Сумма цифр у кратного числа

[MagTux]

2семеныч

Почитав //текст доступен после регистрации// я понял, что совсем не соображаю в математике, но хотелось бы максимально приблизиться к тому, чего там говорят. Так вот.

В своей //текст доступен после регистрации// Генерал написал так:
"Перебирая не более чем 5-ти значные числа с суммами цифр 3 и 4 (это можно сделать как на компьютере, так и вручную) оказывается, что среди чисел, кратных 41-му минимальную сумму цифр, равную 5, будет иметь само число 41."

Для него это кажется очевидным, а я окончательно запутался.
Почему нет смысла перебирать числа более 5-значных? Это связано с тем, что у числа 41 5 остатков от степеней 10? Если да, то каким образом связано?

Самое интересное, что я сначала тоже так подумал, но связь потерял.

[семеныч]

будем ждать комментарий Генерала /или его пресс-службы /

[Димыч]

Почему нет смысла перебирать числа более 5-значных?

Если число делится на 41, то и сумма его 5-значных граней (т. е. цифр в 100000-ичной с. с.) делится на 41. Почему, догадайтесь сами. Если бы у более чем 5-значного числа сумма цифр была бы меньше 5, то у суммы граней этого числа сумма цифр была бы такой же.

[General]

да-да, именно поэтому

Вот при делении на 3: т.к. остатки от всех степеней 10 на 3 одинаковы и равны 1, то мы можем сложить все цифры, затем - все цифры суммы и поступать так, пока не получится однозначное число - оно будет давтаь такой же остаток при делении на 3, как и исходное.

Для 41 получаем: остатки от деления степеней 10 на 41 образуют цикл с периодом 5, и 100000 даёт остаток 1. Так что число можно разбить на грани по 5 цифр, считая справа налево, сложить их, затем так поступать с суммой, пока не получим не более чем 5-ти значное число.

[MagTux]

Спасибо. Я кстати поискал инфу по этой теме. Оказывается это 9-й класс средней школы. Теория чисел. У меня такой не было.

[General]

Да-да, сейчас такое не преподают