то всі цілі розв’язки цього рівняння описують формули: n = n0c – bt , m = m0c – at , де n0 , m0 – цілий розв’язок рівняння an – bm = 1 , t – довільне ціле число.

Для 3x^2 – 2y^2 = 270 та 3x^2 – 2y^2 = 2160  НСД( 3 , 2 ) = 1. Згідно теореми маємо розв’язки цих рівнянь:
x^2 = c – 2t , y^2 = c – 3t, де с = 270 і 2160; t – довільне ціле.

Щоб при спільному t  x та y були цілими, необхідно, щоб c > = 3t > = 2t , причому, якщо с – наприклад, не просте і представляється як с = d13^i = d22^j , де i , j > = 0, d1 , d2 > 1 - цілі, тоді:
(d1 = 1 або, ділячись на 3, дає остачу 1) і (d2 = 1 або, ділячись на 2, дає остачу 1).

270 = 10*3^3, 10 = 3*3 + 1
270 = 135*2^1, 135 = 67*2 + 1
При с = 270 цілий розв’язок існує

2160 = 80*3^3, 80 = 26*3 + 2
2160 = 135*2^4, 135 = 67*2 + 1
При с = 2160 цілий розв’язок не існує

Якось так...

Эти пользователи сказали вам СПАСИБО :

MagTux

За это сообщение 1 пользователь сказал спасибо!
Записан