Орел или решка?

[Michael]

1/2 -> Павел >  Вася
1/4 -> Павел <  Вася
1/4 -> Павел =  Вася

Бука, стесняюсь спросить, откуда такое заведомо неправильное предположение?
   

[Кадила???]

Думаю, автору стоит дать оригинальный ответ, чтобы еще раз показать, что в развлекательных задачах ответы из многабукв легко можно упростить до строчки-другой 

[Michael]

Согласен. С удовольствием посмотрю на доказательство в 2 строчки.

[Димыч]

Показать скрытый текст

Из каждого варианта выпадения монет можно получить другой, заменив все орлы решками и наоборот. Таким образом все 2²¹ варианта будут разбиты на пары. В каждой такой паре ровно в одном из двух вариантов у Павла будет больше орлов, чем у Васи.
Если в варианте парном данному у Павла больше орлов, то в данном у него больше решек и наоборот. Если бы ни в одном из пары вариантов у Павла не было больше орлов чем у Васи, то в каждом у него было было бы и орлов и решек не больше чем у Васи, что не возможно, т. к. он бросал монету на 1 раз больше. Если бы в обоих вариантах пары у Павла было бы больше орлов чем у Васи, то в каждом у него было бы и орлов и решек больше чем у Васи, что опять-таки невозможно, т. к. он бросал монету только на 1 раз больше.

[buka]

1/2 -> Павел >  Вася
1/4 -> Павел <  Вася
1/4 -> Павел =  Вася

Бука, стесняюсь спросить, откуда такое заведомо неправильное предположение?
  

Когда Вася и Петя бросают монету по разу, то Р(>)=Р(<)=1/4. Р(=)=1/2.
Когда они это делают ещё раз, имеем:
Р(>) = Р(1,>)*(Р(2,>) + Р(1,=)*Р(2,>) + Р(1,>)*Р(2,=) = 1/4*1/4 + 1/2*1/4 + 1/4*1/2= 1/16 + 1/8 + 1/8 = 1/4
Р(<) = Р(>) по симметрии и тоже равна 1/4. Заначит, Р(=) - 1 - 2*1/4 = 1/2...
Я не учёл, что Р(1,<)*Р(2,>)  не всегда равно Р(=)...
Бывает...

[Michael]

1/2 -> Павел >  Вася
1/4 -> Павел <  Вася
1/4 -> Павел =  Вася

Бука, стесняюсь спросить, откуда такое заведомо неправильное предположение?
  

Когда Вася и Петя бросают монету по разу, то Р(>)=Р(<)=1/4. Р(=)=1/2.
Когда они это делают ещё раз, имеем:
Р(>) = Р(1,>)*(Р(2,>) + Р(1,=)*Р(2,>) + Р(1,>)*Р(2,=) = 1/4*1/4 + 1/2*1/4 + 1/4*1/2= 1/16 + 1/8 + 1/8 = 1/4
Р(<) = Р(>) по симметрии и тоже равна 1/4. Заначит, Р(=) - 1 - 2*1/4 = 1/2...
Я не учёл, что Р(1,<)*Р(2,>)  не всегда равно Р(=)...
Бывает...

Ясно, спасибо.

[Michael]

Показать скрытый текст

Из каждого варианта выпадения монет можно получить другой, заменив все орлы решками и наоборот. Таким образом все 2²¹ варианта будут разбиты на пары. В каждой такой паре ровно в одном из двух вариантов у Павла будет больше орлов, чем у Васи.
Если в варианте парном данному у Павла больше орлов, то в данном у него больше решек и наоборот. Если бы ни в одном из пары вариантов у Павла не было больше орлов чем у Васи, то в каждом у него было было бы и орлов и решек не больше чем у Васи, что не возможно, т. к. он бросал монету на 1 раз больше. Если бы в обоих вариантах пары у Павла было бы больше орлов чем у Васи, то в каждом у него было бы и орлов и решек больше чем у Васи, что опять-таки невозможно, т. к. он бросал монету только на 1 раз больше.

ЗдОрово!

[buka]

Есть ещё один способ показать, что если первый бросал монету на 1 раз больше второго, то вероятность того, что у него "Решек" больше равна 1/2.
Он по-моему тоже прост.
-----------------------------
Если бы они бросали монеты одинаковое кол-во раз, то в силу симметрии, из всего числа событий С(2K)((K слову, С(2K)=2^2К, где К - сколько раз бросал каждый) число событий, когда у 1-го больше "Решек" равно числу событий когда у 1-го меньше "Решек".
Пусть это число событий = Х.
Число событий, когда у них равное кол-во "Решек" равно Y
Общее кол-во событий C(2K) = X + Y + X
Теперь, когда 1-й бросает К+1 раз, кол-во событий удваивается.
С(2К+1) = 2^(2К+1) (2^2К событий когда К+1-й раз первый выбросил "Орёл" + 2^2К событий, когда 1-й выбросил "Решку").
При этом общее число событий, когда у первого больше "Решек" равно:
Х + Х + У.
Х - когда К+1 раз был выброшен "Орёл" плюс
Х + У - когда К+1 раз была выброшена "Решка" (У прибавляется потому что все события, когда у них было равное кол-во решек теперь, когда 1-й выбросил "Решку" переходят в события когда у 1-го больше "Решек")
А общее кол-во событий С(2К+1) = 2*С(2К) = 2(Х+Y+X)
(X+X+Y)/(2(X+Y+X)) = 1/2

[Michael]

Есть ещё один способ показать, что если первый бросал монету на 1 раз больше второго, то вероятность того, что у него "Решек" больше равна 1/2.
Он по-моему тоже прост.
-----------------------------
Если бы они бросали монеты одинаковое кол-во раз, то в силу симметрии, из всего числа событий С(2K)((K слову, С(2K)=2^2К, где К - сколько раз бросал каждый) число событий, когда у 1-го больше "Решек" равно числу событий когда у 1-го меньше "Решек".
Пусть это число событий = Х.
Число событий, когда у них равное кол-во "Решек" равно Y
Общее кол-во событий C(2K) = X + Y + X
Теперь, когда 1-й бросает К+1 раз, кол-во событий удваивается.
С(2К+1) = 2^(2К+1) (2^2К событий когда К+1-й раз первый выбросил "Орёл" + 2^2К событий, когда 1-й выбросил "Решку").
При этом общее число событий, когда у первого больше "Решек" равно:
Х + Х + У.
Х - когда К+1 раз был выброшен "Орёл" плюс
Х + У - когда К+1 раз была выброшена "Решка" (У прибавляется потому что все события, когда у них было равное кол-во решек теперь, когда 1-й выбросил "Решку" переходят в события когда у 1-го больше "Решек")
А общее кол-во событий С(2К+1) = 2*С(2К) = 2(Х+Y+X)
(X+X+Y)/(2(X+Y+X)) = 1/2

Да, красиво.

[Димыч]

Немного переформулирую свое доказательство, чтобы действительно помещалось в 2 строчки.
Поскольку Павел бросает монету на 1 раз больше чем Вася, у него или больше орлов или больше решек чем у Васи, но не то и другое одновременно. Значит события «У Павла больше орлов чем у Васи» и «У Павла больше решек чем у Васи» дополнительные друг к другу. Из соображений симметрии они должны быть равновероятны.

[buka]

Немного переформулирую свое доказательство, чтобы действительно помещалось в 2 строчки.
Поскольку Павел бросает монету на 1 раз больше чем Вася, у него или больше орлов или больше решек чем у Васи, но не то и другое одновременно. Значит события «У Павла больше орлов чем у Васи» и «У Павла больше решек чем у Васи» дополнительные друг к другу. Из соображений симметрии они должны быть равновероятны.

Под впечатлением предложенного решения у меня возникла другая задача, почти близнец.
Павел и Вася бросают кость.
Павел бросил на один раз больше.
Какова вероятность того, что у Павла больше шестерок?
Какова вероятность того, что у Павла больше нешестёрок?