Страниц: 1 [2]
  Печать  
Автор Тема: Колоквіум (розгадано)  (Прочитано 6046 раз)
0 Пользователей и 1 Гость смотрят эту тему.

Візуальна головоломка від Новака «Літак невидимка» (поточний статус: "розгадана", розгадав (при підтримці Um_nikа) MagTux)

Нащадки з двадцять першого століття Едмунда Уінгейта та Уільяма Отреда змайстрували бумеранг з того, що винайшли їх башковиті предки і жбурнули його в небо, збивши при цьому винищувача, літака невидимку. Яку математичну істину містив у собі бортовий самописець – чорний ящик, якщо в написанні використовувався шрифт Times New Roman?

//текст доступен после регистрации//
Новак
Гость
Ответ #15 : Сентябрь 07, 2010, 08:20:02 �

Задача від/от Новака

Лектор, переглядаючи результати колоквіуму, помітив, що матриця з 25-ти оцінок, які він виставив студентам в п’ятибальній системі, вироджена при будь-якій перестановці оцінок в матриці. Це йому не сподобалось. Які ж оцінки отримали студенти, якщо викладач двом студентам (кожному з них) підвищив оцінку на один бал і отримав матрицю, визначник якої рівний 52 ?

Лектор, просматривая результаты коллоквиума, заметил, что матрица из 25-ти оценок, которые он поставил студентам в пятибалльной системе, вырожденная при любой перестановке оценок в матрице. Это ему не понравилось. Какие же оценки получили студенты, если преподаватель двоим студентам (каждому из них) повысил оценку на один балл и получил матрицу, определитель которой равен 52 ?


я ума не приложу как до этого дойти путём логических или математических выводов. Щас подумаю ещё.
Дійсно, вибач MagTux. Я трішки напартачив з умовою задачі. Насправді викладач засмутивсь ось через що: як він не старався, із оцінок, виставлених ним за колоквіум, неможна було скласти невироджену матрицю з визначником відмінним від нуля, тому він підвищив оцінки на бал двом студентам, хоча  для отримання невиродженої матриці достатньо було це зробити лише одному з них, тоді визначник був би рівний 12.

Ой...

Действительно, извини MagTux. Я немного напортачил с условием. На самом деле преподаватель расстроился вот почему: как он не пытался, из оценок, выставленных им за коллоквиум, невозможно было составить невырожденную матрицу с определителем отличным от нуля. Поэтому он повысил на балл оценки двоим студентам, хотя для получения невырожденной матрицы достаточно было это сделать лишь для одного из них, тогда б определитель был бы равен 12.

P.S. 5-ти бал. система: 1, 2, 3, 4, 5
Последнее редактирование: Сентябрь 07, 2010, 09:19:03 от Новак Записан
Новак
Гость
Ответ #16 : Сентябрь 09, 2010, 16:27:57 �

Если рассмотреть случай с квадратной матрицей 3*3. То для того, чтобы при любой перестановке в ней элементов определитель ровнялся нолю, необходимо чтоб строки или столбцы были линейно зависимы, а это возможно при наличии всех одинаковых элементов в матрице, либо при одном отличном от остальных одинаковых.

       х х х
А =  х х х , det(A) = 0
       х х х

       y х х
А =  х х х , (x<>y), det(A) = 0
       х х х
(куда не ткни "у" в А, получишь два линейно зависимых столбца и две л.з. строки)


Но уже для двух отличных от остальных одинаковых элементов найдутся варианты перестановки, при которых определитель будет отличным от нуля, например:

       у х х
А =  х у х , (x<>y), det(A) <> 0
       х х х

Последнее редактирование: Сентябрь 09, 2010, 16:31:59 от Новак Записан
MagTux
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1415

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 46
-вас поблагодарили: 99


Реинкарнация Будды


Просмотр профиля
Ответ #17 : Сентябрь 09, 2010, 16:56:33 �

Это всё понятно. В матрице 3 элемента отличных от других 22-х, которые равны между собой. Причём сами эти три элемента могут быть различны. Но дальше что делать, неясно.
Записан

Существует два правила на пути к успеху:
1. Не говори никому всего, что ты знаешь.
Новак
Гость
Ответ #18 : Сентябрь 10, 2010, 12:19:22 �

Это всё понятно. В матрице 3 элемента отличных от других 22-х, которые равны между собой. Причём сами эти три элемента могут быть различны. Но дальше что делать, неясно.

Исходя из условия, получается, например, такая матрица:

x+1 x     x   x   x
x     x+1 x   x   x
x     x     y1 x   x
x     x     x   y2 x
x     x     x   x   y3

, где х є{1, 2, 3, 4}; a y1, y2, y3 є{1,2,3,4,5} и любые два из них <> х .

Интересно, что в любых других невырожденных размещениях элементов х+1, y1, y2, y3 в матрице А, определитель будет одним и тем же, отличаясь только знаком, что не скажешь о перестановка элементов х+1, х+1, y1, y2, y3. Это можно увидеть, если невырожденную матрицу А привести к верхнему треугольному виду, определитель которой будет равен произведению диагональных элементов:

x+1 x          x          x              x
0     x+1-а   x-а       x-а           x-а
0     0          y1-а-b  x-a-b        x-a-b
0     0           0          y2-a-b-c  x-a-b-c
0     0           0          0              y3-a-b-c-d

, где
a = sqr(x)/(x+1)
b = sqr(x-a)/(x+1-a)
c = sqr(x-a-b)/(y1-a-b)
d = sqr(x-a-b-c)/(y2-a-b-c)

det(A) = (x+1)*( x+1-а)*( y1-а-b) *( y2-a-b-c)*( y3-a-b-c-d)

Если подставить в эту формулу a, b, c, d, будет много сокращений…

//текст доступен после регистрации//

Сразу оговорюсь, вариантов правильного ответа будет несколько. Можете на правах лектора выбрать один из них, который захотите.
Последнее редактирование: Сентябрь 13, 2010, 09:54:05 от Новак Записан
Новак
Гость
Ответ #19 : Сентябрь 13, 2010, 09:54:42 �

У меня получилось вот такое:

//текст доступен после регистрации//

Может, кто-то захочет побыть клёвым преподом и найдет подобное для х=4, пожалуйста. Студенты будут на седьмом небе от счастья!
Записан
Страниц: 1 [2]
  Печать  
 
Перейти в: