Изложение планиметрии со времён Евклида принято начинать со списка аксиом, то есть положений, счтающихся a priori истинными и не требующими доказательств. Все прочие утверждения (теоремы) доказываются с опорой, в конечном счёте, на аксиомы. Списки (системы) аксиом могут быть весьма различными. От системы аксиом как правило
требуется непротиворечивость (нельзя вывести утверждение и его отрицание),
минимальность (ни одна аксиома не может быть исключена как выводящаяся из остальных) и
полнота (если некое утверждение нельзя доказать, то можно доказать его отрицание).
Система аксиом --- одно из самых тонких мест школьного курса планиметрии. Как правило, в школьных учебниках приводятся неполные системы аксиом, а опора на оставшиеся подменяется словами о наглядной очевидности того или иного положения. Это обусловлено тем, что логически аксиомы изучаются в начале курса (семиклассниками), но для них они трудны как чрезмерной абстрактностью, так и психологически, ввиду своей очевидности (детям непонятно, почему их доказывать не надо, а столь же очевидные теоремы --- надо). Трудность также заключается в том, что системы аксиом многообразны, в качестве основных объектов могут выступать не только точки и прямые, но и отрезки (в учебнике Александрова), векторы (в системе аксиом Вейля) и др.
Утверждение, являющееся аксиомой в одной системе аксиом, может быть теоремой в другой. Поэтому смешивание систем аксиом, которое часто возникает у учащихся при пользовании разными учебниками (например в ходе подготовки к экзаменам), приводит к проблемам вроде "порочного круга". Изложение оснований геометрии в школьных курсах всегда нестрогое, с большой опорой на наглядность; кажется разумным давать аксиоматику геометрии как ознакомительный материал, сосредоточив основные усилия на решении содержательных задач.
Накопление геометрических знаний человечество вело с древнейших времён. Попытки систематического изложения геометрии в Древней Греции предпринимались, по-видимому, в IV -- III столетиях до н. э. К III столетию относят создание знаменитого сборника книг Евклида (ок. 330 -- 275 гг.) "Начала" (в латинском варианте "Elements"), большая часть которых посвящена геометрии.
В первой книге "Начал" Евклид перечисляет определения некоторых геометрических объектов, а далее приводит список утверждений, принимаемых без доказательства, называя их
постулатами и аксиомами. В основном постулаты суть утверждения о самих геометрических объектах, а аксиомы -- логические утверждения о методах работы с ними. Современные аксиомы планиметрии по смыслу ближе к евклидовым постулатам, чем к аксиомам. Более поздние греческие авторы, осознавая бедность евклидовых постулатов, дополняли их; наиболее известны работы Архимеда (ок. 287 -- 212 гг. до н. э.).
"Начала" Евклида были основным учебником геометрии и образцом математической строгости почти 2000 лет --- чуть ли не до XVIII века! Лишь в XIX веке нашла своё решение знаменитая проблема пятого постулата Евклида и трудами многих математиков, в первую очередь Гаусса, Вейля, Лобачевского, Клейна, Римана, Гильберта, Пуанкаре
проблема обоснования геометрии была успешно решена. В середине XX века американский математик польского происхождения Альфред Тарский (1902 -- 1988) доказал полноту элементарной геометрии, то есть наличие у неё ровно одной модели с точностью до изоморфизма.
//текст доступен после регистрации//