Страниц: 1 ... 3 4 [5] 6
  Печать  
Автор Тема: Профессорские пельмени  (Прочитано 26892 раз)
0 Пользователей и 1 Гость смотрят эту тему.

Однажды профессор Гений Мудрейший решил поджарить себе на ужин пельмени. Он достал сковородку, открыл  пачку пельменей и вдруг задумался над вопросом: сколько пельменей он может разместить на сковородке. Измерив размеры сковородки и пельменей, профессор пришел к выводу, что пельмени имеют вид полукруга, диаметр которого в 4 раза меньше диаметра сковородки. Какое наибольшее количество пельменей профессор может разместить на сковородке без перекрытия?
v-lad
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1002

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 530
-вас поблагодарили: 257



Просмотр профиля
Ответ #60 : Сентябрь 29, 2015, 13:49:01 �

Продолжим:

Осуществим поворот фигур #1 и #2 относительно центра О(0;0) на угол равный 40о. Фигура #1 перейдёт в фигуру #3, а #2 перейдёт в #4.

Рис-2:

То, что фигуры #3 и #4 не касаются большой окружности – факт.
Но возникает проблематичная точка между полукругами #2 и #3.
После поворота точки (х;у) на угол α координаты новой точки вычисляются из системы
х’=x*cosα-y*sinα
y’=x*sinα+y*cosα
или в данном случае с точкой О1(3749;0) и углом 40о
хO3=3749*cos(40о)-0*sin(40о)
yO3=3749*sin(40о)+0*cos(40о)
Расстояние между центрами О2 и О3 равно корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат, и оно больше чем 1250+1250.
Фигуры #2 и #3 не имеют общих точек.

del

Осуществив поворот фигур #1 и #2 относительно центра О(0;0) ещё 7 раз на углы равные 80о, 120о, 160о, 200о, 240о, 280о, 320о, разумеется против часовой стрелки, получим фигуры #5-#18.

Рис-3:

Все они будут внутри окружности x2+y2=50002

del

Эти пользователи сказали вам СПАСИБО :

☭-Изделие 20Д

За это сообщение 1 пользователь сказал спасибо!
Последнее редактирование: Октябрь 01, 2015, 15:15:06 от v-lad Записан

SATYAT NASTI PARO DHARMAH
v-lad
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1002

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 530
-вас поблагодарили: 257



Просмотр профиля
Ответ #61 : Сентябрь 29, 2015, 14:04:07 �

На сегодня хватит.
Записан

SATYAT NASTI PARO DHARMAH
☭-Изделие 20Д
Ум
*****
Offline Offline

Сообщений: 7915

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 6291
-вас поблагодарили: 2516


[img] http://s016.radikal.ru/i337/1409/6a/5b2b5c71

614445846
Просмотр профиля Email
Ответ #62 : Сентябрь 29, 2015, 15:08:01 �

 Помощь
Не ну канешна бы здорово было если бы кто-нить предложил универсальную формулу плотного заполнения площади геометрическими фигурами.
Записан

і
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 658

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 337
-вас поблагодарили: 350



Просмотр профиля
Ответ #63 : Сентябрь 29, 2015, 15:17:57 �

Так о чем базар тут?
Насколько понимаю, есть ответ: 24 пельменя.
Вся остальная возня может быть только в том случае, если кто-то знает, как запихнуть от 25 пельменей.
Кто- то знает? Нет?
 

Эти пользователи сказали вам СПАСИБО :

☭-Изделие 20Д, Tmin

За это сообщение 2 пользователи сказали спасибо!
Записан

Freude, schöner Götterfunken,
     Tochter aus Elisium
Tmin
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 291

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 32


Просмотр профиля
Ответ #64 : Сентябрь 29, 2015, 15:48:10 �

Так о чем базар тут?
Насколько понимаю, есть ответ: 24 пельменя.
Вся остальная возня может быть только в том случае, если кто-то знает, как запихнуть от 25 пельменей.
Кто- то знает? Нет?
 
Vlad знает. Да
Последнее редактирование: Октябрь 02, 2015, 19:56:09 от Tmin Записан
☭-Изделие 20Д
Ум
*****
Offline Offline

Сообщений: 7915

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 6291
-вас поблагодарили: 2516


[img] http://s016.radikal.ru/i337/1409/6a/5b2b5c71

614445846
Просмотр профиля Email
Ответ #65 : Сентябрь 29, 2015, 15:49:32 �

Так о чем базар тут?
Насколько понимаю, есть ответ: 24 пельменя.
Вся остальная возня может быть только в том случае, если кто-то знает, как запихнуть от 25 пельменей.
Кто- то знает? Нет?
 
