Если a ≤ 0,4, то искомый раствор получается во втором сосуде после переливания из первого сосуда во второй 1,5a л обычной воды.
Пусть 0,4 < a < 2/3. Перельём 1 – a л воды из первого сосуда во второй и будем последовательно делать такие двойные переливания: из второго сосуда в первый до краев, а затем из первого во второй до краев. Если перед таким двойным переливанием во втором сосуде содержится x л святой воды и 1 – x л обычной воды, а в первом сосуде, соответственно, a – x л святой воды и x л обычной воды, то после первого переливания в первом сосуде станет a – x + (1 – a)x = a – ax л святой воды (и он будет полный), а во втором останется ax л святой воды. После второго переливания второй сосуд наполнится доверху, и святой воды в нем станет
ax + (1 – a)(a – ax) = a
2x+ a – a
2 л.
Таким образом, количество a
n святой воды во втором сосуде после n-го двойного переливания выражается рекуррентно: a
n = a
2a
n–1 + a – a
2, a
0 = a.
Из рисунка, выражающего динамику a
n, видно, что числа a
n монотонно убывают к абсциссе a/(1+a) пересечения прямых y = a
2x + a – a
2 и y = x.
Поскольку a < 2/3, имеем a/(1+a) < 0,4, и найдётся такое k, что a
k ≤ 0,4 < a
k–1. Тогда, прерывая второе переливание в k-м двойном переливании в нужный момент, мы получим искомый 40-процентный раствор во втором сосуде (возможно, неполном).
Пусть теперь 2/3 < a < 1. Будем последовательно делать такие двойные переливания: из первого сосуда во второй до краев, а затем из второго в первый до краев. Аналогично предыдущему показывается, что количество b
n святой воды в первом сосуде после n-го такого двойного переливания выражается рекуррентно:
b
n = a
2b
n-1 + a – a
2, b
0 = 0.
Из рисунка видно, что числа b
n монотонно возрастают к той же абсциссе a/(1+a) пересечения прямых y = a
2x + a – a
2 и y = x. Поскольку a > 2/3, имеем a/(1+a) > 0,4, и найдётся такое k, что b
k–1 < 0,4 ≤ b
k. Тогда, прерывая второе переливание в k-м двойном переливании в нужный момент, мы получим искомый 40-процентный раствор святой воды в первом сосуде (возможно, неполном).
Наконец, покажем, что при a = 2/3 требуемый раствор нельзя получить ни в одном из сосудов. Предположим противное: такой раствор получился в результате каких-то переливаний в одном из сосудов – скажем, в первом, – впервые. Тогда во втором сосуде раствор не 40-процентный, так как при последнем переливании (из второго сосуда в первый) процентное содержание святой воды во втором сосуде не менялось. Но если в первом сосуде получилось
x л 40-процентного раствора святой воды, то есть 0,4x л святой и 0,6x л обычной воды, то во втором сосуде святой воды 2/3 – 0,4x л, а обычной воды 1 – 0,6x л, то есть в нём тоже
40-процентный раствор святой воды. Противоречие.
