Ангельские треугольники.

[Sirion]

Будем подвергать прямоугольный треугольник следующему итеративному процессу: на первой итерации опускаем высоту из вершины прямого угла, получив, в дополнение к исходному, два новых прямоугольных треугольника. На каждой следующей итерации будем проводить высоты одновременно во всех треугольниках, появившихся на прошлой итерации.

Дьявольским треугольником назовём прямоугольный треугольник, из которого на некоторой итерации получается ровно 666 различных (неконгруэнтных) треугольников, считая сам исходный треугольник. К примеру, равнобедренный прямоугольный треугольник является дьявольским: на каждой итерации количество различных полученных треугольников увеличивается на 1, соответственно, на 665-ой итерации их станет 666. Практически каждый прямоугольный треугольник (кроме тех, чьи углы связаны некоторым специальным соотношением) является дьявольским - требуемое количество различных треугольников достигается на 35-ой итерации.

Ангельским треугольником назовём прямоугольный треугольник, не являющийся дьявольским. Вопрос задачи: сколько (с точностью до подобия) существует ангельских треугольников?

[семеныч]

Перельман в гробу перевернется - точно

[moonlight]

самый простой такой треугольник имеет отношение катетов Показать скрытый текст

sqrt(ф)

таких треугольников Показать скрытый текст

счётное множество

[moonlight]

Показать скрытый текст

Пусть исходный треугольник имеет длину гипотенузы 1 и отношение катетов k. После первой итерации получим два треугольника с гипотенузами k/sqrt(k²+1) и 1/sqrt(k²+1). После n-ной итерации получим n+1 треугольников с гипотенузами kⁱ/(sqrt(k²+1))ⁿ, i=0,...,n. Вместе все итерации дадут 1+2+...+(n+1)=(n+1)(n+2)/2 треугольников. Это в том случае если два конгруэнтных треугольника могут получиться на одной итерации, любые два полученные на разных итерациях неконгруэтны. Конгруэнтные треугольники на разных итерациях получаются если возможно равенство k^m₁/(sqrt(k²+1))^n₁=k^m₂/(sqrt(k²+1))^n₂ или если k²+1=k^r, r-рациональное число.

[Sirion]

moonlight, таки неправда, ангельских треугольников вполне конечно.

[moonlight]

369 ?
Показать скрытый текст

это количество пар взаимно простых натуральных чисел p,q: 2<=p<=35, 1<=q<p, p<>3,4,9,12.
каждой такой паре соответствует треугольник с отношением катетов k: (1+k²)^q=k^2p

[Sirion]

И это правильный ответ!