Пока Стена только 22, пока
Кружки понятно Х2


Последнее редактирование: Сентябрь 29, 2015, 15:51:45 от ♔-♪Изделие 20Д Записан

Tmin
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 291

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 32


Просмотр профиля
Ответ #66 : Сентябрь 29, 2015, 15:59:41 �

Vlad, предоставь полное решение размещения максимального количества полукругов без перекрытия в круге диаметра в 4 раза большого. Без CAD и всевозможных допущений: пусть круг имеет такой-то, диаметр, а маленькие круги - такой-то, а центр находится там-то .  Исходя из условий задачи, ясно, четко, подробно. You understand? Играем на вылет из Nazva, чтобы здесь остались настоящие математики. С уважением, Tmin.
Последнее редактирование: Октябрь 02, 2015, 19:57:34 от Tmin Записан
і
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 658

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 337
-вас поблагодарили: 350



Просмотр профиля
Ответ #67 : Сентябрь 29, 2015, 16:13:13 �

То, что 24 разместить можно, тут и мудрить нечего.
Проводим окружность с центром O с диаметром D.
Из той же точки O проводим еще 3 окружности, с диаметрами: 0,75 D, 0,5 D, 0,25 D.
2 пельменя складываем в окружность с диаметром 0,25 D и размещаем центр этой окружности O1 на окружности 0,75D.
К окружности с 0.25 D c центром O1 проводим касательную, перпендикулярную радиусу данной окружности.
У нас образовался прямоугольный треугольник O1 A O.
Находим sin угла O1 O A = 0,125/0,375 = 0,33 = 19,47 градусов
По всей окружности таких пельменей можно разместить: 360/19,47 = 18,48 - 18 целых пельменей.
Остается место для пельменей только в окружности 0,5 D c центром O.
Туда становится 2 целые окружности 0,25 D и 2 половинки.
Итого: 24.

Эти пользователи сказали вам СПАСИБО :

v-lad

За это сообщение 1 пользователь сказал спасибо!
Записан

Freude, schöner Götterfunken,
     Tochter aus Elisium
v-lad
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1002

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 530
-вас поблагодарили: 257



Просмотр профиля
Ответ #68 : Сентябрь 30, 2015, 10:09:27 �

Рассмотрим полукруг #19, образованный окружностью (x-1463)2+(y-589)2=12502 и прямой, проходящей через центр О19(1463;589), угловой коэффициент которой равен tg(75о).

Рис-4:

Если оба расстояния от точки О19 до центров О2, О4 больше чем 1250+1250, то значит фигура #19 не имеет общих точек с фигурами #2 и #4.
Длина отрезка О19О2 равна корню из (3924-1463)2+(134-589)2=6263564; этот корень больше чем 2502. А значит фигуры #19 и #2 не пересекаются.
Для нахождения координат центра О4 снова воспользуемся формулами
х’=x*cosα-y*sinα
y’=x*sinα+y*cosα
хO4=3924*cos(40о)-134*sin(40о)
yO4=3924*sin(40о)+134*cos(40о)
После допустимой аппроксимации координат, находим длину отрезка О19О4, - она чуть больше 2503. Значит между #19 и #4 нет касания.

Произведём поворот фигуры #19 относительно центра О(0;0) на угол равный 3*40о=120о; и ещё один поворот на 6*40о=240о.
Тем самым получим фигуры #20 и #21, которые не соприкасаются с другими.

Рис-5:

Рассмотрим полукруг #22, образованный окружностью (x-322)2+(y-1397)2=12502 и прямой, проходящей через центр О22(322;1397), угловой коэффициент которой равен tg(140о).

Рис-6:

Уже неоднократно испозовавшымися выше указанными формулами (по определению координат точки в результате поворота, и по определению расстояния между точками) вычисляем расстояние между центрами О22 и О6; оно превышает 2501, что больше суммы 2- радиусов 1250+1250. Фигура #22 не соприкасается с другими.

При повороте фигуры #22 относительно центра О(0;0) на угол равный 3*40о=120о; и ещё одном повороте на 6*40о=240о получим фигуры #23 и #24, которые не соприкасаются с другими.

Рис-7:

del

Теперь рассмотрим окружность x2+y2=12602 (её центр в начале координат О(0;0), а радиус R=1260, на Рис-8 она выделена малиновым цветом); а именно расстояние от её центра до фигур #19 и #22

Рис-8:

Если задано уравнение прямой A*x+B*y+C=0, то расстояние от точки M(Mх, Mу) до этой прямой находится по формуле
|A* Mх+B* Mу+C|/sqrt(A2+B2)
(модуль делим на корень)

tg(75о)*x-у+(589-1436*tg(75о))=0– уравнение прямой, проходящей через диаметр фигуры #19.
tg(140о)*x-у+(1397-322*tg(140о))=0– уравнение прямой, проходящей через диаметр фигуры #22.

Подставив данные, получим расстояния 1260,71 и 1277,14.
Окружность радиусом 1260 не касается ни одной из фигур #19-#24.
И внутри неё можно без проблем поместить два полукруга радиусом 1250, которые не соприкасаются ни с ней, ни друг с другом.
Подойдут те, что указаны на Рис-8:
 #25:{x2+(y-1)2<=12502
        {y>=1

#26:{x2+(y+1)2<=12502
        {y<=-1




По-сути это всё, вот

Рис-9:

Пиво

Эти пользователи сказали вам СПАСИБО :

і, GOMER2, Бляхамуха

За это сообщение 3 пользователи сказали спасибо!
Последнее редактирование: Октябрь 01, 2015, 15:13:57 от v-lad Записан

SATYAT NASTI PARO DHARMAH
і
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 658

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 337
-вас поблагодарили: 350



Просмотр профиля
Ответ #69 : Сентябрь 30, 2015, 10:13:55 �

Ну, ты психанул, Владко:)
Гарна картинка:)
Записан

Freude, schöner Götterfunken,
     Tochter aus Elisium
і
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 658

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 337
-вас поблагодарили: 350



Просмотр профиля
Ответ #70 : Сентябрь 30, 2015, 10:18:52 �

Хорошо, как доказать, что 26 - максимум?


Последнее редактирование: Сентябрь 30, 2015, 10:28:10 от і Записан

Freude, schöner Götterfunken,
     Tochter aus Elisium
v-lad
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1002

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 530
-вас поблагодарили: 257



Просмотр профиля
Ответ #71 : Сентябрь 30, 2015, 10:24:18 �

Vlad, предоставь полное решение размещения максимального количества полукругов без перекрытия в круге диаметра в 4 раза большого.
...
Исходя из условий задачи, ясно, четко, подробно. You understand?

 Shocked

а мои посты #59 и #60 по-твоему что значат?
плюс только-что #68!

Ты точно с меня прикалываешься!

А я бью горохом об стену твоей упёртости!


Цитировать
Играем на вылет из Nazva

 Shocked  Shocked  Shocked
 Roll Eyes

Не принимаю.

Не хочу чтобы ты ушла.
Честно!

И сам никуда не собираюсь!
Записан

SATYAT NASTI PARO DHARMAH
v-lad
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1002

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 530
-вас поблагодарили: 257



Просмотр профиля
Ответ #72 : Сентябрь 30, 2015, 10:25:58 �

Тмин, Влад тебе, да и другим форумчанам,
по возможности детально,
по шагово,
языком 9-классника,
описАл процесс построения 26-ти полукругов,
которые не касаются друг друга,
и не касаются большой окружности.

Не смотря на частный случай с радиусами 5000 и 5000/4, если тебе знакомо понятие гомотетии, то можешь использовать любую сковородку; только чтоб радиус пельмешек был в 4 раза меньше.

Прекрасно понимаю, что это не строгое доказательство, но мы ведь не теорему Ферма доказываем.

del

Неужели ты и вправду считаешь соросовкие решения, которые у тебя есть, как единственно верные неприкасаемые догматы, которые ни в коем случае нельзя опровергать?
Последнее редактирование: Октябрь 01, 2015, 15:12:37 от v-lad Записан

SATYAT NASTI PARO DHARMAH
v-lad
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1002

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 530
-вас поблагодарили: 257



Просмотр профиля
Ответ #73 : Сентябрь 30, 2015, 10:37:08 �

...
По всей окружности таких пельменей можно разместить: 360/19,47 = 18,48 - 18 целых пельменей.
Остается место для пельменей только в окружности 0,5 D c центром O.
...

Красивое решение,
простое и понятное,
не то что моё.

И на чертёже всё предельно ясно.

Но ты надеюсь понимаешь, то если первые два полукруга разместить не так как у тебя (где диаметр, разрезающий их, находится на оси Ох), а так как у меня на Рисунке-1,
то тем самым, после разложения первых 18-ти полукругов, внутри останется не "0,5 D c центром O", а больше чем 0,5. Это даст возможность без касаний впихнуть 6 штук не считая 2-х центральных.
Согласен?
Записан

SATYAT NASTI PARO DHARMAH
і
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 658

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 337
-вас поблагодарили: 350



Просмотр профиля
Ответ #74 : Сентябрь 30, 2015, 10:40:44 �

...
По всей окружности таких пельменей можно разместить: 360/19,47 = 18,48 - 18 целых пельменей.
Остается место для пельменей только в окружности 0,5 D c центром O.
...

Красивое решение,
простое и понятное,
не то что моё.

И на чертёже всё предельно ясно.

Но ты надеюсь понимаешь, то если первые два полукруга разместить не так как у тебя (где диаметр, разрезающий их, находится на оси Ох), а так как у меня на Рисунке-1,
то тем самым, после разложения первых 18-ти полукругов, внутри останется не "0,5 D c центром O", а больше чем 0,5. Это даст возможность без касаний впихнуть 6 штук не считая 2-х центральных.
Согласен?

Понимаю, Владко:)
И интуитивно чувствовал, что можно впихнуть больше, если покрутить пельмени.
Но не уверен, что предложенная тобой форма размещения дает максимальный результат.
Нужно искать строгое доказательство...
Записан

Freude, schöner Götterfunken,
     Tochter aus Elisium
Страниц: 1 ... 3 4 [5] 6
  Печать  
 
Перейти в: