fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� : Январь 22, 2013, 12:10:28 � |
|
Сидел однажды Вася у себя на кухне и от нечего делать спички ломал. Поломал, поломал и задумался - чему равна вероятность того, что по крайней мере одна спичка будет переломана точно посередине? Запас спичек у Васи неограничен.
|
|
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
Вилли ☂
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1572
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722
☃
|
|
� Ответ #1 : Январь 22, 2013, 12:50:47 � |
|
0 Спичек всего-лишь счётно. А вот мест переломов - континуум. Показать скрытый текст
|
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #2 : Январь 22, 2013, 13:15:20 � |
|
Спасибо, очень интересная тема. Но вот автор считает, что искомая вероятность больше-таки нуля.
|
|
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
Вилли ☂
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1572
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722
☃
|
|
� Ответ #3 : Январь 22, 2013, 13:49:52 � |
|
... автор считает, что искомая вероятность больше-таки нуля.
Надеюсь не в нашем не идеальном мире? Исходя из названия раздела "Математические задачи" отношу задачу к чисто математической. "деление конечного отрезка на две равные, по длине, части" (пусть даже и вероятность "околосеренинного" разлома больше ввиду лёгкости сломать спичку ближе к центру, чем к концам) Или здесь имеются ввиду реальные спички из дерева и подсчет длинны половинки с помощью линейки? Тогда ответ не очевиден и может быть подогнан под любой другой варьируя точностью линейки и длинами спичек
|
|
� Последнее редактирование: Январь 22, 2013, 14:05:57 от Вилли ☂ �
|
Записан
|
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #4 : Январь 22, 2013, 14:09:52 � |
|
... автор считает, что искомая вероятность больше-таки нуля.
Надеюсь не в нашем не идеальном мире? Исходя из названия раздела "Математические задачи" отношу задачу к чисто математической. "деление конечного отрезка на две равные, по длине, части" (пусть даже и вероятность "околосеренинного" разлома больше ввиду лёгкости сломать спичку ближе к центру, чем к концам) Или здесь имеются ввиду реальные спички из дерева и подсчет длинны половинки с помощью линейки? Тогда ответ не очевиден и может быть подогнан под любой другой варьируя точностью линейки и длинами спичек Да, конечно, задача чисто математическая.
|
|
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
Sirion
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1095
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 278
|
|
� Ответ #5 : Январь 22, 2013, 16:54:26 � |
|
Можно аналитически показать, что вероятность равна нулю. Для этого докажем, что для сколь угодно малого d вероятность P сломать хотя бы одну спичку пополам меньше d.
Найдём такое c, что 1 - d = ec. Если быть точным, c = ln(1 - d). Пусть спички имеют единичную длину и пронумерованы. В середине первой спички закрасим отрезок длиной 1 - ec/2, в середине второй - длиной 1 - ec/4, в середине энного - длиной 1 - ec/2n. Отметим, что c<0, поэтому все указанные длины будут положительны.
Вероятность того, что ни одна спичка не будет разломлена в точке, принадлежащей закрашенному отрезку, равна ec/2 * ec/4 * ... * ec/2n * ... = e(c/2 + c/4 + ... + c/2n + ...) = ec = 1 - d. Следовательно, вероятность того, что хотя бы один разлом попадёт в закрашенный отрезок, равна d. Поскольку если одна из спичек будет разломлена посередине, разлом придётся на закрашенный отрезок, мы можем заключить, что P < d.
Число d было выбрано произвольно. Значит, P меньше любого положительного числа, т.е. P = 0, ч.т.д.
|
|
� Последнее редактирование: Январь 22, 2013, 17:04:00 от Sirion �
|
Записан
|
sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+ +irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+ +iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
|
|
|
Sirion
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1095
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 278
|
|
� Ответ #6 : Январь 22, 2013, 17:01:02 � |
|
Не знаю, что уж там считает автор, но, очевидно, он не умеет достаточно аккуратно обращаться с бесконечностями.
|
|
|
Записан
|
sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+ +irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+ +iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
|
|
|
|
Michael
Гость
|
|
� Ответ #8 : Январь 22, 2013, 17:20:32 � |
|
Как ни странно, получается Показать скрытый текст 1
|
|
|
Записан
|
|
|
|
Sirion
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1095
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 278
|
|
� Ответ #9 : Январь 22, 2013, 17:23:23 � |
|
не получается но было бы интересно послушать
|
|
|
Записан
|
sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+ +irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+ +iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
|
|
|
Вилли ☂
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1572
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722
☃
|
|
� Ответ #10 : Январь 22, 2013, 17:26:18 � |
|
Хорошо, что не 2. И на том спасибо.
|
|
|
Записан
|
|
|
|
☭-Изделие 20Д
|
|
� Ответ #11 : Январь 22, 2013, 17:33:13 � |
|
Хорошо, что не 2. И на том спасибо. Ну дык 2 - только в военное время и в кризисные времена как и синус угла под которым может произвести выстрел орудие танка
|
|
|
Записан
|
|
|
|
|
Sirion
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1095
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 278
|
|
� Ответ #13 : Январь 22, 2013, 17:57:10 � |
|
Изделие 20Д, это стандартная задача из курса теорвера. Такими мучают дубовых второкурсников. Нечего ей здесь делать.
|
|
|
Записан
|
sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+ +irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+ +iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
|
|
|
BIVES
Умник
Offline
Сообщений: 687
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 53
-вас поблагодарили: 272
|
|
� Ответ #14 : Январь 22, 2013, 23:05:24 � |
|
Можно аналитически показать, что вероятность равна нулю. Для этого докажем, что для сколь угодно малого d вероятность P сломать хотя бы одну спичку пополам меньше d.
Найдём такое c, что 1 - d = ec. Если быть точным, c = ln(1 - d). Пусть спички имеют единичную длину и пронумерованы. В середине первой спички закрасим отрезок длиной 1 - ec/2, в середине второй - длиной 1 - ec/4, в середине энного - длиной 1 - ec/2n. Отметим, что c<0, поэтому все указанные длины будут положительны.
Вероятность того, что ни одна спичка не будет разломлена в точке, принадлежащей закрашенному отрезку, равна ec/2 * ec/4 * ... * ec/2n * ... = e(c/2 + c/4 + ... + c/2n + ...) = ec = 1 - d. Следовательно, вероятность того, что хотя бы один разлом попадёт в закрашенный отрезок, равна d. Поскольку если одна из спичек будет разломлена посередине, разлом придётся на закрашенный отрезок, мы можем заключить, что P < d.
Число d было выбрано произвольно. Значит, P меньше любого положительного числа, т.е. P = 0, ч.т.д.
Мне кажется, что это доказательство не совсем корректно, ведь очевидно, что гипотеза о равномерном распределении места излома не верна. Очевидно, что чем ближе мы к концам тем сложнее сломать спичку (попробуйте отломать кусок длиной 1 мм). Скорее всего место излома имеет треугольное распределение с мат. ожиданием равным координате середины спички. Впрочем все равно такое распределение непрерывно, а значит, вероятность сломаться посредине равна 0. Но это все с точки зрения математики. С точки зрения физики любая спичка состоит из конечного числа молекул и излом может произойти только между молекулами. Так как у нас спичек бесконечно много, то среди них будет бесконечно много спичек с четным количеством молекул, а следовательно вероятность сломаться пополам для таких спичек положительна. Поэтому вероятность, что какая-то спичка сломается пополам равна 1. Возможно это имел ввиду автор задачи?
|
|
� Последнее редактирование: Январь 23, 2013, 02:11:53 от BIVES �
|
Записан
|
|
|
|
|