Страниц: 1 ... 3 4 [5]
  Печать  
Автор Тема: Задача, которую решил Фибоначчи  (Прочитано 22923 раз)
0 Пользователей и 1 Гость смотрят эту тему.

дано:

Группа 1:     15, 19, 24
 Группа 2:     11, 30, 36
 Группа 3:     20, 22, 36

требуется - привести к одному результату


Группа 1:     24 / (19 - 15) = 6
 Группа 2:     (30 + 36) / 11 = 6
 Группа 3:     20 + 22 - 36 = 6


вроде всё просто

и так

№1           1   18   26
               19   22   23
               20   45   50



№2          5    14    15
              17    19    34
              29    34    37



№3           2       8      20
                2      20     24
                21    33      44

Smith
Из мудрейших мудрейший
**
Offline Offline

Сообщений: 2949

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 285
-вас поблагодарили: 304


PeAcE


Просмотр профиля
Ответ #60 : Ноябрь 17, 2009, 20:15:08 �

вот, что получилось:
1681/144 = 11.67361111.....
2401/144 = 16.67361111.....

я не понял.. Тормоз а почему не подходит, к примеру
1618/2205 = 0.733786848.....
3823/2205 = 1.733786848.....
или любые другие числа.. в чем фишка Huh?
Записан
nikolai55
Высший разум
****
Offline Offline

Сообщений: 7264

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 132
-вас поблагодарили: 212



Просмотр профиля Email
Ответ #61 : Ноябрь 17, 2009, 20:18:31 �

см. условие

нужны только квадраты
Записан
семеныч
Ум
*****
Offline Offline

Сообщений: 9210

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 2
-вас поблагодарили: 2466



Просмотр профиля Email
Ответ #62 : Сентябрь 29, 2011, 08:50:19 �

интересно с 5 нашли и с 6 нашли

а про 7 - есть решение?
Записан

звездовод-числоблуд
moonlight
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 741

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 19
-вас поблагодарили: 232


Просмотр профиля Email
Ответ #63 : Сентябрь 29, 2011, 15:48:23 �

(337/120)2-7=(113/120)2
(337/120)2+7=(463/120)2
Записан

Зачем откладывать на завтра то, что можно отложить на послезавтра?
семеныч
Ум
*****
Offline Offline

Сообщений: 9210

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 2
-вас поблагодарили: 2466



Просмотр профиля Email
Ответ #64 : Сентябрь 29, 2011, 16:02:06 �

(337/120)2-7=(113/120)2
(337/120)2+7=(463/120)2

 Пиво
спасибо
довольно большие
поэтому и не нашел сам
Записан

звездовод-числоблуд
moonlight
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 741

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 19
-вас поблагодарили: 232


Просмотр профиля Email
Ответ #65 : Сентябрь 30, 2011, 21:04:12 �

(106921/19380)2-13=(80929/19380)2
(106921/19380)2+13=(127729/19380)2
Записан

Зачем откладывать на завтра то, что можно отложить на послезавтра?
семеныч
Ум
*****
Offline Offline

Сообщений: 9210

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 2
-вас поблагодарили: 2466



Просмотр профиля Email
Ответ #66 : Сентябрь 30, 2011, 21:59:29 �

(106921/19380)2-13=(80929/19380)2
(106921/19380)2+13=(127729/19380)2



спасибо большое:beer:

тото я не смог найти Smiley

и фибоначчи не нашел бы??
Последнее редактирование: Сентябрь 30, 2011, 22:06:27 от семеныч Записан

звездовод-числоблуд
moonlight
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 741

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 19
-вас поблагодарили: 232


Просмотр профиля Email
Ответ #67 : Сентябрь 30, 2011, 22:23:02 �

он нашёл.
только никому об этом не сказал. Wink
Записан

Зачем откладывать на завтра то, что можно отложить на послезавтра?
семеныч
Ум
*****
Offline Offline

