Форум умных людей

Футбольный турнир проходил в один круг. Старую систему подсчета очков (победа - 2 очка, ничья - 1 очко, поражение - 0) заменили на новую (победа - 3 очка, ничья -1, поражение - 0).Может ли случиться, что команда занявшая 1-е место на этом турнире, была бы на последнем месте при старой системе подсчета.

Да

Докажите. Или приведите пример

Если расстановка по местам в случае равенства очков идет по результату личной встречи между командами то неможет такого случится

В случае равенства очков не знаю. Даю подсказку: в случае задач с вопросом "можно ли " достаточно привести пример, что можно или привести цепочку доказательств, что нельзя. Считаю, что mayer прав.

Да. Например, пусть участвовало 40 команд, одна из команд (назовем ее А) выиграла у 15 других и проиграла 24 оставшимся; каждая из команд, проигравших А, выиграла ровно у одной команды, выигравшей у А (причем все у разных); все остальные игры закончились вничью.
Тогда результат по новой системе:
1. А - 45 очков (15*3).
2-10. Команды, выигравшие у А и не проигравшие никому - 41 очко (3+38).
11-40. Все остальные команды (имеющие по одной победе и по одному поражению) - 40 очков (3+0+37).
По старой системе бы было:
1-9. Команды, выигравшие у А и не проигравшие никому - 40 очков (2+38).
10-39. Все остальные команды, кроме А - 39 очков (2+0+37).
40. А - 30 очков (15*2).

P.S. Можно даже проще - все матчи ничейные, кроме матчей с участием А, у которой 15 побед и 24 поражения. Если нужно, чтобы по старой системе тоже был единственный лидер, можно еще добавить один результативный матч между какими-то двумя командами из победивших А, тогда по новой системе А все равно будет на первом месте.

Согласна, а если ещё попроще - команд 13  :bravo:

Аналогичная схема, у одной команды 5 побед и 7 поражений, все остальные матчи ничейные.

Аплодисменты!!!  :bravo: :bravo:

А теперь наоборот - по новой системе последнее место, а по старой было бы первое. Такое возможно?
Это уже от меня задача.

Помощь зала  :girlcry: :girlcry: :girlcry: :girlcry:

Подсказка №1:
Показать скрытый текст
Подсказка №2:
Показать скрытый текст

Да, думаю я. Вы тоже не быстро порешали.

Для упрощения
3 команды
1 победа 3 очка
2 ничьи - 2 очка
При расчете по старому всё зависит от условия по какому распределяются места с равнымиочками, если по забитым мячам, но ничья 2-й с 3-й 10:10 решает проблемы, а если по личной встрече то 1-ая останется на месте даже при старом подсчете.

Всего 11 команд участвует в турнире. Команда А выиграла 1игру, с остальными сыграла вничью. По новой системе А получила 3+9 =12 , по старой А получит 11 очков. Каждая из других 10 команд выиграла 4 матча, с остальными , потерпела поражения. По новой системе каждая команда получила 12+1=13 очков, по старой системе   8+1=9 очков. Вот такой пример.

Это мнение опытного футболиста, а мы просто очки посчитали. Арифметика. :yesgirl:

Такое невозможно - у каждой из этих команд в матчах друг с другом по 4 победы и по 5 поражений, в то время как общее число побед должно равняться общему числу поражений.
Но это очень-очень близко к правильному ответу.

Ну тогда 4 победы, 4 поражения, 1 ничья. По старой системе  12+2=14, по новой 8+2=10 Пойдет?

Да, за ничью +1 только.
Вот такая красивая таблица (очки по старой системе, для новой нужно поменять 2 на 3 и строчки и столбцы будут в другом порядке):
Показать скрытый текст

Кстати, достаточно просто алгебраически доказать, что минимальное число команд в такой схеме равно
Показать скрытый текст
Доказательство:
Показать скрытый текст

Вот такое решение мне нравится намного больше,чем подбор примеров. Примите моё большое уважение.

Там команда А ещё со всеми вничью сыграла. Надо было учесть.

Надо же такое красивое решение!!!!  :bravo2: