Форум умных людей

На авиарейс проданы все билеты.
Пассажиры выстроились в очередь на посадку.
Каждый пассажир занимает место, указанное на билете.
Но когда очередь доходит до взбалмошной старушки, она садится случайным образом на одно из оставшихся свободных мест.
После этого оставшиеся 100 пассажиров ведут себя следующим образом:
как и ранее, каждый из них пытается сесть на место, указанное в билете, но если оно занято, садится случайным образом на одно из оставшихся свободных мест.
Какова вероятность того, что последний пассажир сядет на своё место?

смотря когда зайдет тот чел, чьё место заняля старушка

Не спешите с выводами... :)

1/100 ?

Нет :)

ой  :D

ой2

вероятность чуть больше 50%

Правильный ответ чуть меньше Вашего... :)

наверное нужно искать  вероятность того, что займут место последнего пассажира.
вероятность того, займут ли место, зависит наверное от того, каким в списке будет человек, чьё место заняла старушка. если он будет предпоследний то шнас 50\50.. чем выше он в списке посадки, тем меньше шанс что купленное место достанется последнему пассажиру.

там очень много вариантов, задачка заслуживает места в учебнике теорвера, странно что такую простую задачу так сложно решать :)

buka метод Монте-Карло для 10000000 случаев дал ~50.47682, ошибка явно меньше 0.1, так что спорно :)

с вероятностью 1/100 несчастный человек (НЧ), на место которого села старушка, может войти в салон как первым, так и вторым, ..., так и 100-м.
если НЧ входит 100-м, то он сядет на свое место с вероятностью 0, т.к. останется только место взбалмашной старушки (ВС).
если 99-м, то последний пассажир (ПП) сядет на свое место с вероятностью 1/2, т.к. НЧ с вероятностью 1/2 сядет либо на место ВС, либо на место ПП.
если 98-м, то вероятность получения своего места ПП=2/3*1/2=1/3
если 97-м, то 3/4*2/3*1/2=1/4
96 - 1/5
95 - 1/6
...
2 - 1/99
1 - 1/100

а дальше -XZ ???
типа, если по ср. арифм. (хотя это >:() то 4,18731% получается
а как подругому ??? ??? ???

Smith
1) если кто-то случайно сядет на место старушки, тогда все оставшиеся точно сядут на свои места
2) старушка изначально может сесть на своё место :)

kinder, сюрприз: 1) и 2) не может быть по условию!  :read:

buka у старушки есть свой билет ?
"садится случайным образом на одно из оставшихся свободных мест." оставшихся мест 100 или больше ?

Задача проще :)
Если я дам подсказку, сразу догадаетесь и будете сердиться :)

Да, у старушки тоже есть свой билет. Но она - взбалмошная и садится случайным образом на одно из 101 мест.

да не, по условию как раз и может быть что старая сядет на своё место.. ну а если кто сядет на место старушки, то остальные сядут все на свои места..


тяжелая задача, я здаюсь, надеюсь автор распишет решение..

это как про Динозавра: или встречу, или нет (50х50)?  :D

шанс что старая сядет на своё место 1\101, ну и далее если села на чужое шансы что займут место старой 1\100, 1\99.. 1\2  
вот как вычислить общий шанс я х.з.

Если хотите, я могу в привате дать подсказку :)

ну если Вы не планируете в ближайшее время написать ответ, то буду признателен.. )

да, блин, я недочитал или что-то, решил что старая априори садится на чье-то место, а она садится случайным образом. тогда если придумать результирующую к предложенному мною решению, то его нужно будет умножить еще на 100/101, т.к. при любом раскладе все остальные проблемы случаться только если старушка сядет не на свое место. очевидно, при этом ответ сильно не изменится

Стоит рассмотреть случаи для меньшего числа пассажиров, а далее - по индукции.

будет не 100 на 100, а 10 вероятностей на 10 человек. а дальше?

:good: :good2: :good3:

Ну, и какой результат?
Файрмен, Вы получили личное сообщение?