Сообщений: 9210

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 2
-вас поблагодарили: 2466



Просмотр профиля Email
Ответ #68 : Октябрь 02, 2011, 12:04:31 �

легко нашлась для 15

(17/4)+- 15

занятная задачка Smiley
Записан

звездовод-числоблуд
moonlight
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 741

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 19
-вас поблагодарили: 232


Просмотр профиля Email
Ответ #69 : Октябрь 09, 2011, 09:49:25 �

для того чтобы три числа x,y,z (x<y<z) удовлетворяли условию x2+z2=2y2 достаточно равенств:
x=p2-2pq-q2
y=p2+q2
z=p2+2pq-q2.
p и q-любые взаимно простые p>q.
разности квадратов y2-x2, z2-y2 равны 4pq(p2-q2).
если p и q квадраты, например 32=9 и 12=1 получим p2-q2=80=5*42 - решение для 5.
x=92-2*9*1-12=62
y=92+12=82
z=92+2*9*1-12=98.
на 2 можно сократить, получим 31,41,49.
412-5*122=312
412+5*122=492.

для 15 решение получается если взять p=22 и q=12: 15=(22)2-(12)2.

квадратом может быть не q а p2-q2.
в этом случае p должно быть равным m2+n2 а q m2-n2 или 2mn.
в самом простом случае p будет квадратом(25) если m=4, n=3.
если взять q=42-32=7 получим решение для 7.
x=252-2*25*7-72=226
y=252+72=674
z=252+2*25*7-72=926.
после сокращения на 2 получим 113,337,463.
3372-7*1202=1132
3372+7*1202=4632.


Последнее редактирование: Октябрь 09, 2011, 09:56:32 от moonlight Записан

Зачем откладывать на завтра то, что можно отложить на послезавтра?
oresta
Новенький
*
Offline Offline

Сообщений: 2

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 0
-вас поблагодарили: 0


Просмотр профиля
Ответ #70 : Октябрь 12, 2011, 21:15:53 �

Николай тут мастер  Чтение

 Гуд
6,25
Записан
oresta
Новенький
*
Offline Offline

Сообщений: 2

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 0
-вас поблагодарили: 0


Просмотр профиля
Ответ #71 : Октябрь 12, 2011, 21:16:19 �

6,25
Записан
семеныч
Ум
*****
Offline Offline

Сообщений: 9210

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 2
-вас поблагодарили: 2466



Просмотр профиля Email
Ответ #72 : Март 06, 2015, 23:04:44 �

а проще всего оказалось с 6


(45/18)2-6 =(9/18)2       (45/18)2+6 =(63/18)2
(50/20)2-6 =(10/20)2     (50/20)2+6 =(70/20)2
(55/22)2-6 =(11/22)2     (55/22)2+6 =(77/22)2
(60/24)2-6 =(12/24)2     (60/24)2+6 =(84/24)2
(65/26)2-6 =(13/26)2     (65/26)2+6 =(91/26)2
(70/28)2-6 =(14/28)2     (70/28)2+6 =(98/28)2

Записан

звездовод-числоблуд
fhjngsu
Новенький
*
Offline Offline

Сообщений: 1

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 0
-вас поблагодарили: 0


Просмотр профиля
Ответ #73 : Март 29, 2020, 05:29:14 �

А почему нет решений?

Здесь есть ссылка на книгу «Математическая смекалка». Честно сказать, в там приведённом решении я так и не смог себя заставить разобраться. Там есть также ссылка на "искусственный способ, приведённый в первом издании", но в чём он состоит мне неведомо.

Я решил эту задачу двумя способами. Одним – достаточно давно, именно после почтения «Математической смекалки». А также я видел где-то (теперь не найду где) эту же задачу (без решения), но не только для 5, а для 5 и 6. Кажется, это олимпиадная задача.

