Страниц: 1 [2] 3 4
  Печать  
Автор Тема: Ломка  (Прочитано 23215 раз)
0 Пользователей и 1 Гость смотрят эту тему.

Сидел однажды Вася у себя на кухне и от нечего делать спички ломал. Поломал, поломал и задумался - чему равна вероятность того, что по крайней мере одна спичка будет переломана точно посередине? Запас спичек у Васи неограничен.


Michael
Гость
Ответ #15 : Январь 23, 2013, 01:04:06 �

Как ни странно, получается Показать скрытый текст Shocked

Насчёт "получается 1"  погорячился, был неправ. Можете кидать в меня помидорами.
Я рассуждал так :
Цитировать
вероятность того что у всех спичек разлом отстоит от середины дальше чем 1/10 равна 0
(потому что (1-2/10)*(1-2/10)* ... стремится к 0),
вероятность того что у всех спичек разлом отстоит от середины дальше чем 1/100 равна 0,
(потому что (1-2/100)*(1-2/100)* ... стремится к 0)
...
и так для любого е=1/1000, 1/100000... -->0
значит, (я думал) вероятность того, что у всех  спичек разлом НЕ СОВПАДАЕТ с серединой равна 0.
значит вероятность того, что хотя бы у одной  спички разлом  СОВПАДАЕТ с серединой равна 1-0=1.
Но это неправильно. Если брать разные расстояния от разлома до середины, 
у 1-й спички - е1, у второй спички - е2, ... и т.д. можно подобрать е1,е2,е3 так что бесконечное произведение (1-2е1)*(1-2е2)*... будет сколь угодно близко к 1.
То что и доказал Сирион в своём посте. Я видел его доказательство, но с первого захода до меня не дошло.
Последнее редактирование: Январь 23, 2013, 03:01:46 от Michael Записан
Sirion
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1095

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 278



Просмотр профиля Email
Ответ #16 : Январь 23, 2013, 06:32:03 �

Мне кажется, что это доказательство не совсем корректно, ведь очевидно, что гипотеза о равномерном распределении места излома не верна. Очевидно, что чем ближе мы к концам тем сложнее сломать спичку (попробуйте отломать кусок длиной 1 мм). Скорее всего место излома имеет треугольное распределение с мат. ожиданием равным координате середины спички.
Не проблема. Вместо отрезков длины ec/2n будем закрашивать отрезки меры ec/2n.

Michael, пардоньте, что именно я доказал в своём посте?

Эти пользователи сказали вам СПАСИБО :

BIVES

За это сообщение 1 пользователь сказал спасибо!
Записан

sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+
+irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+
+iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
fortpost
Высший разум
****
Offline Offline

Сообщений: 6853

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261



Просмотр профиля
Ответ #17 : Январь 23, 2013, 09:14:57 �

... очевидно, что гипотеза о равномерном распределении места излома не верна. Очевидно, что чем ближе мы к концам тем сложнее сломать спичку (попробуйте отломать кусок длиной 1 мм). Скорее всего место излома имеет треугольное распределение с мат. ожиданием равным координате середины спички. Впрочем все равно такое распределение непрерывно,  а значит, вероятность сломаться посредине равна 0. Но это все с точки зрения математики.

С точки зрения физики любая спичка состоит из конечного числа молекул и излом может произойти только между молекулами. Так как у нас спичек бесконечно много, то среди них будет бесконечно много спичек с четным количеством молекул, а следовательно вероятность сломаться пополам для таких спичек положительна. Поэтому вероятность, что какая-то спичка сломается пополам равна 1.  Возможно это имел ввиду автор задачи?
Автор имел в виду, что некоторый отрезок случайным образом делится на две части, и требуется найти вероятность того, что эти части равны. Т.е. имеет место чистая математика и никакие физические ограничения не учитываются.
Записан

Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
fortpost
Высший разум
****
Offline Offline

Сообщений: 6853

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261



Просмотр профиля
Ответ #18 : Январь 23, 2013, 09:19:02 �

Хм... Undecided Умнейшие люди тут утверждают, что вероятность искомого события равна нулю. Huh?
Может стоит в таком случае выложить авторское решение, дабы поискать в нем ошибку?
Записан

Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
Вилли ☂
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1572

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722





Просмотр профиля
Ответ #19 : Январь 23, 2013, 09:44:23 �

фстудию!
Записан
fortpost
Высший разум
****
Offline Offline

Сообщений: 6853

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261



Просмотр профиля
Ответ #20 : Январь 23, 2013, 10:33:11 �

Разделим каждую спичку на (n + 1) частей (число n будем считать нечетным) и предположим, что спички могут ломаться только в точках деления, причем в каждой нз точек с одинаковой легкостью. Вероятность сломать спичку в одной точке равна (n — 1)/n, вероятность сломать спичку в n точках равна [(n — 1)/n]n=(1—1/n)n. Следовательно, вероятность того, что ни одна спичка не сломана посередине, равна lim (1 — 1/n)n, и, таким образом, ответ задачи надлежит формулировать так: искомая вероятность (того, что по крайней мере одна спичка переломана
точно посередине) равна 1 - lim (1 — 1/n) n.
                                              n→∞
Но lim (1 — 1/n) n = 1/е, и мы получаем численное значение искомой вероятности:
     n→∞
1 - 1/e = 0,6321207...
     
Последнее редактирование: Январь 23, 2013, 10:39:43 от fortpost Записан

Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
Вилли ☂
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1572

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722





Просмотр профиля
Ответ #21 : Январь 23, 2013, 11:05:52 �

Разделим каждую спичку на (n + 1) частей (число n будем считать нечетным) и предположим, что спички могут ломаться только в точках деления, ..
Ошибка. Я понимаю n здесь натуральное  Cheesy
Это всего-лишь миииизерная часть всех возможных изломов. Которых на порядок больше.

Даже можно утверждать, что разлом не попадет на выбранные вами точки с вероятностью 100% (см. ту же ссылку. "попасть в рациональное число вероятность 0")
Последнее редактирование: Январь 23, 2013, 11:12:45 от Вилли ☂ Записан
fortpost
Высший разум
****
Offline Offline

Сообщений: 6853

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261



Просмотр профиля
Ответ #22 : Январь 23, 2013, 11:34:39 �

Разделим каждую спичку на (n + 1) частей (число n будем считать нечетным) и предположим, что спички могут ломаться только в точках деления, ..
Ошибка. Я понимаю n здесь натуральное  Cheesy
Это всего-лишь миииизерная часть всех возможных изломов. Которых на порядок больше.

Даже можно утверждать, что разлом не попадет на выбранные вами точки с вероятностью 100% (см. ту же ссылку. "попасть в рациональное число вероятность 0")

Дык ведь n - это количество точек разлома, а не их координаты. А координаты оных точек могут быть рациональными, иррациональными, трансцендентными и даже где-то чуточку комплексными (Laugh).
Записан

Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
Sirion
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1095

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 278



Просмотр профиля Email
Ответ #23 : Январь 23, 2013, 11:38:35 �

Что-то я, м... ни хрена не понял ^^

Вероятность сломать спичку в одной точке равна (n — 1)/n, вероятность сломать спичку в n точках равна [(n — 1)/n]n=(1—1/n)n.

Это о чём вообще? Вероятность сломать конкретную спичку в конкретной точке, на секундочку,  равна 1/n, а (n — 1)/n - это вероятность НЕ сломать спичку в этой точке. Что такое "сломать спичку в n точках" - я понятия не имею в контексте данной задачи. Вот это число - (1—1/n)n. - это вероятность того, что из эн спичек ни одна не сломается в выбранной точке.

Судя по всему, автор очень косноязычно пытался сказать следующее: вероятность того, что среди эн спичек, ломаемых по эн точкам, ни одна не будет сломана пополам, равняется (1—1/n)n. Тогда устремим эн к бесконечности и получим 1/e.

Неподготовленному человеку может быть сложно это понять, но вычисляемый предел не имеет отношения к поставленной задаче. Чтобы пояснить это, приведу два соображения. Первое: перейдём к пределу немного по-другому. Пусть мы будем делить спички на n+1 частей, но при этом брать 2n спичек. Вероятность, что ни одна не будет разломлена посередине, равна (1—1/n)2n. В пределе это даст 1/e2 - значительно меньше, чем в предыдущем случае. Аналогично мы можем получить ответ 1/e3, или 1/e100500, или (немного извратившись) вообще какой угодно. Это как бы намекает нам, что использованный метод решения, гм... не валиден.

Второе соображение: давайте подумаем, к чему конкретно мы переходим в пределе. Сначала мы берём одну спичку, на которой отмечена одна точка. Потом три, на которых отмечено три точки. В пределе - бесконечное количество спичек, на которых отмечено бесконечное (а точнее - счётное) число точек, так? Тут у человека, знакомого с матаном, мгновенно возникает два подсоображения.

Подсоображене 2.1: счётное число точек на отрезке - это ещё не весь отрезок! То есть задача, полученная в пределе, не равносильна исходной. В исходной задаче перелом может прийтись на любую точку спички, а в этом предельном случае - лишь на счётное подмножество.

Подсоображение 2.2: а скажите мне, чему равна вероятность выбрать одну точку из бесконечного количества? Я спрашиваю не для того, чтобы развести очередной холивар на тему "невозможные события случаются". Я намекаю на то, что когда речь заходит о бесконечности, мы используем уже совсем другое определение вероятности. Пока мы выбираем из эн точек - это дискретная вероятность. Элементарное событие в ней - выбор некоторой точки, вероятность этого события - 1/n. А выбор точки на отрезке - это геометрическая теория вероятности. Элементарное событие в ней - попадание точки в определённый интервал, его вероятность равна длине этого интервала. Так о каком предельном переходе мы можем говорить, если у нас даже вероятностные пространства разные?

Эти пользователи сказали вам СПАСИБО :

fortpost

За это сообщение 1 пользователь сказал спасибо!
Последнее редактирование: Январь 23, 2013, 11:41:28 от Sirion Записан

sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+
+irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+
+iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
BIVES
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 687

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 53
-вас поблагодарили: 272


Просмотр профиля
Ответ #24 : Январь 23, 2013, 11:57:30 �

В авторском решении таинственным образом количество частей на которые мы можем сломать спичку зависит от количества спичек которые мы сломали. Т.е. если у Васи 3 спички, то по авторскому решению он сломает хотя бы одну посередине с вероятностью 8/27.

Это что-то типа вероятность любого события 1/2 так как оно или происходит или нет   Smiley.
Последнее редактирование: Январь 23, 2013, 12:09:31 от BIVES Записан
fortpost
Высший разум
****
Offline Offline

Сообщений: 6853

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261



Просмотр профиля
Ответ #25 : Январь 23, 2013, 12:03:36 �

М-да-а-а... Приходится автору признать справедливость обвинения в непроходимой тупости к вечному позору своему и справедливой хуле грядущих поколений! Angry
З.Ы.Показать скрытый текст
Записан

Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
Sirion
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1095

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 278



Просмотр профиля Email
Ответ #26 : Январь 23, 2013, 12:45:26 �

позаимствована вместе с решением?
Записан

sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+
+irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+
+iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
fortpost
Высший разум
****
Offline Offline

Сообщений: 6853

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261



Просмотр профиля
Ответ #27 : Январь 23, 2013, 12:56:59 �

позаимствована вместе с решением?
Ага, в комплексе.
Записан

Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
Sirion
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1095

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 278



Просмотр профиля Email
Ответ #28 : Январь 23, 2013, 13:51:20 �

это очень странно
можно ссылку на источник?
Записан

sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+
+irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+
+iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
fortpost
Высший разум
****
Offline Offline

Сообщений: 6853

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261



Просмотр профиля
Ответ #29 : Январь 23, 2013, 14:17:41 �

это очень странно
можно ссылку на источник?
Да, пожалуйста.
//текст доступен после регистрации//
Стр. 102 - условие, стр. 150 - решение.
Записан

Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
Страниц: 1 [2] 3 4
  Печать  
 
Перейти в: