Форум умных людей

Началась Вторая открытая Интернет-олимпиада по математике (http://intelmath.narod.ru/olymp2.html)! Вас опять ожидают 7 нестандартных задач, оценивающихся по 7 баллов каждая.

Решения задач присылайте по адресу: intelmath@narod.ru или в ЛС. Приветствуется сопровождение решения Вашими комментариями относительно интереса задачи и её сложности.

Подведение итогов олимпиады состоится во вторник, 18 мая.

Задача 1. Приближение произведением
Отношение двух наименьших трёхзначных простых чисел (http://mathurl.com/?img=y8bh8uc) равно 0,980583…
Найдите несколько таких простых дробей с числителями и знаменателями, не превосходящими 50, произведение которых отличалось бы от (http://mathurl.com/?img=y8bh8uc) менее чем на 10^-5

Задача 2. Стохастический Баше
Вася и Петя отлично умеют анализировать Баше-подобные игры, поэтому они решили несколько разнообразить игровой процесс.

Сначала Вася называет некоторое число 50<N<100. На стол кладётся N спичек.

Далее при помощи обычного игрального кубика (с числами от 1 до 6 на гранях) выбрасываются три числа: a, b и c (2 или 3 из них могут оказаться равными).

Игроки по очереди берут из стопки a, b или c спичек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Какое число нужно назвать Васе, чтобы максимизировать свои шансы на выигрыш, если первым будет ходить Петя?

Задача 3. Сумма ряда
Найдите закономерность и вычислите сумму всех элементов последовательности
(http://mathurl.com/?img=yax4urf)

Задача 4. Карты
На столе в закрытую лежат 8 карт. Известно, что там 4 красные и 4 чёрные карты. Вы выбираете из них две случайным образом. Какова вероятность того, что эти две карты окажутся одного цвета?

Задача 5. Треугольник из отрезков
Единичный отрезок случайным образом разбивается на две части. Затем большая часть опять случайным образом разбивается на две. Какова вероятность того, что из этих трёх частей можно составить треугольник?

Задача 6. Больше всего сумм
Найдите четырёхзначное число, которое можно представить в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел наибольшим количеством способов.

Задача 7. Жук на ленте
Один конец резиновой ленты неподвижно закреплён, а за другой тянут с постоянной скоростью v. У неподвижного конца ленты находится жук, который начинает ползти вдоль неё со скоростью u. Когда жук доползёт до противоположного конца ленты, если начальная длина ленты равна L?

Удачи!!!

У меня вопрос по задаче № 1.
Как-то непонятно сказано в условии: найти несколько дробей. Сколько несколько? Можно, например, две дроби? Или их должно быть 3? Или ещё больше?

И ещё, я школьную математику подзабыла малость  :(
Дробь может быть неправильной, например: 45/37? Или только правильные разрешаются, в которых числитель меньше знаменателя?

Задача про карты действительно очень простая, хотя я уже совсем забыла теорию вероятностей  :)
Ну, разве только она рассчитана на тех, кто с теорией вероятностей совсем ещё не знаком. Но для таких она окажется слишком сложной.

насчёт неправильных дробей у меня тоже такой же вопрос...с теорией вероятностей не дружу..но придётся подружиться...несколько-и есть вопрос который держит весь основной смысл задачи..иначе задача-вовсе не с изюменкой и простым начинающим программистом будет решена..по поводу последней задачи.тааамааа чуть физики...тож не в союзниках с ней.....))))

А я решил 4-ую и 7-ую уже почти закончил. :ura:
А на счет первой задачи тот же вопрос задавал Генералу на счет перебора. Он сказал, что есть не переборный метод нахождения. :)

1. Неважно, сколько именно дробей должны давать в произведении число, близкое к 101/103, главное, чтобы у них у всех числители и знаменатели были не больше 50. Неправильные среди них допускаются.

Так я нашла вариант с двумя дробями. Годится?

Конечно, высылайте :)

Замечательная задача № 6, с удовольствием решила  :)

А вот ваши последовательности, товарищ Генерал, мне никак не поддаются  :(
Ну что это такое: то минусы, то плюсы, нули в числителях... Ох, ну никак  :wall:

Задачу 1 пока не решил...есть варианты с неправильными дробями..но чем больше дробей,тем лучше...поломаю ещё голову..
Задачу2 пока не начинал..анализы такого рода кажись только для гениев,-а я пока только-всего лишь лицеист..
Задача 3 интригует минусами в начале последовательности..Генерал..подскажите..в последовательности минусы ещё как минимум однажды встретятся или нет?...так же хотелось б уточнить тип составления данной последовательности-строго арифметический или с возможностями переплетения с системами счисления?
.......
задачу 4 решил..ох и эти вероятности...
задача 5 условия нужные расчитал а вот с комбинаторикой сдружиться не могу(.
Задачу 6 не решилллл....-пока железный друг не нашол времени встречи со мной)),
Задача 7 по моему физической теории..на этапе решения...
Всем Удачи в поисках решений.
Делитесь своими вопросами-быть может они исправят мои ошибки и наведут на правильную тропу в поиске решений на эту "Большую семёрку" Задач для Генералов).

Успехов!

Я решения трёх задач уже отправила (1, 4, 6).

По задаче 3 - да, не мешало бы кое-что уточнить. Сложная последовательность. Со знаками непонятно. Будут ли ещё минусы? Или дальше только плюсы? Я предполагаю, что должны быть.
Ну, а задача 7 мне совсем непонятна. С физикой я тоже не дружу.

Хотя бы поясните, General, что значит: "за ленту тянут с постоянной скоростью v"? Кстати, не мешало бы размерности дать, скорость в чём, в м/сек? Если, например, вытаскивать не резиновую ленту со скоростью v м/сек, это можно было бы понять так, что в каждую секунду длина ленты увеличивается на v метров. Но резиновая лента ещё ведь и растягивается! И рястягиваться она может по-разному, что зависит от степени её "резиновости". Так что тут я ничегошеньки не понимаю, как тянут, как растягивается  :(

Может быть, имеется в виду, что она растягивается со скоростью v?
Далее, как соотносятся скорости v и u? Мне кажется, что это тоже важно.

Впрочем, для тех, кто с физикой дружит, тут, наверное, всё ясно  :)





 

ДА square ты права..тянут с постоянной скоростью это означает что ленту деформировали до определённых размеров от её начальной длины.степень этой деформации может определить закономерность между постояной скоростью натяжения и скоростью движения этого злосчастного существа и с длиной самой ленты..да физика рулет....но не с моей стороны, к сожалению..

В последовательности само правило чисто арифметическое без всяких подвохов, систем счисления и языковых характеристик

Про ленту: да, давайте оперировать в системе СИ: метры и секунды. Можно сказать так: левый край ленты неподвижен, а правый движется со скоростью v м/с. Соответственно, каждую секунду лента удлиняется на v метров.

А относительно соотношения скоростей - нужно получить формулу в общем виде.

Спасибо за разъяснения, товарищ Генерал!  :)

Теперь стало понятнее. Бегу решать задачу про жука...  :think:

Да, чуть не забыла... Вчера вечером немножко подумала над задачей 5.
Во, значит, берём единичный отрезок и случайным образом разбиваем его на два отрезка.
Какие возможны исходы?
1. левая часть оказалась больше правой;
2. правая часть оказалась больше левой;

Эти два исхода вы и предполагаете. А если, вдруг, при случайном разбиении мы попадём точно в середину отрезка. Такой исход вы почему не рассматриваете? Разве такого не может случиться? По-моему, может.

А вы говорите, что затем большую часть отрезка снова разбиваем случайным образом. А если случится исход № 3 - обе части равные - тогда что делать дальше?  :)

Разбиение отрезка на 2 части можно описать так: выбирается случайное число в промежутке (0;1) и этим числом отрезок разбивается на две части. Части будут равны только если выбранное нами случайное число будет равно 0,5. Но ведь вероятность выбрать некоторое конкретное число из непрерывного промежутка равна нулю.

