А это авторское решение.
Ответ: может. Покажем, что к произвольному лесу М из n елок и k берез, удовлетворяющему условию Мюнхгаузена (на расстоянии 1 км от каждой елки растет 10 берез), можно добавить еще несколько елок и берез с сохранением этого условия так, чтобы отношение n/k числа елок к числу берез увеличилось на 0,1.
Отметим на произвольной окружности ω радиусом 1 км 10 точек А
0, А
1 ..., А
9. Отложим от каждого дерева X леса М векторы А
0А
1, ..., А
0А
9 и в их концах Х
1, ..., Х
9 посадим деревья той же породы, что и X. Точки X
1, ..., Х
9 лежат на окружности ω
х, получаемой из ω переносом на вектор А
0Х; если X — береза, посадим в центре Х
10 этой окружности елку (рис. 1).
В результате к лесу М добавятся еще 9 его экземпляров, полученных из М сдвигами на векторы A
0A
i и удовлетворяющих условию Мюнхгаузена, и еще k елок Х
10 (для всех берез X), для которых условие тоже выполнено. При этом новое отношение числа елок к числу берез будет равно (10n+k)/10k=n/k+0,1.
(Точки А
0,..., А
9 нужно выбирать с некоторой осторожностью, иначе может оказаться, что в одну точку надо высаживать два дерева и что в «окружении» какой-нибудь елки окажется лишняя береза. Поэтому лучше действовать последовательно: сначала выбрать на ω точку А
0 и посадить елки Х
10 в центрах окружностей ω
х для всех берез X так, чтобы расстояния от этих елок до других берез леса М были отличны от 1 км, затем выбрать А
1 так, чтобы деревья Х
1 не попали на уже занятые места, а в окружении елок не оказалось «чужих» берез, аналогично выбрать А
2 и т. д.)
Теперь рассмотрим лес M
1, состоящий из одной елки и десяти берез на расстоянии 1 км от нее. Для него отношение n/k=0,1. Построим по М
1 описанным способом лес М
2, по лесу М
2 — лес М
3 и т. д. Для леса М
11 это отношение будет равно 0,1+10∙0,1=1,1>1, и условие Мюнхгаузена выполняется. Правда, этот лес состоит из 10
11 берез и 11∙10
10 елок, что многовато даже для легендарного барона. Однако имеется другой пример, подтверждающий, что барон никогда не лжет.
Пусть лес F
1 состоит из двух елок и двух берез, расположенных в диаметрально противоположных вершинах квадрата. Рассмотрим последовательность F
1, F
2,..., в которой лес F
k+1 является объединением леса F
k, и леса F'
k, полученного из F
k переносом на некоторый вектор v
k, «общего положения» (исключающего пересечения) длиной 1 км и заменой елок на березы и наоборот (рис. 2). Очевидно, лес F9, состоящий из 2
9=512 елок и такого же числа берез, удовлетворяет условию Мюнхгаузена. Применяя к нему конструкцию, описанную в начале решения, получим вполне реальный лес из 21∙512=10 752 деревьев, также удовлетворяющий этому условию, для которого отношение числа елок к числу берез равно 1,1>1.
