Два хитрых ряда

[fortpost]

Имеются два расходящихся ряда - a₁+a₂+a₃+...+a_n+... и b₁+b₂+b₃+...+b_n+..., причем a_n>0, b_n>0 и a₁>a₂>a₃..., b₁>b₂>b₃...
При этом ряд min(a₁,b₁)+min(a_2,b₂)+...+min(a_n,b_n)+... сходится.
Что это за ряды?

[Sirion]

ну, это совсем просто
возьмём, например, ряды:
1, 1/4, 1, 1/16, 1, 1/64...
1/2, 1, 1/8, 1, 1/32, 1...

[fortpost]

ну, это совсем просто
возьмём, например, ряды:
1, 1/4, 1, 1/16, 1, 1/64...
1/2, 1, 1/8, 1, 1/32, 1...

Да, но они не монотонно убывают.

[fortpost]

Прошу прощения, забыл условие монотонности вставить.  Исправил.

[Sirion]

Ня, так гораздо интереснее. Сейчас что-нибудь придумаю.

[Sirion]

Поскольку гармонический ряд расходится, расходится и любой его остаток. Следовательно, для любого n мы можем найти k такое, что 1/n+1/(n+1)+...+1/(n+k)>1

Используя этот факт, мы сможем построить наши два ряда следующим образом:

<1>; <1/4; 1/8; 1/16; 1/32; 1/64>; <1/65; 1/66 ...>; <кусок геометрической прогрессии>;<кусок гармонического ряда>...
<1/2>; <1/3; 1/4; 1/5; 1/6; 1/7>; <1/128; 1/256 ...>; <кусок гармонического ряда>; <кусок геометрической прогрессии>...

- так, чтобы сумма каждого куска гармонического ряда была больше единицы, и оба ряда монотонно убывали.