fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #4 : Март 17, 2016, 23:11:29 � |
|
2)Найти наибольшее и наименьшее значение функции: z=x^3+y^3-3xy D:x=0,x=2,y=-1,y=2
1. Найдем частные производные.
∂z --- = 3x2 - 3y ∂x
∂z --- = -3x + 3y2 ∂y
2. Решим систему уравнений.
3x2 - 3y = 0 -3x + 3y2 = 0
Получим: а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x1 = -√y 3√y + 3y2 = 0
x2 = √y -3√y + 3y2 = 0
Откуда y1 = 0; y2 = 1; y3 = 0; y4 = 1
Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x1 = 0; x2 = -1; x3 = 0; x4 = 1 б) Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение:
y1 = -√x 3√x + 3x2 = 0
y2 = √x -3√x + 3x2 = 0
Откуда x1 = 0; x2 = 1; x3 = 0; x4 = 1
Данные значения x подставляем в выражение для y. Получаем: y1 = 0; y2 = -1; y3 = 0; y4 = 1 Количество критических точек равно 2. M1(0;0), M2(1;1)
3. Найдем частные производные второго порядка.
∂2z ------ = -3 ∂x∂y
∂2z ------ = 6x ∂x2
∂2z ------ = 6y ∂y2
4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(0;0)
∂2z A = ------ = 0 ∂x2(0;0)
∂2z C = ------ = 0 ∂y2(0;0)
∂2z B = ------ = -3 ∂x∂y(0;0)
AC - B2 = -9 < 0, то глобального экстремума нет.
Вычисляем значения для точки M2(1;1)
∂2z A = ------ = 6 ∂x2(1;1)
∂2z C = ------ = 6 ∂y2(1;1)
∂2z B = ------ = -3 ∂x∂y(1;1)
AC - B2 = 27 > 0 и A > 0 , то в точке M2(1;1) имеется минимум z(1;1) = -1
5. Исследуем функцию на границе области D.
x=0 и заданная функция становится функцией одного аргумента y: z(0,y) = y3
Найдём стационарные точки функции: z'y(0,y) = 3y2; z'y(0,y) = 0 при y = 0. Точка M1(0;0) принадлежит D.
x=2 и заданная функция становится функцией одного аргумента y: z(2,y) = y3 - 6y + 8
Найдём стационарные точки функции: z'y(2,y) = 3y2 - 6; z'y(2,y) = 0 при y = ±√2. Точка M3(2;√2) принадлежит D. Точка M4(2;-√2) не принадлежит D.
y=-1 и заданная функция становится функцией одного аргумента x: z(x,-1) = x3 + 3x - 1
Найдём стационарные точки функции: z'x(x,-1) = 3x2 + 3; z'x(x,-1) > 0 при любых x.
y=2 и заданная функция становится функцией одного аргумента x: z(x,2) = x3 - 6x + 8
Найдём стационарные точки функции: z'x(x,2) = 3x2 - 6; z'x(x,2) = 0 при x = ±√2. Точка M5(√2;2) принадлежит D. Точка M6(-√2;2) не принадлежит D.
6. Вычислим значения функции в точках M1, M2, M3, M5.
z(M1) = z(0;0) = 0 z(M2) = z(1;1) = -1 z(M3) = z(2;√2) = 8 - 4√2 z(M5) = z(√2;2) = 8 - 4√2
Сравнивая найденные значения функции, делаем вывод, что в заданной области наименьшее значение функции z(x,y) = -1, наибольшее значение z(x,y) = 8 - 4√2.
|