Двухминутка стереометрии.

[Sirion]

Эта задача пришла мне в голову, пока я размышлял над целочисленным аналогом теоремы Хелли.

Даны выпуклый многогранник и точка О внутри него. Случайным образом выбираются две вершины многогранника. Докажите, что мы можем так выбрать ещё две вершины, чтобы образованный этими четыремя вершинами тетраэдр содержал точку О (возможно, в качестве граничной).

[moonlight]

а если взять куб и две вершины одного ребра. в этом случае окажется много точек которые ни в какой тетраэдр не попадут.

[Sirion]

Ня. Хотел проверить, заметит кто-нибудь или нет =)

Корректная формулировка задачи:
Даны выпуклый многогранник и точка О внутри него. Случайным образом выбирается одна вершина многогранника. Докажите, что мы можем так выбрать ещё три вершины, чтобы образованный этими четыремя вершинами тетраэдр содержал точку О (возможно, в качестве граничной).

[Um_nik]

А четырехугольник можно считать частным случаем тетраэдра?

[moonlight]

ну в в такой формулировке решение очувидно. из вершины проводим прямую через О. эта прямая пересечет некоторую грань. на этой грани найдутся три вершины такие что треугольник образованный ими содержит эту проекцию (может быть в качестве граничной точки). вот их и выбираем.

[Sirion]

Ня, именно так. В данном случае на сложность я и не претендовал)

[abstracted]

Господи! Напугали ж вы меня, мы только закончили дифференцирование и начали раздел стереометрии, что-то как-то страшновато...