Матрицы-шматрицы.

[Sirion]

Есть одна закономерность, которую я подметил достаточно давно, но так и не сумел обосновать.

Возьмём натуральные N>=3, k и d<=k. Будем циклически заполнять матрицу NxN числами от 1 до k в порядке обхода двумерного массива, причём начнём с числа d. Получившееся нечто обзовём A(N,k,d).

Например, A(4,5,2) - это

/2 3 4 5\
|1 2 3 4|
|5 1 2 3|
\4 5 1 2/

Требуется доказать (или, что менее вероятно, опровергнуть) следующее утверждение: для всяких N,k,d, удовлетворяющих указанным условиям, det(A(N,k,d)) делится на  k^(N-2).

[zhekas]

На примере A(4,7,1)

| 1 2 3 4|
| 5 6 7 1|
| 2 3 4 5|
| 6 7 1 2|

Вычтем из i-ой строки i-1-ую строку. При этом определительль не изменится


    | 1 2 3 4|
    | 4 4 4-3|
A=|-3-3-3 4|
    | 4 4-3-3|

получили N-1 строку состоящую либо из какого-то числа m=4 либо из равного по модулю k=7 отрицательного числа m-k=-3

Следующий этап. Работаем со второй строкой

( 4 4 4 -3) = (7 7 7 0) - (3 3 3 3)

поэтому определитель разобьётся на два определителя

| 1 2 3 4|    | 1 2 3 4|      | 1 2 3 4|
| 4 4 4-3|    | 7 7 7 0|      | 3 3 3 3|
|-3-3-3 4| = |-3-3-3 4|  -   |-3-3-3 4|
| 4 4-3-3|    | 4 4-3-3|      | 4 4-3-3|


Берём первую матрицу
| 1 2 3 4|    | 1 2 3 4|      | 1 2 3 4|
| 7 7 7 0|    | 7 7 7 0|      | 7 7 7 0|
|-3-3-3 4| = | 0 0 0 7|  -   | 3 3 3 3|
| 4 4-3-3|    | 4 4-3-3|      | 4 4-3-3|

Далее

| 1 2 3 4|    | 1 2 3 4|      | 1 2 3 4|
| 7 7 7 0|    | 7 7 7 0|      | 7 7 7 0|
| 0 0 0 7| = | 0 0 0 7|  -   | 0 0 0 7|
| 4 4-3-3|    | 7 7 0 0|      | 3 3 3 3|


В итоге получили:

определитель матрицы A равен сумме определителей
1) матрицы у которой нижние N-1 строки состоят из нулей и семёрок(k). Её определитель крате k^{N-1}
2) матриц у которых на i-ая строка равна (3 3 3 3)  (  (m-k m-k m-k  .... m-k)   ), строки между первой и i-ой состоят из нулей и семёрок(k), а строки ниже идентичны строкам матрицы A

Рассмотрим матрицы из второй группы на примере

| 1 2 3 4|    | 1 2 3 4|      | 1 2 3 4|
| 3 3 3 3|    | 3 3 3 3|      | 3 3 3 3|
|-3-3-3 4| = | 0 0 0 7|  -   | 3 3 3 3|
| 4 4-3-3|    | 4 4-3-3|      | 4 4-3-3|

второй определитель равен 0 (так как у неё 2 одинаковых строки)

| 1 2 3 4|    | 1 2 3 4|      | 1 2 3 4|
| 3 3 3 3|    | 3 3 3 3|      | 3 3 3 3|
| 0 0 0 7| = | 0 0 0 7|  -   |-3-3-3 4|
| 4 4-3-3|    | 7 7 0 0|      | 3 3 3 3|

опять же второй определитель равен 0

таким образом мы привели матрицы из второго типа к матрицам, у которых i-я строка состоит из троек (m-k), а N-2 строки (все кроме i-ой и первой) состоят из 7 (k) и нулей. Следовательно их определители кратны k^{N-2}

[Sirion]

Я бурно эякулировал весьма удовлетворён. Официально заявляю, что это действительно форум умных людей.

[Um_nik]

Не, это форум нескольких умных людей и так)))

[Sirion]

И тем не менее. Я поковырял эту задачу несколько часов, потом подумал, что, наверное, для её решения требуются какие-нибудь продвинутые алгебраические знания и забил. Оказывается, рано забил. Я удивлён.