Какая стратегия?

[Илья]

Команда из 25 школьников участвует в следующем конкурсе. Каждому из них надевают кепку одного из трёх заранее известных цветов так, что каждый видит кепки своих друзей, но не видит своей. После этого каждый школьник пишет на карточке свою фамилию и предполагаемый цвет своей кепки (подглядывать, что пишут другие, нельзя). Команда получает столько очков, сколько было сдано карточек с правильными ответами. Какое наибольшее число очков может гарантированно обеспечить себе команда, если школьники заранее договорятся о своих действиях?
P.S. Задачка занятная, но к сожалению без ответа.

[sek140675]

так ты в уме ее
или навскидку

[Илья]

так ты в уме ее

Так ее только в уме и надо решать.

[ПРОСТО КОЛЯ]

если они стоят в ряд то все очень просто
договариваются так:
сосед справа должен почесать ухо если цвет х,
почесать нос если цвет y,
почисать руку если цвет z.
тоесть все смогут написать свой цвет правельно кроме последнего.
с последним такая же договоренность только он посмотрит на лево...

[Илья]

Нет, не в ряд.

[Smith]

например, может быть такая стратегия (коротко)
светофор: красный, желтый, зеленый (К, Ж, З).
все говорят тот цвет, которго насчитали больше. тогда при раскладе 23к+1ж+1з выход прав. отв. будет 23. при 22/2/1 = 22. при 21/3/1=21/2/2 выход прав. отв. будет 21 и т.д. худший вариант для такой стратегии будет 8/8/9. тогда к-во прав. отв. (в худшем варианте) будет = 0. следовательно к количеству цветов, видимых каждым участником, нужна привязка к цвету при определенном раскладе, т.е. для 23/1/1 - одна, для 8/8/9 - другая, и т.д.
например, для 8/8/9 (а видит каждый 8/8/8 или 7/8/9 или 8/7/9) все могут писАть, к примеру, К (ж,з) и тогда гарантированно получат 7. но тоже не лучший вариант, вероятно.
зы: просто мысли вслух..

[Димыч]

В уме что-то не получается…
Думаю с ручкой и бумагой смогу обеспечить 7, но надо еще посмотреть…
Даже 7 не получается

[buka]

В уме что-то не получается…
Думаю с ручкой и бумагой смогу обеспечить 7, но надо еще посмотреть…
Даже 7 не получается

Жду с нетерпением. У меня пока и 5 не выходит...

[buka]

Ура!!! Получилось 8!!!

[Michael]

Я не понял условия. Какие "действия" допускаются? Рассказать вслух всё что видишь (у кого какая шапка) - это тоже действия? Если нельзя говорить, то можно всё "сказать" условными жестами. Если допускаются любые "действия", то ответ - 25. Если ввести условие что они видят только кепки, но не видят и не слышат что другие говорят и делают, тогда - 8.

[Димыч]

Я понял, что мой подход был бесперспективен — одних только чисел кепок разных цветов заведомо не достаточно. Туговато соображаю, мог бы сразу понять.

[buka]

Вечером приведу решение. Оно простое!!! 8 гарантированных угадываний!

[buka]

Стратегия.
1-способ. Строгий и без трюков. 8  гарантированных попаданий из 25.
Показать скрытый текст

То, что каждый видит у других не даёт ему никакой информации о собственной кепке.
Следовательно им надо придумать систему, позволяющую угадывать нечто общее для них. Тогда, если это общее принимает К значений, то давая К различных ответов, 1 из ответов будет правильным. Поскольку у нас 3 цвета, то надо, чтобы:
а) это общее нечто (инвариант) принимал бы 3 значения
б) угадавший этот инвариант, угадывал бы цвет.
Заменим цвета на числа 0,1,2 и разобьём пионэров на тройки (25-й останется в одиночестве).
Для каждой тройки сумма цветов их кепок и есть общее (инвариант) и тот, кто угадает эту сумму и вычтет из неё сумму цветов, которые он видит - угадает свой цвет. Но сумма трёх чисел, каждое из которых 0/1/2 может принимать значения от 0 до 6... Легко убедиться, что нам достаточно угадать сумму по модулю 3.
Она однозначно позволяет определить собственный цвет.
Пусть Вася, Петя и Коля договорились, что сумма по модулю 3 у Васи = 0, у Пети - 1 и у Коли - 2. Кто-то из них будет прав.
Вася знает сумму цветов Пети и Коли и может вычислить, что ему надо добавить к ней, чтобы получить 0 по модулю 3. Это число (вернее, соответствующий цвет он и называет. То же делают Петя и Коля Один из троих угадывает.   
Итого: 25 / 3 = 8 гарантированных попаданий
25-й пионер - полагается на случай.
Второй вариант - 23 гарантированных попадания из 25, но он трюковый.
Изложу позже. Может кто-то догадается. Вариант очень красивый.

 

[Smith]

для случаев, если каждый конкурсант видит количество кепок в трех цветах, где количество самого бОльшего из цветов отличается от других более чем на 2, каждый указывает тот цвет, которого больше.
для случаев, типа 6/9/10 или 11/11/3 и т.п. все конкурсанты также указывают один цвет, но по договоренности, начиная с верхнего в "светофоре" (К/Ж/З): например, если бОльше оказалось двух цветов К и З, то все указывают К, если Ж и З, то все указывают Ж.
для случая 12/12/1 действия 12 и 12 конкурсантов аналогичны вышеприведенному, а для 1 (не будь он дураком) - строго определнная, т.к. он точно знает цвет своей кепки

[phoenix]

Ну, если я все правильно понял, то гарантированно можно получить 22 очка.