Два числа

[fortpost]

При каких натуральных n из первых n натуральных чисел можно выбрать два числа, произведение которых вдвое больше суммы всех остальных чисел?

[Ленка Фоменка]

1,2,3,4
2*4=2*(1+3)

[fortpost]

Как быстро-то решили! 

[fortpost]

А при других n решения есть?

[Sirion]

pq = n(n+1)-2p-2q
pq+2p+2q=n(n+1)
(p+2)(q+2)=n^2+n+4

мы знаем, что p,q<=n - значит, (p+2), (q+2)<=n+2
p+2>=(n^2+n+4)/(n+2)=n-1+6/(n+2)>n-1, и аналогичное неравенство можно записать для q+2
итого, (p+2) в {n, n+1, n+2}, и q+2 там же

нам нужно перебрать следующие варианты (с точностью до замены p на q):
1) p+2=n; q+2=n+1; (p+2)(q+2)=n^2+n=n^2+n+4 - очевидный бред
2) p+2=n; q+2=n+2; (p+2)(q+2)=n^2+2n=n^2+n+4; n=4, p=2, q=4 - это решение уже нашли
3) p+2=n+1; q+2=n+2; (p+2)(q+2)=n^2+3n+2=n^2+n+4; 2n-2=0; n=1 - не подходит по определению

итого, больше решений нет

[GrandMaster]

Пишу сообщение, чтоб создать тему

[Sirion]

Надеюсь, не в "Помогите решить"?