Футбол, футбол...

[Tmin]

Футбольный турнир проходил в один круг. Старую систему подсчета очков (победа - 2 очка, ничья - 1 очко, поражение - 0) заменили на новую (победа - 3 очка, ничья -1, поражение - 0).Может ли случиться, что команда занявшая 1-е место на этом турнире, была бы на последнем месте при старой системе подсчета.

[mayer]

Да

[Tmin]

Докажите. Или приведите пример

[☭-Изделие 20Д]

Если расстановка по местам в случае равенства очков идет по результату личной встречи между командами то неможет такого случится

[Tmin]

В случае равенства очков не знаю. Даю подсказку: в случае задач с вопросом "можно ли " достаточно привести пример, что можно или привести цепочку доказательств, что нельзя. Считаю, что mayer прав.

[BAS145]

Да. Например, пусть участвовало 40 команд, одна из команд (назовем ее А) выиграла у 15 других и проиграла 24 оставшимся; каждая из команд, проигравших А, выиграла ровно у одной команды, выигравшей у А (причем все у разных); все остальные игры закончились вничью.
Тогда результат по новой системе:
1. А - 45 очков (15*3).
2-10. Команды, выигравшие у А и не проигравшие никому - 41 очко (3+38).
11-40. Все остальные команды (имеющие по одной победе и по одному поражению) - 40 очков (3+0+37).
По старой системе бы было:
1-9. Команды, выигравшие у А и не проигравшие никому - 40 очков (2+38).
10-39. Все остальные команды, кроме А - 39 очков (2+0+37).
40. А - 30 очков (15*2).

P.S. Можно даже проще - все матчи ничейные, кроме матчей с участием А, у которой 15 побед и 24 поражения. Если нужно, чтобы по старой системе тоже был единственный лидер, можно еще добавить один результативный матч между какими-то двумя командами из победивших А, тогда по новой системе А все равно будет на первом месте.

[Tmin]

Да. Например, пусть участвовало 40 команд, одна из команд (назовем ее А) выиграла у 15 других и проиграла 24 оставшимся; каждая из команд, проигравших А, выиграла ровно у одной команды, выигравшей у А (причем все у разных); все остальные игры закончились вничью.
Тогда результат по новой системе:
1. А - 45 очков (15*3).
2-10. Команды, выигравшие у А и не проигравшие никому - 41 очко (3+38).
11-40. Все остальные команды (имеющие по одной победе и по одному поражению) - 40 очков (3+0+37).
По старой системе бы было:
1-9. Команды, выигравшие у А и не проигравшие никому - 40 очков (2+38).
10-39. Все остальные команды, кроме А - 39 очков (2+0+37).
40. А - 30 очков (15*2).

P.S. Можно даже проще - все матчи ничейные, кроме матчей с участием А, у которой 15 побед и 24 поражения. Если нужно, чтобы по старой системе тоже был единственный лидер, можно еще добавить один результативный матч между какими-то двумя командами из победивших А, тогда по новой системе А все равно будет на первом месте.

Согласна, а если ещё попроще - команд 13 

[BAS145]

Согласна, а если ещё попроще - команд 13 

Аналогичная схема, у одной команды 5 побед и 7 поражений, все остальные матчи ничейные.

[Tmin]

Аплодисменты!!! 

[BAS145]

А теперь наоборот - по новой системе последнее место, а по старой было бы первое. Такое возможно?
Это уже от меня задача.

[Tmin]

Помощь зала 

[BAS145]

Подсказка №1:
Показать скрытый текст

это возможно

Подсказка №2:
Показать скрытый текст

команд может быть даже меньше 13

[Tmin]

Да, думаю я. Вы тоже не быстро порешали.

[☭-Изделие 20Д]

Если расстановка по местам в случае равенства очков идет по результату личной встречи между командами то неможет такого случится

Для упрощения
3 команды
1 победа 3 очка
2 ничьи - 2 очка
При расчете по старому всё зависит от условия по какому распределяются места с равнымиочками, если по забитым мячам, но ничья 2-й с 3-й 10:10 решает проблемы, а если по личной встрече то 1-ая останется на месте даже при старом подсчете.

[Tmin]

Всего 11 команд участвует в турнире. Команда А выиграла 1игру, с остальными сыграла вничью. По новой системе А получила 3+9 =12 , по старой А получит 11 очков. Каждая из других 10 команд выиграла 4 матча, с остальными , потерпела поражения. По новой системе каждая команда получила 12+1=13 очков, по старой системе   8+1=9 очков. Вот такой пример.