Автор Тема: Удачно писаться  (Прочитано 8307 раз)
BIVES
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 687


Просмотр профиля
« : Март 28, 2013, 11:14:23 »

Можно показать, что можно вписать любой правильный треугольник со стороной >=2*31/2, и нельзя со стороной <2*31/2.

Возьмем произвольный правильный треугольник (пусть его сторона равна а>0).
Для того, чтобы доказать, что его можно вписать в y=x2 нам надо показать, что существует такое b, что треугольник с вершинами в точках (0,0), (a*cos(b), a*sin(b)), (a*cos(b+pi/3), a*sin(b+pi/3)) вписан в параболу вида y=x2+c*x. Тогда сделав параллельный перенос мы получим нужную нам параболу с вписанным в нее треугольником.
Подставляем координаты вершин треугольника в y=x2+c*x, после преобразований получаем
c=(sin(b)-a*cos2(b))/(cos(b))
a*cos3(b)-3a*cos(b)/4+31/2/2=0.
Нижнее уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда функция
f(t)=a*t3-3a*t/4+31/2/2 имеет ноль в интервале [-1, 1].
Эта функция возрастает на (-до хрена, -1/2) и (1/2, до хрена) и убывает на [-1/2, 1/2].
Поэтому, f(t) будет иметь 0 на  [-1/2, 1/2] при a>=2*31/2.
Если a<2*31/2, то 0 нет на  [-1, 1]  т.к. f(-1)= f(1/2)=-a/4+31/2/2>0.
Во время преобразований, я делил на а, поэтому есть еще вырожденный случай, когда треугольник - точка.


Эти пользователи сказали вам СПАСИБО :

fortpost, Um_nik

За это сообщение 2 пользователи сказал спасибо!
« Последнее редактирование: Март 28, 2013, 11:16:01 от BIVES » Записан