До второго способа решения додумался вчера, и стал искать эту задачу в интернете, наткнулся на этот форум, больше нигде не нашёл.

¹²³⁴⁵⁷⁸+<=>±×÷∂∆∏∑−∕∙√∞∫≈≠≡≤≥

Итак, найти число, которое является полным квадратом, и как при увеличении, так и при уменьшении на k остаётся полным квадратом для k = 5, k = 6.

Начало решения общее для обоих способов.

Пусть искомое число – c². Числа, получающиеся при уменьшении и увеличении на k, обозначим u² и v². Т. е.:

u² = c² − k;

v² = c² + k;

k = c² − u² = v² − c²;

c² = (u² + v²)∕2.

Очевидно, без потери общности можем считать, что c > 0, u ≥ 0 и v > 0. Введём новые переменные:

a = (u + v)∕2;

b = (v − u)∕2.

Тогда:

u = a − b;

v = a + b;

u² = a² − 2ab + b²;

v² = a² + 2ab + b²;

c² = a² + b²;

k = 2ab.

Заметим, что выражения v, u², v², c², k через a и b – симметричны относительно a и b. И лишь для u это не так. Однако если поменять местами a и b, то u = a – b превратится в u = b – a. С учётом u ≥ 0 это может быть записано u = |a – b|. В дальнейшем так и будем считать, т. е. наше решение – симметрично относительно a и b.

Далее решение двумя способами отличается.

******************************

I способ

Итак, после того как мы додумались до замены, задача оказалась не очень сложной. Она сводится к пифагоровым тройкам.

Имеем:

c² = a² + b²;

a² = c² − b²;

a² = (c − b)(c + b);

a∕(c − b) = (c + b)∕a;

a∕(c − b) = (c + b)∕a = m∕n;

m и n – целые взаимно простые, n > 0, в нашем случае также очевидно, что m > n.

a∕(c − b) = m∕n;

(c + b)∕a = m∕n.

Значит:

(c − b)∕a = n∕m;

(c + b)∕a = m∕n.

Складывая и вычитая эти равенства получаем:

b∕a = (m² − n²)∕2mn;

c∕a = (m² + n²)∕2mn.

Но тогда:

a = 2mnp;

b = (m² − n²)p;

c = (m² + n²)p;

где p – некое число, в нашем случае рациональное.

Заметим, что, так как m и n – взаимно простые, они либо нечётные, либо чётным является только одно из них. Однако, если они нечётные, то мы можем принять m′ = (m + n)∕2, n′ = (m − n)∕2, p′ = 2p. Далее, приняв m′, n′, p′ за новые m, n, p, мы получим ту же самую тройку a, b, c с переменой мест a и b, при чём новые m и n будут соответствовать требованиям взаимной простоты, но одно из них будет чётным. Таким образом, нечётные m и n можно вообще исключить из рассмотрения.

Теперь имеем:

k = 2ab = 4mn(m + n)(m − n)p²;

откуда:

(1/2p)² = mn(m + n)(m − n)∕k;

т. е. мы должны отбирать только такие m и n, что mn(m + n)(m − n)∕k – полный квадрат.

Таким образом, мы должны найти целые m и n такие, что:

1) m > n > 0;

2) m и n – взаимно простые;

3) одно из m и n – чётное;

4) mn(m + n)(m − n)∕k – полный квадрат.

Поиск m и n, удовлетворяющих первым трём условиям не представляет сложности. Что касается четвёртого условия, можно просто проверять найденные пары чисел на соответствие ему.

Путём подбора находим:

для k = 5: m = 5, n = 4, 5∙4∙(5 + 4)∙(5 − 4)∕5 = 6²;

для k = 6: m = 2, n = 1, 2∙1∙(2 + 1)∙(2 − 1)∕6 = 1².