я то получил (:  закономерность вроде бы просматривается ))
но, что бы не показаться идиотом, подожду все - таки правильный ответ )

Не надо до 10-ти...
Вы попробуйте получить для 1 пассажира, затем для двух...
Может, что-то обнаружите... :)

ок. индукция, так индукция.
предположим, есть всего 4 человек, включая старушку. тогда старушка с вероятностью 3/4 займет не свое место(1). следующий пассажир с вероятностью 2/3 окажется не тот, чье место заняла старушка(2), и войдя займет свое собственное место(3). из двух оставшихся, пассажир, чье место заняла старушка войдет следующим с вероятностью 1/2 (4), и с той же вероятностью 1/2 он займет место старушки (5).
следовательно, вероятность того, что при данном раскладе, оставшийся чел займет свое место, указанное в его билете составляет 3/4*2/3*1/2*1/2=1/8 (6). по аналогии, для 101 пассажира ответ будет 1/202, или чуть меньше 0.5% (7).
 :tomato:

У первого за старушкой пассажира вероятность занять своё место равно 3/4.
Вы опять забываете что старушка с равной в-тью 1/4 может занять любое место (в т.ч. и своё) и лишь одно из них - это место первого за ней.
Но дело даже не в этом. 4 человека - уже слишком много.
Начните с меньшего числа, скажем, с 1-го, кроме старушки. Это будет тривиально.
Затем - с двух. И Вы заметите очень интересную вещь :)
Удачи.

ответ 50%
нашел ошибку в алгоритме - старуха могла стоять в любом месте очереди

Правльно :bravo2:

buka, теперь кажется ни что не мешает дать полный ответ с объяснением и расчетом.
если пассажира два включая старушку, то старушка с вер-ю 1/2 занимает место оставшегося пассажира, либо свое и в этом случае ответ 1/2.
если пассажиров три, то, следуя Вашей логике старушка с вероятностью 1/3 занимает место пассажира, идущего за ней, т.е. у него вер-ть занять свое место 2/3. а дальше каков ход Ваших рассуждений? ???
вобщем, если Вам не трудно дайте пожалуйста полный ответ, чтобы был предмет обсуждения или возможно тогда вопросы отпадут сами собой.
кстати, спасибо за задачу :good: :good2: :good3:

для троих:
вероятность что старушка сядет на своё место 1/3
вероятность что на другие два 2/3
тогда вероятность того что последний сядет на своё место:
1/3+2/3*(1/2*0+1/2*(1/2)) = 1/2;

где 1/2*0 - когда старуха садится на место первого
1/2*(1/2) - когда на место второго и при этом второй сядет на место старушки

Для четверых:

1/4 + 3/4(1/3*0+1/3*(1/2)+X)

1/3*(1/2) - села на место второго
где X - села на место третьего

X = 1/3*(1/3+2/3(1/2*0+1/2*1/2)) = 1/6
считается аналогично рассуждению для троих

1/4 + 3/4(1/3*0+1/3*(1/2)+1/6) = 1/2

кто хочет записать для пятерых ? :)

признаться, я не совсем понял ход Ваших рассуждений, поэтому не могу объективно оценить правильность решения, хотя ответ 1/2 действительно получается в 99 случаях из 101.
в своих расчетах я использовал теорему Байеса, т.е. попытался рассчитать с какой вероятностью пассажир, следующий за старушкой, займет место пассажира, следующего за ним, при условии, что старушка займет место следующего за ней пассажира.
вот пример для троих (старушка С, пассажир, следующий за старушкой П2, и последний пассажир П3):

                Р(С|П2)*Р(П2)            1*(1/3*1/2)
Р(П2|С)=----------------------- = ------------------- = 1/2
                       Р(С)                            1/3

для остальных 98 случаев рассчитывается аналогично, и (хотя промежуточные варианты меняются) конечный результат так же 1/2.

однако остается еще 2 случая:
1)старушка садится на свое место, и тогда ответ 1;
2)старушка садится на место последнего, и тогда результат 0.

можно ли теперь утверждать, что ответ однозначно 1/2 для всех 101 возможных вариантов размещения старушки? 

Легко доказывается по индукции.
Если после старушки 1 пассажир, очевидно, вероятность 1/2.
Предположим, что вероятность 1/2 во всех случаях, когда пассажиров меньше N, и найдем ее для случая N пассажиров.
С вероятностью 1/(N+1) старушка займет свое место и последний пассажир займет свое место с вероятностью 1.
С вероятностью 1/(N+1) старушка займет место последнего пассажира и он займет свое место с вероятностью 0.
С вероятностью (N-1)/(N+1) старушка займет место другого пассажира. Пусть после этого пассажира в очереди еще K пассажиров (0<K<N). Тогда, когда очередь дойдет до этого пассажира, в точности повторится ситуация, когда после старушки K пассажиров. Действительно, если в этот момент старушка уступит ему его место и опять начнет выбирать место случайно, с точки зрения остальных пассажиров по сути ничего не изменится. Значит, по предположению индукции, последний пассажир займет свое место с вероятностью 1/2.
Итого 1/(N+1)+1/2*(N-1)/(N+1)=1/2.

---

Кстати, здравствуйте.