Даже если моделировать выбор рендомом, эта вероятность будет исчезающе мала.

В любом случае, если отрезок разделился на равные части, второе разбиение можно проводить  для любой половинки.

Не совсем с вами согласна. Вероятность выбрать число 0,5 на отрезке [0,1] не равна нулю, хотя и очень мала.
Я часто пользуюсь при построении магических квадратов генератором случайных чисел, этот генератор выбирает случайным образом числа из некоторого массива чисел (выбирает он, конечно, только целые числа). И вот числа выбираются ВСЕ, если долго генерировать.
Так что, насчёт нулевой вероятности выбрать число 0,5 при случайном выборе - не согласна.

Далее, представим, что нам удалось в первом разбиении получить равные отрезки. и во втором разбиении тоже удалось получить равные отрезки (ну, вот у кого-то глаз - алмаз, и он будет попадать точно в середину отрезка :)).
Тогда мы получим три отрезка: 0,5; 0, 25 и 0, 25. Понятно, что из этих отрезков нельзя составить треугольник.

Поэтому всё-таки, как мне кажется, надо было оговорить в условии задачи, что деление отрезка точно пополам исключается в обоих разбиениях.

Понятно что если мы имеем n равновероятных возможностей и выбираем одну, то вероятность равна 1/n.  Если рендом даёт 8 знаков после запятой, то возможных вариантов выбора - от 0,00000000 до 0,99999999 - 100 000 000 и вероятность того, что точка попадёт на 0,50000000 равна 1/100000000.

А ведь множество всех точек отрезка бесконечно. Так что при выборе какого-то конкретного числа вероятность равна 0.

Теоретически, да, число точек на отрезке бесконечно.
Но если говорить о практическом разбиении отрезка, то...
Вряд ли можно практически назвать разными отрезки, полученные разбиением такими двумя точками: 0,500003 и 0,500005. Согласны? Практически в обоих случаях этот будут одинаковые отрезки, хотя теоретически левая часть будет больше правой части.

Впрочем, не будем дальше спорить и углубляться в дебри теории вероятностей. Будем считать, что двух равных отрезков при случайном разбиении не получается никогда (вероятность равна 0).  :)

Ну и задали вы, General, в этот раз олимпиаду  :)

Две задачи на теорию вероятностей, сумма ряда, ещё... сами знаете что...

А меня вот всегда интересовал вопрос, как можно найти сумму членов бесконечного ряда? И в университете я это так и не поняла до конца, а, может, и поняла, да сейчас снова забыла  :)
Вот, например, есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (это и школьники знают):

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...

Знаменатель прогрессии равен 1/2. Есть очень простая формула для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, по которой запросто можно вычислить сумму членов приведённой прогрессии.

Но как же можно посчитать сумму всех членов, если их бесконечно много? Ну, вот 1000 членов сложили, а есть ведь ещё 1001-ый; миллион членов сложили, а есть ведь ещё миллион-первый. И так конца нет у последовательности. Как же можно сумму найти, если членов бесконечно много?  :-\

Не объясните ли, General?

В вашей задаче тоже ведь надо найти сумму членов бесконечной последовательности. Так?
Помню, что в универе это были ряды (да и у вас написано "сумма ряда"). Были там сходящиеся и расходящиеся ряды... Ну и всё такое прочее.

К примеру, к сумме
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...
можно приёти так.
сначала предположим, что ряд обрывается на некотором  слагаемом 1/2^k. Тогда прибавив ещё 1/2^k к этому ряду, он свернётся в единицу.

Значит, сумма 1/2+...+1/2^k равна 1-1/2^k.

Ну а с увеличением количества слагаемых она будет всё меньше отличаться от единицы.

Вот я так это понимаю.

