Форум умных людей

Первый признак равенства треугольников.
Все помнят первый признак равенства тр-ков - по 2-м сторонам и углу между ними.
Надеюсь, помнят и его доказательство:
Имеем тр-ки АВС и А`В`С`, у которых АС = А`С`, АВ = А`В` и угол ВАС = углу В`А`С`
Совмещаем отрезок АС с А`С`, при этом угол ВАС совместится с В`А`С` и прямая АВ совместится с А`В`. Поэтому точка В совместится с точкой В` из-за АВ = А`В` и тр-к АВС совместится с А`В`С`, то есть эти тр-ки конгруэнтны (по рабоче-крестьянскому - равны).
До сих пор кажется, что всё ОК.
А теперь сюрприз.
Пусть у нас равнобедренная трапеция АВСД с равными боковыми сторонами АВ и СД.
Треугольники АВД и АСД, как объясняют в школе равны по 1-му признаку равенства треугольников.
А теперь забудем о трапеции. Как доказать, что треугольники АВД и АСД равны если известно, что АВ=СД, угол ВАД = углу СДА, а сторона АД у них общая?
Налицо - 1-й признак. Но докажите его для вот этих треугольников :)

Не-не-не, признак мы доказываем как хотим, а потом уже используем его где попало, в том числе в таких неправильных зеркально отраженных треугольниках :nyam:

Показать скрытый текст

Да ради бога, докажите этот признак как хотите :)
Я бы хотел видеть здесь доказательство 1-го признака равенства тр-ков :)

Так он доказан уже, в первом посте  ;)

отобразим тр-к АСД зеркально (т.С перейдет в т.С' будет находиться ниже стороны АД), сторона АД, так же и останется общей стороной. Получим, СД = С'Д, угол СДА = углу С'ДА
угол ВАД = углу АДС', прямая АВ ll С'Д и они равны между собой, следовательно АВС'Д параллелограмм и стороны ВД и АС' (АС) тоже равны

В первом постинге приведён текст, который во время моего ученичества выдавали за д-во 1-го признака равенства тр-ков, а не само д-во.
Более того, я привёл пример, показывающий, что этот текст не может быть доказательством...

Вы должны определить формальные правила осуществления того, что Вы называете зеркальным отображением (или преобразованием - как Вам удобнее), а затем доказать, что треугольник и его преобразованный по этим правилам образ (то, что Вы называете зеркальным отражением) - равны...

а почему мы (вы) зациклились на первом признаке равенства треугольников? имхо, здесь сподручнее второй:
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны http://webmath.exponenta.ru/s/c/planimetry/content/chapter4/section/paragraph2/theory.html

зы: или я чего не понял? ???

(http://uaimages.com/images/5997950011.jpg) (http://uaimages.com)
у нас есть два тр-ка: сторона АВ=СД ,угол ВАД и угол СДА равны, АД - общая сторона.
теперь с помощью циркуля, отмеряем строну СД и из т.Д радиусом равным СД проводим дугу (ниже стороны АД), затем циркулем отмеряем сторону АС и из т.А радиусом равным АС проводим дугу (ниже  АД), точкой пересечения дуг и будет т.С'. В результате получили два равных тр-ка: АДС и АДС'.

На основании чего Вы утверждаете, что они равны?

Спасибо, Смит, за ссылку.
Так вот, я утверждаю, что приведённые там "доказательства" - липовые

на основании равенства трех сторон АС=АC', СД=C'Д (как радиусы окружности, с центрами в точках А и Д соответственно), АД=АД

Тиана, получается замкнутый круг...
А как тогда доказать 3-й признак равенства тр-ков?
Любой признак рав-ва тр-ков можно доказать либо совмещением, либо сведением ситуации к другому, уже ДОКАЗАННОМУ признаку.
Это же касается и 3-го признака.
Если его д-во базируется на 1-м признаке, то 1-й признак нельзя доказывать через 3-й, если доказывается совмещением, то мне любопытно, как они умудрились совместить несовмещаемое, если же на каком-то другом признаке - то те же вопросы к тому другому признаку.