Smith, Димыч дал решение. Кроме того, в Ваших рассуждениях тоже как будто должно получиться 1/2.
Я с радостью постараюсь пояснить, что Вам неясно - но пока мне не совсем понятно, что Вам неясно.

buka, я к сожалению не понимаю до конца общий ответ..   :wall: не оспариваю, поймите. недопонимаю.. :tormoz:
ну вот если рассмотреть ту же задачу но с тремя человеками включая старушку, то вот какие ответы получаются:
1) бабуля заняла место свое, и вер-ть в ответе 1
2)заняла место следующего за ней пассажира и вер-ть 1/2
3)а если место последнего пассажира - вер-ть 0

результат: ответ задачи - 1/2. я этого не понимаю до конца... тоесть, как получили 1) 2) и 3) - понятно и нет проблем. а общий ответ... объясните пожалуйста, почему с учетом 1) 2) и 3) получается в результате 1/2. почему, к примеру ответ не звучит примерно так, что в 99 случаях из 101 это вер-ть 1/2, в 1 из 101 =1 и в 1 из 101 = 0  ???

Вероятность наступления каждого из событий 1), 2), 3) равна 1/3 - с этим Вы согласны, я думаю.
Тогда общая вероятность равна:
(1/3 * 1) + (1/3 * 1/2) + (1/3 * 0) = 1/3 + 1/6 = 1/2.
Для М пассажиров:
1) С вероятностью 1/(М+1) старушка садится на своё место. Тогда последний пассажир садится на своё место с в-тью = 1
2) С вероятностью (М-1)/(М+1) старушка садится на не своё и не последнего пассажира место. Тогда последний пассажир садится на своё место с в-тью = 1/2
3) С вероятностью 1/(М+1) старушка садится на место последнего. Тогда последний пассажир садится на своё место с в-тью = 0
Тогда общая вероятность равна:
(1/(М+1) * 1) + ((М-1)/(М+1) * 1/2) + (1/(М+1) * 0) = 1/(М+1) * (1 + (М-1)/2) = 1/(М+1) * (2 + М - 1)/2 = 1/(М+1) * (М+1)/2 = 1/2.

не сердитесь, плз, и спасибо за повторное объяснение, приведенное также и Димычем, логику объяснения я понял давно, и больше не стану задавать один и тот же вопрос. просто я помню, что не всегда можно так вольно обращаться с вероятностями, как в цитате выше. более того, в ряде случаев это абсолютно недопустимо. я понял что в данном случае это допустимо и правильно. спасибо за Ваше терпение и еще раз за задачу. :bravo: :bravo2: :bye:

Я не сержусь, что Вы :)
Вероятности - штуки дейстительно очень коварные, Вы правы.
Но если мы можем разбить события на взаимоисключающие, мы можем вероятности этих событий (условий) умножать на вероятность целевого события нутри этого условия, а затем складывать такие кусочки.
Но условие взаимной исключаемости должно соблюдaться.

Кстати, у меня есть решение без применения матиндукции.

Просим :)

Итак, решение без индукции.
1. Для старушки вероятность сесть на своё место равно вероятности сесть на место последнего.
2. Если старушка садится ни на своё и ни на последнего, то пассажир, чьё место она заняла начинает вести себя как старушка и вероятность того, что он сядет на место последнего равна вероятности сесть на место старушки.
3. Итак, конечными состояниями являются: а) сесть на место последнего; б) сесть на место старушки. Остальные состояния несущественны (сколько бы их не было) и на соотношение вероятностей сесть на место последнего или старушки они не влияют. Это соотношение на каждом таком акте равно 1:1.
4. Вероятность конечного состояния "сел на место старушки" равно 1/2 (как и второго) и это означает, что вероятность того, что последний сядет на своё место равно 1/2

2. Если старушка садится ни на своё и ни на последнего, то пассажир, чьё место она заняла начинает вести себя как старушка и вероятность того, что он сядет на место последнего равна вероятности сесть на место старушки.



а если у него диарея?

семеныч, новогодний стол пошел не впрок? :laugh:

 :beer:

а у меня праздник

мама - 80

и не болеет :-[ :'(

Выстрадано?

Если немного переформулировать для наглядности:
Назовем пассажира, выбирающего место случайно, беспокойным. Старушка будет первым беспокойным пассажиром, а дальше беспокойными пассажирами будут те, чье место было занято, за исключением последнего пассажира, которому выбирать не приходится. Рассмотрим последнего беспокойного пассажира. Он может занять или место старушки, или место последнего пассажира, поскольку остальные места принадлежат следующим пассажирам, и, если он займет одно из них, он не будет последним беспокойным пассажиром. Отсюда ясно, что вероятность 1/2.

Да, но перед последним пассажиром только одно место, которое действительно м/б или его или старушки. Остаётся показать, что это - равновероятно...