Кстати, я недавно писал о способах вычисления бесконечных сумм (http://intelmath.narod.ru/sums1.html), вгляните

Нет, ничего не поняла  :(

Как бы ни были малы следующие члены, но они всё же есть и их нельзя совсем отбросить. Они всё равно сумму буду изменять.

Я помотрела по указанной ссылке ваш метод "свёртывания" двух рядом стоящих дробей. Но у вас там было конечное число членов, а не бесконечное !

Нутак сначала доказываем для конечного количества, что сумма будет меньше единицы на 1/2^k.

Если добавлять слагаемые, их количество k ,eltn увеличиваться, а разница с единицей - уменьшаться. Значит, для бесконечного количества слагаемых сумма будет равна единице.

Ну, что-то мне вспоминается из теории сходимости рядов. Сумма сходящегося ряда вроде бы определялась через некий предел. Правильно?
 
Вы сейчас пытаетесь объяснить "на пальцах". А строго это надо объяснять через предел вот этой самой величины 1/2^k при k стремящемся к бесконечности. И предел этот будет равен нулю. Вот как-то так.

Но изучают ли в школе теорию рядов? А диф. уравнения?
Или вы в своей олимпиаде на школьников не рассчитываете?

И на школьников расчитываю. И изучают всё это.

Да-а-а, продвинутые нынче стали школьники  :D
Я уж, пожалуй, теперь с ними не смогу соревноваться со своим забытым университетским образованием  :)

В углублённых, по крайней мере, затрагивают.
А олимпиаду я для всех желающих провожу

похоже изучают,но не все...тип образования вовсе не слишком меняется...в разных государствах-разные требования..
Вот у нас- в Молдавии- всё выше предложеное-строки заумных писателей,теории гениев своего дела)..
Но всё же,обижаться не будем..ведь что нынче не ко благу,то на будующее - к добру..А за олимпиаду-спасибоогромное..хотя прошлая-интересней была!
Но,всякий труд ценен,тем более- авторство!

Да, я понимаю, что для всех желающих.
Но это, наверное, не совсем правильная тактика.
Потому что всё-таки школьники не могут в полной мере знать ту теорию, которую затрагивают ваши задачи.
Мне пишет один школьник в личку. Так вот, он говорит, что теорию вероятностей они как-то игнорируют, то есть не изучают, так я поняла. А у вас две задачи на теорию вероятностей. При этом одна из них элементарная для тех, кто эту теорию знает хотя бы чуть чуть. А кто совсем понятия не имеет, для тех и эта задача сложная.

О задаче про жука на ленте я вам уже всё сказала. Во-первых, она всё-таки больше физическая, чем математическая. Ну, и такое сложное решение - это тоже, как мне кажется, школьники не потянут.

Поэтому олимпиады, на мой взгляд, надо всё-таки проводить более адресно. Есть олимпиады для школьников, есть для студентов.
Ну, если для всех желающих, тогда, конечно, все могут решать. Да только вот школьники-то тоже желающие  :)
А по письмам одного из них я вижу, что ему эти задачи не очень поддаются.
Ни теорию рядов, ни теорию вероятностей, ни диф. уравнения он, судя по всему, не знает.

Дело в том, что почти ко всем этим задачам можно подойти элементарными методами. И, во-вторых, отчасти поэтому я выделяю на олимпиаду месяц.

Все правы по своему,но МиР - дороже всего!!!

Найдите значения бесконечного произведения



(http://s003.radikal.ru/i202/1004/ab/af1a68f739d1.gif) (http://www.radikal.ru)

Показать скрытый текст  :)

неа :)

Напоминаю, что ещё остаётся целых пять дней, чтобы принять участие в олимпиаде!
Кстати, совет по задаче 5: попробуйте проверить ответ компьютерным моделированием с помощью генератора случайных чисел.

Вторая задача - класс!  :roll:

Традиционно в заключительные дни олимпиады приходит наибольшее количество решений и по просьбам участников подведение итогов отложено до 18:00 21 мая

Выложил результаты олимпиады и решения задач (http://intelmath.narod.ru/olymp2res.html)

Всем спасибо за участие!