бука, посмотрите внимательнее доказательство первого признака по данной мной ссылке. его док-во базируется не на последующих признаках, а на аксиомах и определениях. если вы не согласны именно с ними, тогда нужно сначала их и обсуждать вероятно.

Они просто издваются над людьми. Поучились бы у Коуперфильда или Акопяна как фокусы показывать. Они показали, что с треугольниками можно сделать фокус при котором, если две стороны и угол между ними одного тр-ка равны двум сторонам и углу между ними другого тр-ка можно разместить так, что у них все вершины совпадут. :)
Но два зеркально отражённых тр-ка НЕЛЬЗЯ разместить так. НИКАК НЕЛЬЗЯ.
Налицо издевательство над головами детей, когда из них пытаются делать идиотов.
Я уже не говорю об аксиоме "Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном положении относительно данного луча."
Я бы хотел, чтобы кто-то своими словами рассказал, что утверждает данная аксиома...
Мошенничество от планиметрии...

бука, не горячитесь, давайте начнем сначала, с определений

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки попарно. Точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.
вы с этим согласны?

а с этим?
Два треугольника называются равными ( Δ ABC = Δ A1B1C1), если у них соответствующие стороны равны  и соответствующие углы равны.

я пытаюсь понять с какого момента начинается ваше несогласие.

С этим я согласен, но это требует доказательства.
Равенство двух плоских фигур в планиметрии имеет место, если соблюдается одно из следующих условий:
1. Фигуры можно совместить и они совпадут во всех точках.
2. Фигуры обладают всей совокупностью свойств (признаков), которые ПОСТУЛИРУЮТ равенство (конгруэнтность) фигур.
3. Фигуры обладают всей совокупностью свойств (признаков), которые доказательно вытекают из п.2
4. Фигуры обладают всей совокупностью свойств (признаков), которые доказательно вытекают из п.3 или  однонаправлено доказательно следуют из п.4 (то есть по незамкнутой цепочке)
Ваше утверждение верно, но оно не доказано... :)

И правда нельзя. На плоскосте. Добавим третье пространство - ширину, повернем в нем один из треугольников и совместим. :nyam:
Даже трехмерного пространства не нужно. Просто повернем один из треугольников на 90 градусов и совместим.

Эту аксиому вообще не понял.

Но планиметрия имеет только 2 измерения. В ней двигать фигуры можно только в одной плоскости. Повернуть на 90 градусов надо в другой плоскости, и не на 90, а на 180.Вот и я о том же... Можно конкурс объявить, кто своими словами перескажет эту аксиому и объяснит, о чём в ней речь.

Да, на 180.
Так а если доказывая первый признак равенства треугольников в планиметрии пригласить на помощь стереометрию? Или так нельзя?
То есть получается, что доказательство первого признака строится на совмещении треугольников и вот Бука показывает пример треугольников, у которых две стороны равны и угол между ними, а совместить мы их не можем. Получается - доказательство рухнуло. Так какое же это тогда доказательство?
P.S. Бука, и давно Вы это обнаружили?
P.P.S. Автору ссылки и карты в руки.

Изложение планиметрии со времён Евклида принято начинать со списка аксиом, то есть положений, счтающихся a priori истинными и не требующими доказательств. Все прочие утверждения (теоремы) доказываются с опорой, в конечном счёте, на аксиомы. Списки (системы) аксиом могут быть весьма различными. От системы аксиом как правило требуется непротиворечивость (нельзя вывести утверждение и его отрицание), минимальность (ни одна аксиома не может быть исключена как выводящаяся из остальных) и полнота (если некое утверждение нельзя доказать, то можно доказать его отрицание).

