Набор кубиков

[fortpost]

Приехав в гости к племяннику, Вася увидел среди его игрушек набор из 16 кубиков с длинами ребер соответственно 1,2,...,16 см. Васе пришла идея разделить их на две группы так, чтобы в обеих группах были равны: суммарные объемы, суммы площадей боковых поверхностей, суммы длин ребер и количество кубиков. Как же ему это сделать?

[fortpost]

Что, все сдаются? Дать ответ?

[семеныч]

 

[☭-Изделие 20Д]

Приехав в гости к племяннику, Вася увидел среди его игрушек набор из 16 кубиков с длинами ребер соответственно 1,2,...,16 см. Васе пришла идея разделить их на две группы так, чтобы в обеих группах были равны: суммарные объемы, суммы площадей боковых поверхностей, суммы длин ребер и количество кубиков. Как же ему это сделать?

Да вот, пока пытаюсь разбить 16 кубиков на 2 группы с равным количеством, БЛИН как всегда количество превышает максимально возможное количество моих пальцев, а в связи с зимой носки снимать холодно 

[семеныч]

 

[☭-Изделие 20Д]

УГУ
  Мне не то что на сумму площадей, а даже на площадь одной грани 15-го по счету кубика из остальных набрать с трудом получается 

[семеныч]

 

[fortpost]

Ну раз уж все сдаются, то вот ответ.
Показать скрытый текст

Разделим кубы на две группы следующим образом. В первую группу включим кубы со сторонами 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16, во вторую - оставшиеся кубы.

[пестерь]

Ну раз уж все сдаются, то вот ответ.
Показать скрытый текст

Разделим кубы на две группы следующим образом. В первую группу включим кубы со сторонами 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16, во вторую - оставшиеся кубы.

ход решения можно?

[fortpost]

Ну раз уж все сдаются, то вот ответ.
Показать скрытый текст

Разделим кубы на две группы следующим образом. В первую группу включим кубы со сторонами 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16, во вторую - оставшиеся кубы.

ход решения можно?

Можно.
Показать скрытый текст

Чтобы понять, как догадаться до такого разбиения, решим следующую более общую задачу. Докажем, что любые 2ⁿ чисел, образующие арифметическую прогрессию, можно разделить на две группы так, чтобы для любого многочлена степени не выше (n-1) сумма значений этого многочлена в числах из одной группы была равна сумме значений этого многочлена в числах из другой группы (ясно, что исходная задача есть частный случай этой задачи для n=4 и арифметической прогрессии 1,2,...,16). Применим индукцию по n. При n=1 утверждение нащей общей задачи очевидно. Пусть оно верно при n=k, докажем его при n=k+1. Обозначим m=2^k. Пусть имеется арифметическая прогрессия из 2m=2^k+1 членов, из которых первые m членов обозначим a1, a2, ... , am, а следующие m членов обозначим b1, b2, ... , bm. Разделим числа a1, a2, ... , am на две группы A' и A'' так, чтобы выполнялось предположение индукции. Далее, разделим числа b1, b2, ... , bm на группы B' и B'' так, чтобы bi входило в группу B' тогда и только тогда, когда ai входит в группу A'. Объединим теперь A'c B''и A'' с B'. Покажем, что этим получено нужное разбиение чисел a1, a2, ... , am, b1, b2, ... , bm. Рассмотрим некоторый многочлен P(x) степени не выше k. Покажем, сумма значений P(x), где x пробегает числа из одной группы, равна сумме значений P(x), где x пробегает числа из другой группы. Обозначим c=bi-ai (поскольку a1, a2, ... , am, b1, b2, ... , bm - арифметическая прогрессия, разности bi-ai одинаковы при всех i от 1 до m). Рассмотрим разности R(ai) = P(bi)-P(ai) = P(ai+c)-P(ai), i=1,2,...,m. Достаточно заметить, что сумма величин R(ai) по всем ai из A' равна сумме величин R(ai) по всем ai из A''. Но это следует из предположения индукции, поскольку в разности P(ai+c)-P(ai) многочленов от ai (с считаем постоянной) сокращается старшая степень, то есть R(ai) является многочленом от ai степени не выше k-1. Утверждение доказано по индукции.

[☭-Изделие 20Д]

Ну раз уж все сдаются, то вот ответ.
Показать скрытый текст

Разделим кубы на две группы следующим образом. В первую группу включим кубы со сторонами 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16, во вторую - оставшиеся кубы.

Тока

Ну раз уж все сдаются, то вот ответ.
Показать скрытый текст

Разделим кубы на две группы следующим образом. В первую группу включим кубы со сторонами 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16, во вторую - оставшиеся кубы.

Тока  У кого усть эксель проверьте, что-то интуитивно не верится, что квадраты всех чисел 1-ой группы взятые 6 раз будут равны тому же 2-ой группы, а врукопашную считать вилы  Это я всё о раввенстве площадей, вот объёмы как то такого отторжения не вызывают - могут быть и равны - опять же визуально, а вот площади ну никак 

[fortpost]

Посчитал в Excele - все совпадает!

[☭-Изделие 20Д]

Посчитал в Excele - все совпадает!

Ферма отдыхает

x=8,y=8,for all N=2

[fortpost]

Посчитал в Excele - все совпадает!

Ферма отдыхает

x=8,y=8,for all N=2

Если точнее, то имеется система уравнений.
x₁ + x₂ + ... + x₈ = y₁ + y₂ + ... + y₈
x₁² + x₂² + ... + x₈² = y₁² + y₂² + ... + y₈²
x₁³ + x₂³ + ... + x₈³ = y₁³ + y₂³ + ... + y₈³
Причем {x,y} = {1,2,3...16}

[семеныч]

//текст доступен после регистрации//