Итак, получаем:

для k = 5:

m = 5; n = 4; a = 40p; b = 9p;

k = 5 = 2ab = 720p²;

p² = 1∕144; p = 1∕12; a = 40∕12; b = 9∕12; c = 41∕12; u = 31∕12; v = 49∕12;

c² = 1681∕144; – решение!!!

u² = 961∕144; v² = 2401∕144;

1681∕144 − 961∕144 = 2401∕144 − 1681∕144 = 5; – всё правильно!

для k = 6:

m = 2; n = 1; a = 4p; b = 3p;

k = 6 = 2ab = 24p²;

p² = 1∕4; p = 1∕2; a = 4∕2; b = 3∕2; c = 5∕2; u = 1∕2; v = 7∕2;

c² = 25∕4; – решение!!!

u² = 1∕4; v² = 49∕4;

25∕4 − 1∕4 = 49∕4 − 25∕4 = 6; – всё правильно!

******************************

II способ

Этот способ менее универсальный, но кажется легче. И ещё, думается, человек, привычный к устному счёту, мог бы сделать предлагаемые вычисления в уме (как, судя по всему, это делал Фибоначчи).

Итак, необходимо отыскать c, такое, что:

c² = a² + b²;

k = 2ab.

Для k = 5:

2ab = 5;

2a = 5∕b;

введём новую переменную:

2a = 5∕b = r;

a = r∕2;

b = 5∕r;

c² = a² + b² = r²∕4 + 25∕r² = (r⁴ + 100)∕4r².

Так как эта дробь является полным квадратом, и её знаменатель также является полным квадратом, полным квадратом должен быть и её числитель:

r⁴ + 100 = s²;

c² = s²∕4r²;

c = s∕2r;

s² − r⁴ = 100;

(s − r²)(s + r²) = 100.

Введём новые переменные:

p = (s + r²)∕2;

q = (s − r²)∕2.

Тогда:

s = p + q;

r² = p − q;

pq = 25.

Заметим, что нам подойдут только такие p и q, что p − q – полный квадрат.

Умножим первые два равенства на 4:

4s = 4p + 4q;

(2r)² = 4p − 4q;

(4p)(4q) = 400.

Тогда очевидно, что мы можем положить:

4p = 25;

4q = 16;

откуда:

p = 25∕4; q = 16∕4; s = 41∕4; r² = 9∕4; r = 3∕2; a = 3∕4; b = 10∕3; c = 41∕12;

c² = 1681∕144 – решение!!!

u = 31∕12; v = 49∕12; u² = 961∕144; v² = 2401∕144;

1681∕144 − 961∕144 = 2401∕144 − 1681∕144 = 5; – всё правильно!

Для k = 6:

2ab = 6;

ab = 3;

b = 3∕a;

c² = a² + 9∕a² = (a⁴ + 9)∕a².

Так как эта дробь является полным квадратом, и её знаменатель также является полным квадратом, полным квадратом должен быть и её числитель:

a⁴ + 9 = s²;

c² = s²∕a²;

c = s∕a;

s² − a⁴ = 9;

(s − a²)(s + a²) = 9.

Введём новые переменные:

p = (s + a²)∕2;

q = (s − a²)∕2.

Тогда:

s = p + q;

a² = p − q;

pq = 2,25.

Заметим, что нам подойдут только такие p и q, что p − q – полный квадрат.

Умножим первые два равенства на 4:

4s = 4p + 4q;

(2a)² = 4p − 4q;

(4p)(4q) = 36.

Тогда очевидно, что мы можем положить:

4p = 18;

4q = 2;

откуда:

p = 9∕2; q = 1∕2; s = 5; a² = 4; a = 2; b = 3∕2; c = 5∕2;

c² = 25∕4 – решение!!!

u = 1∕2; v = 7∕2; u² = 1∕4; v² = 49∕4;

25∕4 − 1∕4 = 49∕4 − 25∕4 = 6; – всё правильно!

Записан
Страниц: 1 ... 3 4 [5]
  Печать  
 
Перейти в: