У кого есть в наличии олимпиадные, но интересные и нестандартные, то, - если не лень, - можете бросать сюда. Для начала вот:
1. Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.
2. Среди 18 деталей, выставленных в ряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99г., а все остальные - по 100г. Двумя взвешиваниями на электронных весах определите все 99-граммовые детали.
3. Сколько существует десятизначных чисел, делящихся на 11111, у которых все цифры различны?
4. К натуральному числу N приписали справа три цифры. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до N. Найдите N.
Руслан Дехтярь
Гость
|
|
� Ответ #45 : Август 27, 2014, 18:22:55 � |
|
Ветки Ясельные нет так что сюдой Гусиных - 16, утиных - 4, куриных - 80. Придумывал нетривиальное решение:) Понятно, что количество 100 штук должно состоять преимущественно из куриных яиц, поскольку их десяток на копейку. Итак: отталкиваемся от сотни куриных яиц. 100 их не может быть, поскольку должны быть еще и 2 вида других. Берем 90. Даже самые дорогие по 5 коп. X 10 = 50 коп. Нам надо больше:) Берем 80 кур. я. : 20 яиц по 5 коп = 100 - это многовато. Нам нужно 92 коп. Замена одного яйца по 5 на яйцо по 3 дает - 2 коп. 100 - 92 = 8 8/2 = 4. 4 яйца надо заменить. Итого: 16 яиц по 5 осталось и 4 яйца по 3 коп.
|
|
|
|
снн
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1570
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1786
-вас поблагодарили: 1202
|
|
� Ответ #46 : Август 27, 2014, 19:07:50 � |
|
8. Дано параболу y=x^2 и прикасающаяся к ней окружность(#1) с радиусом 0,5 и центром (0;0,5). окружность #2 своим низом касается окружности #1, а боками касается параболы. окружность #3 своим низом касается окружности #2, а боками касается параболы. и т.д. Какой радиус у окружности #7777?
Показать скрытый текст 7777-1/2
подскажите далеким от математики, как у вас это получилось?)
|
|
|
Записан
|
|
|
|
☭-Изделие 20Д
|
|
� Ответ #47 : Август 27, 2014, 19:42:29 � |
|
Ветки Ясельные нет так что сюдой Гусиных - 16, утиных - 4, куриных - 80. Придумывал нетривиальное решение:) Понятно, что количество 100 штук должно состоять преимущественно из куриных яиц, поскольку их десяток на копейку. Итак: отталкиваемся от сотни куриных яиц. 100 их не может быть, поскольку должны быть еще и 2 вида других. Берем 90. Даже самые дорогие по 5 коп. X 10 = 50 коп. Нам надо больше:) Берем 80 кур. я. : 20 яиц по 5 коп = 100 - это многовато. Нам нужно 92 коп. Замена одного яйца по 5 на яйцо по 3 дает - 2 коп. 100 - 92 = 8 8/2 = 4. 4 яйца надо заменить. Итого: 16 яиц по 5 осталось и 4 яйца по 3 коп. тОЛЬКО, имхо, Нетривиальным будет любое отличающееся от варианта: Берем гусиные, утиные, бычачьи по наитию на глазок, остальное до гривны добиваем куриными. А вот совсем нетривиальным был бы вариант перевода всех яиц в у.е.(не доллары, а именно условные единицы) т.е. пересчет всей живности к стоимости к примеру куриных яэц
|
|
� Последнее редактирование: Август 27, 2014, 19:50:42 от Изделие 20Д �
|
Записан
|
|
|
|
zhekas
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1035
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 34
-вас поблагодарили: 486
|
|
� Ответ #48 : Август 27, 2014, 21:29:04 � |
|
8. Дано параболу y=x^2 и прикасающаяся к ней окружность(#1) с радиусом 0,5 и центром (0;0,5). окружность #2 своим низом касается окружности #1, а боками касается параболы. окружность #3 своим низом касается окружности #2, а боками касается параболы. и т.д. Какой радиус у окружности #7777?
Показать скрытый текст 7777-1/2
подскажите далеким от математики, как у вас это получилось?) Показать скрытый текст Выясним радиус окружности, касающеся параболы, в зависимости от высоты центра. Т.е. если центр имеет координаты (0,h), то какой будет радиус R.
уравнение окружности имеет вид:
x^2 + (y - h)^2 = R^2. Нам достаточно нижней полуокружности, так как если окружность и касается параболы то только в ней: ________ y = -\/R^2-x^2 + h
Графики касаются друг друга, значит в точке касания у них совпадают касательные к ним, т.е. производные функций в точке касания совпадают __________ y' = x / \/R^2 - x^2 y' = 2x (производная параболы) __________ x/ \/R^2 - x^2 = 2x __________ \/R^2 - x^2 = 1/2 _________ x = \/R^2 - 1/4 _________ Производные у двух функций совпадают в точке x = \/R^2 - 1/4
Также значения функций в данной точке должны совпадать
подставля данную точку в уравнение нижней полуокружности получаем y = -1/2 +h
Подставля в уравнение параболы: y = R^2 - 1/4
Приравнивая правые части получаем
R^2 - 1/4 = h - 1/2
R^2 - h + 1/4 = 0
Теперь для окружности #2 h = 0,5*2 + R_2 получаем уравнение (R_2)^2 - R_2 - 3/4 = 0 Откуда R_2 = 3/2
Для окружности #3 h = 2*0,5 + 2*3/2 + R3 = 4 + R_3 Получаем уравнение (R_3)^2 - (R_3) - 15/4 = 0 R_3 = 5/2
Ну а двльше возникает предположение, что радиусы увеличиваются на еденицу, которое (предположение) подтверждает мат. индукция.
|
|
|
|
Руслан Дехтярь
Гость
|
|
� Ответ #49 : Август 27, 2014, 22:28:25 � |
|
Нетривиальным будет любое отличающееся от варианта: Берем гусиные, утиные, бычачьи по наитию на глазок, остальное до гривны добиваем куриными. А вот совсем нетривиальным был бы вариант перевода всех яиц в у.е.(не доллары, а именно условные единицы) т.е. пересчет всей живности к стоимости к примеру куриных яэц Это как?? У вас в Херсоне кроме помидоров и арбузов видать еще и шмаль хорошая!
|
|
|
Записан
|
|
|
|
снн
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1570
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1786
-вас поблагодарили: 1202
|
|
� Ответ #50 : Август 28, 2014, 06:23:09 � |
|
8. Дано параболу y=x^2 и прикасающаяся к ней окружность(#1) с радиусом 0,5 и центром (0;0,5). окружность #2 своим низом касается окружности #1, а боками касается параболы. окружность #3 своим низом касается окружности #2, а боками касается параболы. и т.д. Какой радиус у окружности #7777?
Показать скрытый текст 7777-1/2
подскажите далеким от математики, как у вас это получилось?) Показать скрытый текст Выясним радиус окружности, касающеся параболы, в зависимости от высоты центра. Т.е. если центр имеет координаты (0,h), то какой будет радиус R.
уравнение окружности имеет вид:
x^2 + (y - h)^2 = R^2. Нам достаточно нижней полуокружности, так как если окружность и касается параболы то только в ней: ________ y = -\/R^2-x^2 + h
Графики касаются друг друга, значит в точке касания у них совпадают касательные к ним, т.е. производные функций в точке касания совпадают __________ y' = x / \/R^2 - x^2 y' = 2x (производная параболы) __________ x/ \/R^2 - x^2 = 2x __________ \/R^2 - x^2 = 1/2 _________ x = \/R^2 - 1/4 _________ Производные у двух функций совпадают в точке x = \/R^2 - 1/4
Также значения функций в данной точке должны совпадать
подставля данную точку в уравнение нижней полуокружности получаем y = -1/2 +h
Подставля в уравнение параболы: y = R^2 - 1/4
Приравнивая правые части получаем
R^2 - 1/4 = h - 1/2
R^2 - h + 1/4 = 0
Теперь для окружности #2 h = 0,5*2 + R_2 получаем уравнение (R_2)^2 - R_2 - 3/4 = 0 Откуда R_2 = 3/2
Для окружности #3 h = 2*0,5 + 2*3/2 + R3 = 4 + R_3 Получаем уравнение (R_3)^2 - (R_3) - 15/4 = 0 R_3 = 5/2
Ну а двльше возникает предположение, что радиусы увеличиваются на еденицу, которое (предположение) подтверждает мат. индукция.
не очень въехала, но все равно, спасибо!
|
|
|
Записан
|
|
|
|
vlad
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1005
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 735
-вас поблагодарили: 327
|
|
� Ответ #51 : Август 28, 2014, 09:04:35 � |
|
8. Дано параболу y=x^2 и прикасающаяся к ней окружность(#1) с радиусом 0,5 и центром (0;0,5). окружность #2 своим низом касается окружности #1, а боками касается параболы. окружность #3 своим низом касается окружности #2, а боками касается параболы. и т.д. Какой радиус у окружности #7777?
Показать скрытый текст 7777-1/2
подскажите далеким от математики, как у вас это получилось?) Показать скрытый текст Выясним радиус окружности, касающеся параболы, в зависимости от высоты центра. Т.е. если центр имеет координаты (0,h), то какой будет радиус R.
уравнение окружности имеет вид:
x^2 + (y - h)^2 = R^2. Нам достаточно нижней полуокружности, так как если окружность и касается параболы то только в ней: ________ y = -\/R^2-x^2 + h
Графики касаются друг друга, значит в точке касания у них совпадают касательные к ним, т.е. производные функций в точке касания совпадают __________ y' = x / \/R^2 - x^2 y' = 2x (производная параболы) __________ x/ \/R^2 - x^2 = 2x __________ \/R^2 - x^2 = 1/2 _________ x = \/R^2 - 1/4 _________ Производные у двух функций совпадают в точке x = \/R^2 - 1/4
Также значения функций в данной точке должны совпадать
подставля данную точку в уравнение нижней полуокружности получаем y = -1/2 +h
Подставля в уравнение параболы: y = R^2 - 1/4
Приравнивая правые части получаем
R^2 - 1/4 = h - 1/2
R^2 - h + 1/4 = 0
Теперь для окружности #2 h = 0,5*2 + R_2 получаем уравнение (R_2)^2 - R_2 - 3/4 = 0 Откуда R_2 = 3/2
Для окружности #3 h = 2*0,5 + 2*3/2 + R3 = 4 + R_3 Получаем уравнение (R_3)^2 - (R_3) - 15/4 = 0 R_3 = 5/2
Ну а двльше возникает предположение, что радиусы увеличиваются на еденицу, которое (предположение) подтверждает мат. индукция.
не очень въехала, но все равно, спасибо! пусть r{n}-радиус n-й окружности. S{n}=r{1}+r{2}+...+r{n}-сумма радиусов. Y0=2*S{n}+r{n+1}-ордината центра (n+1)-й окружности. x^2+(y-Y0)^2=r{n+1}^2-уравнение (n+1)-й окружности. В этом уравнении заменяем x^2 на y, это можно сделать по условию касания к параболе. В получившемся квадратном уравнении(y+(y-(2*S{n}+r{n+1}))^2=r{n+1}^2 дискриминант должен быть равен нулю(касание=единый корень) =(2*r{n+1}-1)^2-8*S{n}=0. Отсюда r{n+1}=(sqrt(8*S{n})+1)/2. Подставляем n=1,2,..., имеем r{2}=3/2, r{3}=5/2,... Методом мат.индукции можно определить, что r{n}=n-1/2. В частности r{7777}=7776,5. PS: извините, что простенькие формулы выпозируют так страшно.
|
|
|
Записан
|
SATYAT NASTI PARO DHARMAH
|
|
|
☭-Изделие 20Д
|
|
� Ответ #52 : Август 28, 2014, 11:24:13 � |
|
Профессор написал на доске шесть утверждений: Сегодня на моей лекции будет меньше 10 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 10 студентов. Сегодня на моей лекции будет меньше 20 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 20 студентов. Сегодня на моей лекции будет меньше 30 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 30 студентов. На лекцию пришло N студентов, после чего профессор написал для каждого своего утверждения, верное оно или нет. Оказалось, что ровно четыре утверждения оказались неверными. Чему равно N? Укажите все возможные ответы.
|
|
|
|
☭-Изделие 20Д
|
|
� Ответ #53 : Август 28, 2014, 11:26:15 � |
|
Да и сразу ещё оттедаже Бизнесмен заключил с чёртом соглашение: каждый день бизнесмен даёт чёрту одну купюру, а взамен получает любое число купюр, какое захочет, но меньшего достоинства. Другого источника купюр у бизнесмена нет. Докажите, что в какой-то момент бизнесмен разорится (сколько бы купюр ни было у него вначале и как бы он ни менял их у чёрта).
II тур //текст доступен после регистрации//
|
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #54 : Август 28, 2014, 11:51:29 � |
|
Профессор написал на доске шесть утверждений: Сегодня на моей лекции будет меньше 10 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 10 студентов. Сегодня на моей лекции будет меньше 20 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 20 студентов. Сегодня на моей лекции будет меньше 30 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 30 студентов. На лекцию пришло N студентов, после чего профессор написал для каждого своего утверждения, верное оно или нет. Оказалось, что ровно четыре утверждения оказались неверными. Чему равно N? Укажите все возможные ответы.
N=10, N=20, N=30
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
vlad
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1005
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 735
-вас поблагодарили: 327
|
|
� Ответ #55 : Август 28, 2014, 11:52:30 � |
|
Профессор написал на доске шесть утверждений: Сегодня на моей лекции будет меньше 10 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 10 студентов. Сегодня на моей лекции будет меньше 20 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 20 студентов. Сегодня на моей лекции будет меньше 30 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 30 студентов. На лекцию пришло N студентов, после чего профессор написал для каждого своего утверждения, верное оно или нет. Оказалось, что ровно четыре утверждения оказались неверными. Чему равно N? Укажите все возможные ответы.
Показать скрытый текст 20
|
SATYAT NASTI PARO DHARMAH
|
|
|
☭-Изделие 20Д
|
|
� Ответ #56 : Август 28, 2014, 11:56:24 � |
|
Профессор написал на доске шесть утверждений: Сегодня на моей лекции будет меньше 10 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 10 студентов. Сегодня на моей лекции будет меньше 20 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 20 студентов. Сегодня на моей лекции будет меньше 30 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 30 студентов. На лекцию пришло N студентов, после чего профессор написал для каждого своего утверждения, верное оно или нет. Оказалось, что ровно четыре утверждения оказались неверными. Чему равно N? Укажите все возможные ответы.
Показать скрытый текст 20
|
|
|
Записан
|
|
|
|
vlad
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1005
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 735
-вас поблагодарили: 327
|
|
� Ответ #57 : Август 28, 2014, 11:59:55 � |
|
Профессор написал на доске шесть утверждений: Сегодня на моей лекции будет меньше 10 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 10 студентов. Сегодня на моей лекции будет меньше 20 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 20 студентов. Сегодня на моей лекции будет меньше 30 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 30 студентов. На лекцию пришло N студентов, после чего профессор написал для каждого своего утверждения, верное оно или нет. Оказалось, что ровно четыре утверждения оказались неверными. Чему равно N? Укажите все возможные ответы.
Показать скрытый текст 20
а мне то за что спасибка? :-) мало того что опоздал, да ещё и не совсем то что надо. :-))) well thanks.
|
|
|
Записан
|
SATYAT NASTI PARO DHARMAH
|
|
|
☭-Изделие 20Д
|
|
� Ответ #58 : Август 28, 2014, 12:36:38 � |
|
Профессор написал на доске шесть утверждений: Сегодня на моей лекции будет меньше 10 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 10 студентов. Сегодня на моей лекции будет меньше 20 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 20 студентов. Сегодня на моей лекции будет меньше 30 студентов. Сегодня на моей лекции будет больше 30 студентов. На лекцию пришло N студентов, после чего профессор написал для каждого своего утверждения, верное оно или нет. Оказалось, что ровно четыре утверждения оказались неверными. Чему равно N? Укажите все возможные ответы.
Показать скрытый текст 20
а мне то за что спасибка? :-) мало того что опоздал, да ещё и не совсем то что надо. :-))) well thanks. Сбили меня с Что-то заколодило на варианте типа 0, 1 почему-то только увидев ответ 20 переключился на то больше 4-х правильных вариантов тоже не есть здорово Хотя до сих пор так и не просеку фортпостовские 10 и 30
|
|
� Последнее редактирование: Август 28, 2014, 12:41:43 от Изделие 20Д �
|
Записан
|
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #59 : Август 28, 2014, 13:22:06 � |
|
Хотя до сих пор так и не просеку фортпостовские 10 и 30
Дык вот как. Пришло 10 студентов. Сегодня на моей лекции будет меньше 10 студентов. - вранье Сегодня на моей лекции будет больше 10 студентов. - вранье Сегодня на моей лекции будет меньше 20 студентов. - правда Сегодня на моей лекции будет больше 20 студентов. - вранье Сегодня на моей лекции будет меньше 30 студентов. - правда Сегодня на моей лекции будет больше 30 студентов. - вранье И с 30 аналогично.
|
|
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
|