Система аксиом --- одно из самых тонких мест школьного курса планиметрии. Как правило, в школьных учебниках приводятся неполные системы аксиом, а опора на оставшиеся подменяется словами о наглядной очевидности того или иного положения. Это обусловлено тем, что логически аксиомы изучаются в начале курса (семиклассниками), но для них они трудны как чрезмерной абстрактностью, так и психологически, ввиду своей очевидности (детям непонятно, почему их доказывать не надо, а столь же очевидные теоремы --- надо). Трудность также заключается в том, что системы аксиом многообразны, в качестве основных объектов могут выступать не только точки и прямые, но и отрезки (в учебнике Александрова), векторы (в системе аксиом Вейля) и др. Утверждение, являющееся аксиомой в одной системе аксиом, может быть теоремой в другой. Поэтому смешивание систем аксиом, которое часто возникает у учащихся при пользовании разными учебниками (например в ходе подготовки к экзаменам), приводит к проблемам вроде "порочного круга". Изложение оснований геометрии в школьных курсах всегда нестрогое, с большой опорой на наглядность; кажется разумным давать аксиоматику геометрии как ознакомительный материал, сосредоточив основные усилия на решении содержательных задач.

Накопление геометрических знаний человечество вело с древнейших времён. Попытки систематического изложения геометрии в Древней Греции предпринимались, по-видимому, в IV -- III столетиях до н. э. К III столетию относят создание знаменитого сборника книг Евклида (ок. 330 -- 275 гг.) "Начала" (в латинском варианте "Elements"), большая часть которых посвящена геометрии.

В первой книге "Начал" Евклид перечисляет определения некоторых геометрических объектов, а далее приводит список утверждений, принимаемых без доказательства, называя их постулатами и аксиомами. В основном постулаты суть утверждения о самих геометрических объектах, а аксиомы -- логические утверждения о методах работы с ними. Современные аксиомы планиметрии по смыслу ближе к евклидовым постулатам, чем к аксиомам. Более поздние греческие авторы, осознавая бедность евклидовых постулатов, дополняли их; наиболее известны работы Архимеда (ок. 287 -- 212 гг. до н. э.).

"Начала" Евклида были основным учебником геометрии и образцом математической строгости почти 2000 лет --- чуть ли не до XVIII века! Лишь в XIX веке нашла своё решение знаменитая проблема пятого постулата Евклида и трудами многих математиков, в первую очередь Гаусса, Вейля, Лобачевского, Клейна, Римана, Гильберта, Пуанкаре проблема обоснования геометрии была успешно решена. В середине XX века американский математик польского происхождения Альфред Тарский (1902 -- 1988) доказал полноту элементарной геометрии, то есть наличие у неё ровно одной модели с точностью до изоморфизма. :ideagirl:
http://www.math.ru/dic/532

Что не понятного в аксиоме?
это аксиома планиметрии, одна из аксиом откладывания:

-На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один
-От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один
-Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой

При аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мы можем представить основные понятия в виде объектов любой природы, которые обладают свойствами, указанными в аксиомах. После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других.

Что такое "заданное расположение"

это и значит то, что оговорено в аксиомах откладывания  :rulez:
бука, с чем конкретно здесь вы не согласны? ???

А как может треугольник задать какое-то расположение? :-\

Для того, чтобы быть согласным или не согласным надо понять о чём речь.
Пока что я не понимаю, о чём речь вообще..

бука, понятно, что это не просто, но давайте попробуем еще раз сначала: "треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки попарно"
здесь есть непонимание?

нет, ну нужно договориться хотя бы о  постулатах.
в настоящем рассмотрении - их есть?

Но ведь умные люди это уже до нас сделали...:)
Любой договор об аксиомах есть создание новой науки.

бука, я конечно шучу местами, но исключительно по теме..  :nyam:
просто, если вы предлагаете пойти от "до умных людей" - это одно, а если будем отталкиваться от чего-то - тогда скажите - от чего? :)

