А вот и подробное решение.
Докажем, что придворные находясь в неком первоначальном положении смогут поймать кота за 17 минут, если тот не будет исчезать за это время. Таким образом, если кот не будет исчезать в первые 17 минут, то задача решена. Теперь достаточно доказать что придворные, где бы они не находились на момент исчезновения кота, за 12 минут смогут встать в первоначальное положение и тем самым будут готовы поймать кота за 17 минут – в эти минуты кот по условию исчезнуть не может. Итак, доказательство состоит из двух частей:
Доказать, что за 12 минут придворные смогут встать в «первоначальное положение» и явно это положение описать. Доказать, что за 17 минут придворные находясь в «первоначальном положении» смогут поймать кота.
По условию, лужайка имеет вид, изображенный на рисунке. Квадратная лужайка состоит из 9 одинаковых квадратных газонов. Черные жирные линии обозначают дорожки.
Сразу отметим, что один из придворных может, бегая только по периметру среднего газона, не дать коту попасть к среднему газону! Для этого придворному достаточно поймать кота «на прицел» – находиться с ним на одном луче, выходящим из центра лужайки. Это следует из того, что придворный бегает в три раза медленнее кота. На картинке видно, что если кот находится «на прицеле» у придворного, то придворный может его держать на
прицеле сколь угодно много времени, вплоть до поимки кота или его исчезновения. Находясь «на прицеле» кот может перебегать от одной зеленой точки к другой зеленой точке, при этом придворный соответственно передвигается от одной красной точки к другой красной точке (в силу симметрии, достаточно рассматривать только изображенные зеленые и красные точки). При этом кот не может попасть в красную точку, не будучи пойманным! Еще сразу отметим, что если
· кот находится «на прицеле»;
· кот находится на «радиальной дорожке» соединяющей периметр среднего газона и периметр лужайки;
· в конце «радиальной дорожки», на которой находится кот, на периметре лужайки, стоит придворный, то кот ловится за 2 минуты! Придворным просто нужно сближаться навстречу друг другу и максимум через две минуты они встретятся. При этом с прицела кота можно сбросить. Для удобства, проведем, как на рисунке, вспомогательные линии, разбивающие всю лужайку на одинаковые маленькие квадратики, и отметим красными точками «первоначальное положение» придворных. По условию задачи, человек пробегает сторону маленького квадратика (подразумевается, что эта сторона проходит по дорожке) за 1 минуту. Очевидно, что в любую красную точку придворный может попасть за 12 минут из любого места лужайки на дорожке. Таким образом, первая часть доказательства проведена.
Сразу отметим, что при таком «первоначальном положении» придворных вся лужайка разделена на три сектора и кот находится либо «на прицеле» у одного из придворных, либо в одном из трех секторов. В каком бы секторе кот не находился, очевидно, что двигаясь только по периметру среднего газона двое придворных, образующих этот сектор, сближаясь могут поймать кота «на прицел». Кот не может выбежать из сектора, не попав на прицел одного из придворных, а сектор при сближении придворных сужается до луча. При таких действиях, один из этих двух придворных ловит кота «на прицел» за 2 минуты и после этого уже не отпускает кота с прицела, а второй, для определенности, продолжает свой путь до предполагаемого места встречи и как раз ровно через 2 минуты там будет. Итак, через 2 минуты один придворный держит кота на прицеле и его действия определяются действиями кота. Двое других «свободных придворных» находятся на периметре среднего газона, напротив друг друга, и каждый в одном из узлов вспомогательной сетки. Очевидно, что при этом еще за 4 минуты они могут попасть на периметр лужайки и быть также напротив друг друга. Не ограничивая общности, теперь можно считать расположение двоих «свободных придворных», таким как указано на рисунке. Они обозначены красными точками. Периметр среднего газона окрашен в красный цвет – кот не может туда попасть, так как находится «на прицеле». Не ограничивая общности, можно считать, что кот находится на дорожке, покрашенной в синий цвет. Далее, за 3 минуты придворные сближаются. Если при этом кот окажется на «радиальной дорожке», то он ловится за 2 минуты. В этом случае задача решена. Иначе, придворные еще 3 минуты сближаются. И опять, если при этом кот окажется на «радиальной дорожке», то он ловится за 2 минуты. В этом случае задача решена. Иначе, придворные еще 3 минуты сближаются и встречаются. В этом случае, кот находится на радиальной дорожке и ловится за 2 минуты.
Итак, при таком алгоритме ловли кота, придворные поймают его максимум за 2+4+3+3+3+2 = 17 минут. Вторая часть доказательства проведена. И тем самым, доказательство завершено.
Ответ: Придворные смогут поймать кота.
