Шахматный турнир

[Илья]

Среди участников шахматного турнира юношей было в 7 раз больше, чем девушек, и они вместе набрали в 3 раза больше очков, чем все девушки. Сколько девушек участвовали в турнире? (Турнир проводился по круговой системе: каждый играл с каждым по две партии — одну белыми, а другую чёрными; за выигрыш партии участник получал одно очко, за ничью — 1/2 очка, за проигрыш — 0.)

[Redirect]

3

[mckoy]

можете предоставить решение?

[possward]

Ответ: 1 девушка и она выиграла турнир.

Пусть x - количество девушек, тогда 7x - количество юношей, всего 8x участников.
Пусть y - очки, набранные девушками, 3y - очки, набранные юношами, всего 4y очков.
Для справки: если число игроков в круговом турнире n, то число игр рассчитывается по формуле n(n-1)/2.
В нашем случае это значение нужно умножить на 2, так как каждый с каждым играют по 2 раза.
То есть всего игр будет сыграно 8x(8x-1).
Так как после каждой игры, независимо от того кто выиграл, в общую копилку прибавляется 1 очко, общее количество очков за турнир будет равно количеству игр, то есть 4y = 8x(8x-1). Откуда y=2x(8x-1) {уравнение 1}.
Казалось бы, решений бесконечное множество, но помним, что девушки играют между собой. Каждая девушка может набрать максимум 2(8x-1) очков. Всего девушек x, поэтому вместе они могут набрать максимум 2x(8x-1) - x(x-1)/2, где x(x-1) - количество игр между девушками. То есть появляется условие y <= 2x(8x-1) - x(x-1)/2.
Подставляем в последнее неравенство значение y из уравнения 1, сокращаем и получаем:
x(x-1) <= 0
Это неравенство выполняется только при x = 1. Вспоминаем, что x - это искомое количество девушек.

[Илья]

possward , верно