Проблема, которую я поднял, при всей банальности звучания отнюдь не тривиальна.
Предположить, что на протяжении сотен лет детям пудрят мозги я бы не стал.
Тем не менее, д-во 1-го признака рав-ва тр-ков которое приводят в школе ущербно...
В стереометрии проблем с 1-м признаком нет - он банально доказывается и Илья абсолютно верно это заметил.
А вот в планиметрии есть проблема... Гильберт в своей аксиоматике причислил 1-й признак рав-ва тр-ков в планиметрии к аксиомам и тем убрал эту частную проблему, породив другую, а именно: как может такое случиться, что один и тот же объект (тр-к) требует на одну (по крайней мере) аксиому больше в одной системе по отношению к другой системе, причём вторая система является суперпозицией первой?
В принципе в планиметрии можно запостулировать какое-то правило из которого можно было бы вывести 1-й признак. Но это не снимет проблему. Стереометрия будет свободна от этого правила - шило на мыло так сказать.
Именно поэтому в школе как-то обходят вообще стороной понятие "планиметрия".
Что такое "Геометрия"? Это планиметрия? Это стереометрия? Это наука?
В принципе в школе приводят д-во этого признака в стереометрии, а так как геометрия (без конкретизации) есть суперпозиция стереометрии и планиметрии, то это доказательство "хавают"

Бука, а у Вас есть альтернативный вариант доказательства первого признака равенства треугольников?

Гильберт вообще-то запостулировал 1-й признак равенства тр-ков в планиметрии.
Возникла не математическая, а методологическая проблема - как объяснить детям, что для одних и тех же тр-ков в планиметрии имеем аксиому, а в стереометрии - теорему...
Та корявая аксиома, которую ни Вы ни я не поняли скорее всего должна была эту методологическую проблему решить...
Но согласитесь, та аксиома звучит настолько коряво, что от неё тошнит...
--------------------------------------------------------------------------
Что бы я сделал?
Я бы запостулировал следующее утверждение, не столь очевидное, но годящееся и для планиметрии, и для стереометрии и для гиперметрии:
Для любой фигуры, существует фигура, конгруэнтная ей, и ориентированная относительно неё любым наперёд указанным образом.
Тоже не весть что касательно элегантости, тоже коряво, но хоть немного имхо более понятно и подходит для любой "-метрии".
А уж из этой аксиомы легко выводится 1-й признак...

Жекас, интерсно было бы узнать Ваше мнение по данной проблеме, изложенной Букой..

зы: просто, похоже, все кто хотел - высказались, а если нет, то всех приглашаю, тема ведь интересная, имхо

вопиющее безобразие!  :rest:

обоснуйте, плз?!

на мой взгляд тут нечего обосновывать и нечего обсуждать.
проблема высосана из пальца сидящим на уроке гео-планиметрии от скуки.
очевидность того что симметричные треугольники не равны по первому признаку бесспорна.
upd. точнее они равны по площади, но их нельзя совместить.
какое это имеет практическое применение ?
абы шо, извините.

   Трудно не согласиться со Smith'ом. Наивно искать максимальную строгость доказательств в школьном учебнике. Можно также "возмутится" отсутствием строго определения действительного числа. Но излишняя "бурбакизация" приводит к тому, что на вопрос "сколько будет 2+3?" школьник отвечает: "3+2". Даже в школьных учебниках с указанными признаками равенства треугольников дело обстоит не так плохо, как полагает Buka. Обвинения же в корявости формулировки аксиомы просто нелепы.

Всё очень просто и понятно.

я хочу внести свой посильный вклад. Основываясь на неком математическом опыте, я вообще не согласен, что первый признак - это теорема, а не аксиома, будь, то в планиметрии или в стереометрии. достаточно обратить внимание, что простейшее школьное доказательство, а также доказательство для случая с трапецией подразумевают, что и сдвиг, и поворот, и  отображение - изометрии, что никогда не было доказано в школьном курсе. и, насколько мне помнится из комплексного анализа, доказательство основывается на записи, скажем поворота, как линейной трансформации, представленной матрицей с детерминантом равным 1. НО - детерминант этот - простое изложение теоремы пифагора (и основного тригонометрического тождества), а теорема пифагора доказывается, основываясь на равенстве треугольников, которое мы как раз и не можем доказать. замкнутый круг.

А зачем Вам тогда математический аппарат вообще? Используйте "Это элементарно, Ватсон", пардон, "это очевидно" и дело с концом.

во были времена....   :o
на самом деле, никто не представил доказательства по сути вопроса  :no2:

доказательства не существует т.к. в неевклидовом пространстве этот признак не действует.

Ну разве только по рабоче-крестьянскому  :bad2:
Конгруэнтность - ну никак не = равенству  :crazy: