Удачно писаться

[fortpost]

В одном старом задачнике по геометрии есть такая задача: вычислить длину стороны правильного треугольника, вписанного в параболу y = x². В указании к задаче говорилось, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной параболы. Верно ли такое указание? Может ли длина стороны правильного треугольника, вписанного в эту параболу, быть равна
а) 3; б) 2013?

[fortpost]

Ни у кого идей нет? Сдаются все? Решение выдать?

[семеныч]

ну если есть решение для 69  то давай

[пестерь]

Может так
Показать скрытый текст

x^2=3^0.5*x
(-1.732;3)
значения приближенные

[fortpost]

Может так
Показать скрытый текст

x^2=3^0.5*x
(-1.732;3)
значения приближенные

Да не, не так маленько.

[пестерь]

Может так
Показать скрытый текст

x^2=3^0.5*x
(-1.732;3)
значения приближенные

Да не, не так маленько.

Показать скрытый текст

эмммм... по-моему всё верно, длина стороны треугольника 2sqr3, простите если туплю

[fortpost]

Может так
Показать скрытый текст

x^2=3^0.5*x
(-1.732;3)
значения приближенные

Да не, не так маленько.

Показать скрытый текст

эмммм... по-моему всё верно, длина стороны треугольника 2sqr3, простите если туплю

А-а, это правильно! То минимальное значение. А вот дальше как?

[пестерь]

Может так
Показать скрытый текст

x^2=3^0.5*x
(-1.732;3)
значения приближенные

Да не, не так маленько.

Показать скрытый текст

эмммм... по-моему всё верно, длина стороны треугольника 2sqr3, простите если туплю

А-а, это правильно! То минимальное значение. А вот дальше как?

это единственное, если вершины совпадают

[fortpost]

это единственное, если вершина параболы совпадает с вершиной треугольника

Верно, но всегда ли они совпадают?

[пестерь]

это единственное, если вершина параболы совпадает с вершиной треугольника

Верно, но всегда ли они совпадают?

 

[☭-Изделие 20Д]

В одном старом задачнике по геометрии есть такая задача: вычислить длину стороны правильного треугольника, вписанного в параболу y = x². В указании к задаче говорилось, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной параболы. Верно ли такое указание? Может ли длина стороны правильного треугольника, вписанного в эту параболу, быть равна
а) 3; б) 2013?

Ни у кого идей нет? Сдаются все? Решение выдать?

Интуитивно, а почему бы и нет Но вот доказательство надо бы ещё пережувати.
Пока из идей только одна- вспомнить инженерную графику и смотреть не в 2Д, а в 3Д т.е. конус в параболической полости или точки пересечения конуса и какой-то фигни по виду напоминающей фаллоимитатор.

[Um_nik]

Показать скрытый текст

//текст доступен после регистрации//*x%5E3-%283*a%2B2*sqrt%283%29%29*x%5E2-x%2Ba-2*sqrt%283%29%3D0%2Ca%3C%3D0
Теперь
r=sqrt(1+x^2)*(x-a)
и r - получившаяся сторона треугольника
а - параметр (а<=0)
фактически -а - абсцисса одной из вершин треугольника.

Анализировать как-то очень лень.

На всякий: решал в полярной системе координат, получил уравнение третей степени относительно тангенса.

P.S.
Показать скрытый текст

При а=0, очевидно, получаем вышеописанное решение.

[fortpost]

Показать скрытый текст

//текст доступен после регистрации//*x%5E3-%283*a%2B2*sqrt%283%29%29*x%5E2-x%2Ba-2*sqrt%283%29%3D0%2Ca%3C%3D0
Теперь
r=sqrt(1+x^2)*(x-a)
и r - получившаяся сторона треугольника
а - параметр (а<=0)
фактически -а - абсцисса одной из вершин треугольника.

Анализировать как-то очень лень.

На всякий: решал в полярной системе координат, получил уравнение третей степени относительно тангенса.

P.S.
Показать скрытый текст

При а=0, очевидно, получаем вышеописанное решение.

Красиво, однако!
Позже немного авторское решение будет.

[пестерь]

Показать скрытый текст

//текст доступен после регистрации//*x%5E3-%283*a%2B2*sqrt%283%29%29*x%5E2-x%2Ba-2*sqrt%283%29%3D0%2Ca%3C%3D0
Теперь
r=sqrt(1+x^2)*(x-a)
и r - получившаяся сторона треугольника
а - параметр (а<=0)
фактически -а - абсцисса одной из вершин треугольника.

Анализировать как-то очень лень.

На всякий: решал в полярной системе координат, получил уравнение третей степени относительно тангенса.

P.S.
Показать скрытый текст

При а=0, очевидно, получаем вышеописанное решение.

Красиво, однако!
Позже немного авторское решение будет.

не надо пока, еще пару дней подумать

[BIVES]

Можно показать, что можно вписать любой правильный треугольник со стороной >=2*3^1/2, и нельзя со стороной <2*3^1/2.

Возьмем произвольный правильный треугольник (пусть его сторона равна а>0).
Для того, чтобы доказать, что его можно вписать в y=x² нам надо показать, что существует такое b, что треугольник с вершинами в точках (0,0), (a*cos(b), a*sin(b)), (a*cos(b+pi/3), a*sin(b+pi/3)) вписан в параболу вида y=x²+c*x. Тогда сделав параллельный перенос мы получим нужную нам параболу с вписанным в нее треугольником.
Подставляем координаты вершин треугольника в y=x²+c*x, после преобразований получаем
c=(sin(b)-a*cos²(b))/(cos(b))
a*cos³(b)-3a*cos(b)/4+3^1/2/2=0.
Нижнее уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда функция
f(t)=a*t³-3a*t/4+3^1/2/2 имеет ноль в интервале [-1, 1].
Эта функция возрастает на (-до хрена, -1/2) и (1/2, до хрена) и убывает на [-1/2, 1/2].
Поэтому, f(t) будет иметь 0 на  [-1/2, 1/2] при a>=2*3^1/2.
Если a<2*3^1/2, то 0 нет на  [-1, 1]  т.к. f(-1)= f(1/2)=-a/4+3^1/2/2>0.
Во время преобразований, я делил на а, поэтому есть еще вырожденный случай, когда треугольник - точка.