Логические задачи
      NazVa.net

Можно показать, что можно вписать любой правильный треугольник со стороной >=2*3^1/2, и нельзя со стороной <2*3^1/2.

Возьмем произвольный правильный треугольник (пусть его сторона равна а>0).
Для того, чтобы доказать, что его можно вписать в y=x² нам надо показать, что существует такое b, что треугольник с вершинами в точках (0,0), (a*cos(b), a*sin(b)), (a*cos(b+pi/3), a*sin(b+pi/3)) вписан в параболу вида y=x²+c*x. Тогда сделав параллельный перенос мы получим нужную нам параболу с вписанным в нее треугольником.
Подставляем координаты вершин треугольника в y=x²+c*x, после преобразований получаем
c=(sin(b)-a*cos²(b))/(cos(b))
a*cos³(b)-3a*cos(b)/4+3^1/2/2=0.
Нижнее уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда функция
f(t)=a*t³-3a*t/4+3^1/2/2 имеет ноль в интервале [-1, 1].
Эта функция возрастает на (-до хрена, -1/2) и (1/2, до хрена) и убывает на [-1/2, 1/2].
Поэтому, f(t) будет иметь 0 на  [-1/2, 1/2] при a>=2*3^1/2.
Если a<2*3^1/2, то 0 нет на  [-1, 1]  т.к. f(-1)= f(1/2)=-a/4+3^1/2/2>0.
Во время преобразований, я делил на а, поэтому есть еще вырожденный случай, когда треугольник - точка.