Чур, без интегралов

[fortpost]

1. Рассмотрим два цилиндра, достаточно длинных, оси которых пересекаются под прямым углом. Радиусы цилиндров равны r. Найдите объем общей части цилиндров.

2. Возьмем выпуклую плоскую замкнутую кривую длины l, ограничивающую часть плоскости площадью S. Построим всевозможные шары с центрами на этой кривой или внутри нее и радиусами r. Найдите объем тела, заполняемого этими шарами.

[moonlight]

1Показать скрытый текст

(п²/2)r³

[fortpost]

1Показать скрытый текст

(п²/2)r³

У меня ответ другой.

[moonlight]

1.попытка №2
Показать скрытый текст

(16/3)r³

2.пробую угадать
Показать скрытый текст

2Sr+пlr²/2+(4/3)пr³

[fortpost]

1.попытка №2
Показать скрытый текст

(16/3)r³

А это правильно!

2.пробую угадать
Показать скрытый текст

2Sr+пlr²/2+(4/3)пr³

И это правильно!

З.Ы. А каков ваш ход решения?

[Sirion]

Первая решается по принципу Кавальери, вторая - приближением выпуклыми многоугольниками.

[moonlight]

1.
Пусть эти цилиндры вписаны в куб со стороной 2R. Проведём сечение параллельное осям цилиндров на расстоянии X от центра куба. Получим две перпендикулярные полосы шириной 2sqrt(R²-X²). Их пересечение это квадрат пощадью (2R)²-(2X)². Первое слагаемое даст объём куба со стороной 2R = 8R³  Второе слагаемое даст два объёма пирамиды с площадью основания (2R)² и высотой R = (8/3)R³.   8R³-(8/3)R³=(16/3)R³.

[moonlight]

2.
Возьмём выпуклый многоугольник с периметром l и площадью S. Возьмём полукруг радиуса r и будем перемещать его в пространстве так что
- его центр будет на стороне или вершине многоугольника
- его диаметр будет перпендикулярен плоскости многоугольника
- при движении вдоль стороны многоугольника его плоскость будет перпендикулярна этой стороне
- в вершинах многоугольника полукруг будет поворачиваться чтобы стать перпендикулярным следющему ребру.
При таком движении объём пространства которое пройдет через полукруг будет равным пlr²/2(за счёт движения вдоль сторон) + (4/3)пr³(за счёт полного поворота на всех вершинах).