burunduk
Новенький
Offline
Сообщений: 4
|
|
« : Май 02, 2014, 19:14:34 » |
|
Ограничим решения башнями из одного и двух этажей. Пусть одноэтажных башен x1, двухэтажных - x2.
всего 30 этажей, значит x1+2*x2 = 30 и x1 = 30 - 2*x2
Оценка инспектора равна
N = x1*x2 = (30 - 2*x2)*x2 = 30*x2 - 2*x2*x2
Находим максимум, дифференцируя по x2
dN/dx2 = 30 - 4*x2.
Максимум в точке 7,5. Функция гладкая, вторая производная = -4 - всюду отрицательна, значит, чем дальше от максимума, тем значение меньше.
Поэтому достаточно рассмотреть два целых решения, слева и справа от максимума:
x2=7 (x1 = 16) и x2 =8 (x1=14).
Оказывается, что значения оптимизируемой функции в этих точках равны: 14*8 = 16*7 = 112 и оба являются решением.
Теперь допустим, что имеются и трёхэтажные башни.
Тогда ограничение на число этажей выглядит так:
x1+2*x2+3*x3 = 30
А оптимизируемая функция равна N = x1*x2 + (x1+x2)*x3
x1 = 30 - 2*x2 - 3*x3
N = 30*x2 - 2*x2*x2 - 3*x2*x3 + 30*x3 - 2*x2*x3 - 3*x3*x3 +x2*x3 =
= 30*x2 - 2*x2*x2 + x3*(30 - 3*x2 - 5*x2 +x2) - 3*x3*x3 =
= (30 - 2*x2)*x2 + x3*(30 - 7*x2) - 3*x3*x3.
Дифференцируем по x3
dN/dx3 = 30 - 7*x2 -6*x3
x3 max = 5 - 7/6*x2
Видно, что при x2>5 x3 зануляется, и общее число башен с 2 и 3 этажами не больше
5-7/6*x2 + 1/6*x2 = 5 - 1/6*x2 <5
В таком случае максимальное значение N = 2*25 < 112.
Следовательно, решение с ненулевым числом трехэтажных башен невыгодно.
Поэтому правильный ответ: N=112, x1=16, x2=7 или x1=14, x2=8, xm=0 при m>2.
Можно, конечно, и честно сделать, подставив x3max вместо x3 и дифференцировав N по x2, но лень.
|